NOCIONS ELEMENTALS SOBRE LA TEORIA DE LA RELATIVITAT

1. NOCIONS ELEMENTALS SOBRE LA TEORIA DE LA RELATIVITAT

2. Aquí tenim l’Albert Einstein quan era un nen, però el que és més curiós de la figura no és pas la foto sinó el text que hi ha al seu peu, que veurem ampliat a la diapositiva següent

3. Però quaranta anys més tard ja havia revolucionat tota la física

4. Aquí tenim aquest mateix nen, però uns quants anys més tard

5. El principi de la inèrcia de Galilei: Tots els cossos romanen en un estat de repòs o de moviment uniforme i en línia reca, llevat que una força exterior no els obligui a canviar d'estat. Els Principia de Newton (1687): El temps absolut, veritable i matemàtic, per si mateix i per la seva pròpia naturalesa, flueix d'una manera uniforme i sense cap relació amb res extern ... L'espai absolut, per la seva pròpia naturalesa i sense cap relació amb res extern, roman sempre similar i immovible ...

6. Tenim: x' = x - vt y' = y z' = z t' = t La transformació clàssica o de Galilei

7. Les 7 partícules elementals de principis del s. XIX 1/ La matèria ponderable o matèria amb massa 2/ Els corpúsculs de llum 3/ Les partícules de calor, sense massa 4 i 5/ Les càrregues elèctriques, positives i negatives 6 i 7/ Unes partícules magnètiques, de polaritat nord o sud

8. Esquema de l'experiment d'Oersted

9. Esquema de l'experiment de Rowland

11. Recorregut d'anada i tornada d'un avió en el mateix sentit del vent o bé en sentit perpendicular

12. Efecte de l'arrossegament d'un raig de llum pel vent de l'èter (en cas que existeixi)

13. La taula giratòria de l'experiment de Michelson i Morley

14. Recorregut real dels raigs de llum en l'experiment de Michelson i Morley

15. Si la Terra arrossegués l'èter en la seva proximitat, el raig de llum d'una estrella no s'hauria de desviar en sentit contrari al del desplaçament orbital durant l'interval de temps que necessita per baixar des de la boca fins al mirall del telescopi i, per tant, la posició de l'estrella observada mig any més tard no canviaria

16. RESUM 1ª SESSIÓ  - Newton va establir la noció de temps absolut i espai absolut, com a referència universal per a situar qualsevol punt de l'univers. - El pas de coordenades d'un punt en un SR respecte a un altre es feia segons la transformació de Galilei. - El principi de relativitat galileà establia que les lleis de la mecànica eren les mateixes per a qualsevol sistema inercial.

17. - La natura es concebia a base de partícules: matèria, llum, calor, electricitat i magnetisme eren corpuscles de diferents menes. - En descobrir-se el caràcter ondulatori de la llum va caldre suposar l'existència de l'èter com a suport material de les ones lluminoses, atès que també es transmetien en el buit. - Si l'èter inundava tot l'univers, hauria pogut servir de referència per a l'establiment de l'espai absolut de Newton, com a SR en repòs respecte a l'èter.

18. - Els físics van fer grans esforços per trobar el moviment de la Terra respecte a l'eter, però l'experiment de Michelson i Morley va demostrar que aquest vent de l'èter no existia i que la velocitat de la llum era constant respecte a la font emissora. Per tant, o bé la Terra era estacionària respecte a l'èter o bé l'èter no existia. - Al mateix temps, fenòmens astronòmics com el de l'observació de les binàries eclipsants demostraven que la velocitat de la llum era independent de la velocitat del focus emissor.

19. Si els dos coets de la figura van a la mateixa velocitat, cap dels dos astronautes pot dir si es mou de pressa, a poc a poc, o bé si està aturat del tot

20. En el cas de llançar una pedra contra un pont des d'un vagó de tren, les velocitats de la pedra i del vagó se sumen o es resten, segons el seu sentit respectiu, per donar la velocitat resultant

21. En canvi, la llum d'una estrella llunyana sempre ens arriba a la mateixa velocitat, tant si la Terra s'hi acosta com si se n'aparta

22. Un mateix fenomen observat des de dos llocs diferents, s'observa en instants diferents

23. Dos esdeveniments poden ser simultanis per a un observador, no ser-ho per a un altre, i fins i tot poden ocórrer en sentit invers per a un tercer

