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第五章 连续函数

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  1. 第五章 连续函数 郇中丹 2006-2007学年第一学期

  2. 基本内容 • §1 函数在一点的连续性 • §2 初等函数的连续性 • §3 重要函数极限 • §4 在集合上连续的函数 • §5 闭区间上连续函数的性质 • §6 一致连续性 • §7 闭集和开集及紧性的概念

  3. §1.函数在一点的连续性 • 函数在一点连续的定义 • 函数在一点的左连续和右连续 • 函数在一点连续的性质 • 连续函数例子

  4. 函数在一点连续的定义 • 定义:设IR为区间,: IR.说在x0I处连续, 如果e>0,d=d(e)>0,xI:|x-x0|<d,|(x)-(x0)|<e. • 在一点连续的等价说法:

  5. 函数在一点的左连续和右连续 • 左连续和右连续: 设: IR, x0I不是端点. 如果 就说在x0处右连续;如果 就说在x0处左连续. 和 分别叫做在x0处的右极限和左极限. • 命题: 设: IR, x0I. 则在x0处连续当且仅当: (1) x0不是端点时,在x0处左右都连续; (2) x0为左(右)端点时, 在x0处右(左)都连续.#

  6. 函数在一点连续的性质 • 设,g: IR在x0I处连续, c,dR. 则 • 算术性质: c+dg,g, 和/g (若g(x0)0)在x0处连续; • 复合性质: 若函数u在(x0)处连续,则h=u在x0处连续; • 保号性: 若(x0)0, 则d>0, xI(x0-d,x0+d), (x) (x0)>0 • 有界性: C>0,  d>0,xI(x0-d,x0+d),|(x)|C.

  7. 连续函数例子 • 1. 常值函数(x)=c是连续的; • 2. 恒等函数(x)=x是连续的; • 3. 多项式函数P(x)=Sakx^k是连续的; • 4. 有理函数(x)=P(x)/Q(x)在Q(x)0处(自然定义域上)是连续的,其中P(x)和Q(x)是多项式; (3和4是连续函数性质的推论) • 5. n根函数(x)=x^{1/n}在其定义域上是连续的; • 6. 整数部分函数(x)=[x]在非整数点连续的, 宰整数点右连续但不左连续;

  8. 书上62页的例子 • 设在闭区间[a,b]的每个点连续. 则函数 在闭区间[a,b]的每个点同样连续. 其中n为整数. • 讨论: (1) 通过讨论在整数点的左右极限. • (2) 注意 • 当求和下限大于上限时, 约定和式为零. #

  9. 习题十一 (I) • 1. 设: RR, x0R. 证明: (x)l(xx0)当且仅当(x)l(xx0+)和(x)l(xx0-). • 2. 设:RR. 讨论函数g(x)=([x])的连续性. • 3. 讨论下列函数的连续性:

  10. 习题十一 (II) • 4. 计算下列极限: • 5. 设和g是定义在(a,+)的函数.假设和g在任何有界区间(a,b)上都有界, x>y>a, g(x)>g(y)且 g(x)+ (x+). 证明:

  11. §2 初等函数的连续性 • 幂的定义 • 指数函数的性质 • 指数函数的连续性 • 指数函数的极限和值域性质 • 自然对数函数 • 对数函数和幂函数 • 三角函数

  12. 幂的定义 (I) • 正整数次幂: 设aR. nN+. a的n次幂定义如下 • 正整数次幂基本性质: • 幂推广到整数并且保留幂的性质: • 要把幂推广到有理数, 首先需要保证n次算术根的存在性, 为此要求a>0. 定义如下

  13. 幂的定义 (II) • 有理指数幂仍然保留了幂的基本性质(验证的关键是用到n次算术根的惟一性). • 无理次幂: 先考虑a>1, 对于rR, 定义a的r次幂为 这里利用了有理次幂的递增性. • 由对于有理次幂的性质 , 可以自然定义当0<a<1时,

  14. 指数函数的性质 • 设a > 0, a 0. 定义以a为底的指数函数为 • 讨论a >1的情形就够了.此时(x)由如下性质: • (1) 正性: xR, (x)>0; • (2) 严格单调递增性: x<y, (x)<(y); • (3) x, yR, (x+y)=(x) (y). • 证明: (1)和(2)直接由定义.(3)由

  15. 指数函数的连续性 • 指数函数在R的每一点都连续. • 证明: 取定x0R. 则对于xR, 因此只要证明在x0=0点连续就行了. 任取e>0, 由 则存在N, 有 • 因此由指数函数的单调性, 当|x|<1/N时,

  16. 指数函数的极限和值域性质 • 指数函数(x)的极限性质(a>1): • (1) (x)  + (x +); • (2) (x)0 (x -) • 证明: 由单调性和(-x)=1/(x), 只要证明(n)  + (n +)就够了,这是有关a^n极限的推论. # • 指数函数的值域(R)=(0,+). • 证明: 由指数函数的正性(R)(0,+).假设r>0, r(R),记a=sup{x | (x)<r}, b=inf{x | (x)>r}.必有a=b.因此在a点不连续,矛盾.#

  17. 自然对数函数 • 考虑a=e的情形, 此时的指数函数记作exp(x).记其在(0,+)上反函数为ln(x),叫作自然对数函数. • 1. ln(x)严格单调,ln(0+)=-, ln(+)=+ . # • 2. ln(x) 在(0,+)的每一点都连续. • 证明: 取x0(0,+). 任取e>0, 令d=min{exp(ln(x0 )+e) -x0, x0-exp(ln(x0 )-e)}. 当|x-x0 |<d时, exp(ln(x0 )-e)<x<exp(ln(x0 )+e) 也就是ln(x0 )-e<ln(x)<ln(x0 )+e. #

  18. 对数函数和幂函数 • 对于a>0, a1, 指数函数和相应的对数函数 • 指数的运算规则: • 幂函数: 设aR, 指数为a的幂函数可以写为 • 更一般地: • 利用复合函数可以讨论它们的定义域和连续性.

