Теорема Менелая .

1. Теорема Менелая. Теория. Тренажеры. Задачи.

2. Теорема Менелая (теория). Теорема: Пусть некоторая прямая пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. Точки это пересечения со сторонами или их продолжениями соответственно. Тогда имеет место следующее равенство: В А С

3. Правило для запоминания Обход можно начинать с любой точки, но при этом обязательно чередовать: вершина – точка на стороне – вершина – точка на стороне и т.д. В А С

4. Тренажер-1. Для заданных чертежей записать теорему Менелая.

5. Тренажер-2. На заданных чертежах найти два возможных применения теоремы Менелая. Пример:

6. Тренажер-3. 3 2 3 5 8 6 Найти отношения отрезков: 1 ? ? ? ? 4 ? 4 6 ? 3 12 2 9 4 4 ? ?

7. Задачи. A 3 Р F Задача 1. Доказать теорему о точке пересечения медиан. Задача 2. В треугольнике АВС проведена медиана AD. На ней выбрана точка К так, что AK:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС? K M 1 С B D С А Е

8. Задачи. B B 2 2 D Е Задача 4. В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? Задача 3. На сторонах треугольника АВС даны соответственно точки М и N такие, что АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком отношении точка S (пересечение этих отрезков) делит каждый из этих отрезков? К Р 1 S 1 С A С A 2 N 1

9. Задачи. В Решение: Задача 5. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК:ВК=1:3, а на стороне ВС взята точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и CК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQL равна 2. y 3x 1) Применим теорему Менелая к треугольнику ABL: L S=2 К S=3 2y 2z x Q S=1 S=6 2) Найдем площадь треугольника ABQ: z А С 3) Используем отношение площадей треугольников ABL и ALC: Ответ: площадь треугольника равна 9.

10. Задачи. Решение: Задача 6. (ЕГЭ-2008) Точка М, лежащая на стороне параллелограмма ABCD, соединена с вершиной В. Диагональ АС пересекает отрезок ВМ в точке К. Площадь треугольника КВС равна 6, площадь треугольника КМС равна 4. Найти площадь исходного параллелограмма. B C S=6 S=10 3x S=4 S=15 2y 2) Применим теорему Менелая к треугольнику BDM: K S=5 2x O M S=15 y А D 3) Используем отношение площадей треугольников BMС и DMC: Получаем, что площадь всего параллелограмма равна 30.

11. Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. M В правильной четырехугольной пирамиде MABCD точка F – середина ребра МВ, точка К делит ребро МD в отношении МК:KD=5:1. • В каком отношении плоскость АFK делит: • Высоту МО данной пирамиды? • Ребро МС? F B C K O A D

12. M Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Решение: Построение сечения. F 1) AF и AK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. L B C 2) FK – пересечение плоскости сечения с BMD. K Н 3) Прямая AL – пересечение плоскости сечения с АМС. O A D 4) Прямые FL и FK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. 5) AFLK – искомое сечение.

13. M Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. M Решение: нахождение отношения МН:НО x F 5y F K Н x y L S B D B C О K Н 2z 2z 3z z 1) По теореме Менелая для треугольника ВMD получаем: O A D 2) Для треугольника ВМС получаем: S

14. M Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Нахождение отношения ML:LC М F 5x L Н L B 3x C А C О K Н O По теореме Менелая для треугольника МОС получаем: A D