24. La transformació de Lorentz substitueix la de Galilei

25. Comprovem que amb la transformació de Lorentz la velocitat de la llum és la mateixa en els dos SR. Si enviem un senyal de llum en el sentit positiu de l'eix de les x, es propaga segons l'equació x = ct i posant aquest valor a la transformació de Lorentz tenim, ct - vt (c - v)t x' = -------------- = ------------- (1 - v2/c2) (1 - v2/c2) t - (v/c2)ct t - vt/c (1-v/c)t (c - v)t i t' = --------------- = -------------- = -------------- = --------------- (1 - v2/c2) (1 - v2/c2) (1 - v2/c2) c(1 - v2/c2) (c - v) t d'on ct' = --------------- = x' c(1 - v2/c2) O sigui, en el SR xyx tenim x = ct i en el SR x'y'z' tenim x' = ct'

26. Efecte de les altes velocitats relatives

27. Suposem p. ex. v = 0,9c = 270.000 km/s, distàncies en km i t en segons. Sobre el SR x'y'z' tenim una barra d'1 km de llargada posada paral·lelament a l'eix x'. Vegem les coordenades dels seus extrems referits al SR xyz al cap d'1 segon. Tenim: x' = (x - 270.000)/0,4359 d'on resulta per a x' = 0 x = 270.000 per a x' = 1 x = 270.000 + 0,4359 = 270.000,4359 O sigui que la separació entre els extrems de la barra, mesurats des de terra, només és de 0,4359 km.

28. Contracció de longituds: Mesurant L' des de SR trobarem L' = L(1- v2/c2) però simètricament, mesurant L des de SR' també trobarem L = L'(1- v2/c2)

29. L'energia i la massa: L'energia cinètica d'un cos de massa m, ja no ve donada per l'expressió E = 1/2 mv2 sinó per aquesta altra mc2 Ec = -------------- que tendeix a infinit quan v  c (1 - v2/c2)

30. Així doncs, per elevada que sigui l'energia utilitzada per produir l'acceleració, la velocitat del cos sempre és < c. Si desenvolupem Ec en sèrie tenim: Ec = mc2 + 1/2 mv2 + 3/8 v4/c2 + … El primer sumand és l'equivalència de massa i energia, el segon és el corresponent a la mecànica clàssica i els sumands següents són despreciables si v << c

32. A partir de les equacions de Maxwell s'arriba a la conclusió que un cos que vagi a velocitat v i que absorbeixi una energia E0 en forma de radiació, sense modificar la seva velocitat, experimenta un increment d'energia: E0 ------------- (1 - v2/c2) la qual afegida a l'energia cinètica dóna una energia total de: mc2 + E0 -------------- (1 - v2/c2) El  primer sumand és l'energia que tenia el cos abans d'absorbir l'energia E0 i el segon sumand és l'energia absorbida

33. Si posem la fórmula anterior en la forma: (m + E0/c2)c2 ---------------- (1 - v2/c2) veiem que el cos té la mateixa energia cinètica d'un cos de massa m + E0/c2 que es mogués a la velocitat v

34. Si dos cossos A i B es mouen l'un respecte a l'altre amb velocitat relativa v, Si A pot mesurar la massa de B trobarà: M' = M / (1 - v2/c2) Si B pot mesurar la massa d'A trobarà: M = M' / (1 - v2/c2) Es a dir "l'altre" objecte sempre apareix amb més massa

35. Addició de velocitats: Si un observador mesura les velocitats de dos objectes alineats amb ell, p. ex. de dos coets A i B (va i vb) i aleshores els astronautes A o B mesuren la seva velocitat relativa d'un respecte a l'altre (d'A respecte a B o de B respecte a A) trobaran: va + vb vab = -------------- 1 + va*vb/c2 D'aquesta equació es veu que quan va i/o vb s'acosten a c, la velocitat relativa vab cada cop és menor que va+vb. De més a més, aquesta equació és simètrica, o sigui que vab = vba

38. La velocitat relativa de dos objectes, per de pressa que vagin respecte a un observador sempre és < c. En efecte: Suposem va = vb = c -  aleshores tenim, vab c -  + c -  c -  2c2 - 2c ---- = ---------------- = 2c -------------- = ----------------- c c + (c - )2/c c2 + (c - )2 2c2 - 2c + 2 Sempre el denominador és major que el numerador i, per tant vab < c, però vab c quan  0

39. Dilatació del temps: Suposem dos coets idèntics, equipats amb regles de mesura i rellotges iguals, que es mouen per l'espai amb una velocitat relativa v entre ells i que, quan passen l'un al costat de l'altre, els seus rellotges marquen 0. Al cap d'una estona, quan estan separats una distància x, A veu que el rellotge de B va més a poc a poc. El "ritme" del temps que veu és t' = t (1 - v2/c2) essent t el temps que A llegeix en el seu propi rellotge. Tant li fa que A i B s'acostin com que se separin

40. RESUM 2ª SESSIÓ - Vista la constància de la velocitat de la llum respecte al focus emissor però també respecte a l'observador, Einstein formula els seus dos postulats de la relativitat especial: a/ Les lleis físiques són idèntiques en tots els sistemes inercials, i b/ La velocitat de la llum és la mateixa mesurada en qualsevol SR. - No podem parlar de simultaneïtat entre esdeveniments ocorreguts i/o observats des de diferents SR. Alguns esdeveniments poden ser simultanis per a un observador, poden no ser-ho per a un altre i poden ocórrer en ordre invers per a un tercer.

41. - Cal substituir la transformació clàssica o de Galilei per la transformació de Lorentz. • La diferència entre la transformació de Lorentz i la transformació clàssica només es nota a altes velocitats relatives. P. ex. per a un 10 % de la velocitat de la llum, la diferència només és de l'ordre del 1/2 % i a 0,5c ja és de l'ordre del 15 %. • - Com a conseqüència veiem que cada SR té un espai i un temps propis, que no són iguals als dels altres SR que tenen velocitats relatives amb el nostre o entre ells. L'espai i el temps absoluts de Newton no existeixen en el món físic real.

42. - Aplicant la transformació de Lorentz es comprova la constància de la velocitat de la llum en els diferents SR amb moviment entre si. - L'energia cinètica d'un cos tendeix a  quan la seva velocitat tendeix a c. Se'n segueix com a conseqüència que un cos no pot assolir mai la velocitat de la llum perquè se li hauria de donar una energia infinita. - Dit d'altra manera: L'increment de la velocitat i de l'energia d'un cos comporta un augment de la seva massa inert.

43. - Com a conseqüència en resulta l'equivalència entre massa i energia segons la relació E = mc2, i també en resulta la refosa de les dues lleis de conservació de la massa i de conservació de l'energia en una de sola. - La velocitat relativa entre dos cossos sempre és inferior a la suma de les seves velocitats relatives respecte a un tercer. - La dilatació del temps no s'ha de confondre amb l'efecte Doppler relativista consistent a una variació en les lectures fetes des d'un altre SR per efecte de la variació entre la distància de separació dels dos SR.

44. (posant el temps a l'eix vertical) El contínuum tèmporoespacial o diagrama espai-temps

45. Això de voler representar quatre dimensions en un full de paper de dues, sol resultar un nyap

46. Representació geomètrica o diagrama espai-temps

47. El con de llum que engloba el moviment possible de tots els punts en el pla xy

48. La (pseudo)paradoxa dels bessons: Com cada un d'ells veu el que passa en el SR de l'altre

49. La (pseudo)paradoxa dels bessons: Línies de simultaneïtat calculades per A i per B

50. RESUM 3ª SESSIÓ  - En lloc de la representació dinàmica del moviment d'un punt en una (x), dues (x, y), o tres (x, y, z) dimensions espacials, la física moderna prefereix la representació estàtica en dues dimensions espai-temps (x, t), en tres (x, y, t) o en quatre (x, y, z, t). Els dos primers casos són representables gràficament però el tercer no ho és. - El moviment unidimensional d'un punt en una gràfica espai-temps ha de quedar sempre comprès en el sector que va de l'eix vertical del temps fins a la recta que representa el moviment d'un raig de llum. Fora d'aquest sector no hi ha esdeveniments possibles perquè haurien hagut d'ocórrer a una velocitat superior a la de la llum.