  19. 三角函数 • 三角函数连续性的讨论是基于下面的利用三角函数的单位圆描述得得到的几何事实: xR, |sin x||x|. 以及|sin x|, |cos x|1. • 正弦函数: 利用sin x-sin y=2sin(x-y)/2cos(x+y)/2; • 余弦函数: 利用cos x-cos y=2sin(y-x)/2sin(x+y)/2; • tan x, cot x, sec x和csc x利用其与正弦和余弦的关系及连续函数的算术性质.

  20. 习题十二 • 1. 用定义验证下列函数再起定义域上是连续的. • 2. 证明:(1) x(0,1), ln x<0; (2) x>1, ln x>0; • 3. 讨论幂函数 在区间(0,+)的单调性, 即, 对于那些a, 有x>y>0, (x)>(y);对于那些a, 有x>y>0, (x)<(y).

  21. §3 重要函数极限 • 指数对数函数的重要极限 • 三角函数的重要极限 • 应用重要极限的例子

  22. 指数对数函数的重要极限 (I) • 指数对数重要极限: • 证明: 1. 先考虑x+的情形: 由数列情形的结论得到 • 利用指数函数和幂函数的单调性: • 夹逼性质就给出相应的结论.

  23. 指数对数函数的重要极限 (II) • 2.考虑x-的情形: 作代换(把问题看成是复合函数)y=-x, 就得到 • 3. 结合前两部分的结果就得到结论.# • 重要极限的推论:

  24. 三角函数的重要极限 • 正弦重要极限: • 证明: 只要考虑0<|x|<p/2. 先考虑0 <x<p/2的情形.利用单位圆中的面积比较得到: sin x<x<tan x. 因此, cos x<sin x/x<1. 由cos x 和sin x/x都是偶函数,这个不等式对于0 >x> -p/2也是成立的. 利用cos x的连续性和夹逼性质就得到了结论.#

  25. 应用重要极限的例子(I) • 1. • 2. (1-cos x)/x^2  1/2 (x0); • 或1-cos x=x^2/2+o(x^2) (x0); • 或(1-cos x)/x^2=1/2+o(1) (x0); • 或cos x=1-x^2/2+o(x^2) (x0); • 或1-cos x~x^2/2 (x0).

  26. 应用重要极限的例子(II) • 3. (1+x/n)^n=exp(nln(1+x/n)) =exp(xln[(1+x/n)^{n/x}]) exp(x) (x 0); • 或(1+x/n)^n=exp(x)+o(1) (x 0).

  27. 习题十三 (I) • 1. 计算下列极限 • 2. 利用小o记号表述上述极限.

  28. 习题十三 (II) • 3. 计算下列极限: •  若           

  29. §4 在集合上连续的函数 • 描述函数性质的若干定义 • 间断点及其分类 • 单调收敛原理 • 单调函数的间断点和连续性 • 区间上严格单调函数的反函数 • 初等函数的反函数及其性质

  30. 描述函数性质的若干定义 • 在集合上连续: 若函数在集合A的每一点都连续,就说在集合A上连续. • 单调函数: 设AR, : AR. 下面四类函数称作单调的: • 1) 递增函数: x,yA, x<y, (x)(y); • 2) 递减函数: x,yA, x<y, (x)(y); • 3) 严格递增函数: x,yA, x<y, (x)<(y); • 4) 严格递减函数: x,yA, x<y, (x)>(y).

  31. 间断点及其分类 • 间断点:设: AR, xA. 若在x点不连续就说在x点间断. • 间断点分类: • 1) 第一类间断点: 左右极限存在且有限, 其中之一与函数在该点的值不相等; • 2)第二类间断点: 不是第一类的间断点叫第二类间断点. • 可去间断点:左右极限相等的第一类间断点. • 例子: 1) (x)=[x]; 2) (x)={x}; 3) (x)=sin1/x, 若x0, 定义(0)=0.

  32. 单调收敛原理 • 引理: 设在(a,b)上单调, 则在a点的右极限和在b点的左极限存在. • 证明: 只讨论递增时在b点的左极限,其他情形类似. 记b=sup{(x) | x(a,b)}. • 情形1. b<+. 任取e>0,  z(a,b), (z)>b-e. 则当z<x<b时, b-e<(x) b. 因此(x)b(xb). • 情形2. b=+.任取c>0, z(a,b), (z)>c. 则当z<x<b时, (x)>c. 因此(x)b(xb).#

  33. 单调函数的间断点和连续性 • 单调函数值由第一类间断点: 设是[a,b]上的单调函数, 则在各点的单侧极限都存在. 因而值可能有第一类间断点. • 证明: 利用单调收敛原理. # • 区间上单调函数的连续性准则: 设在区间I上单调. 则在I上连续当且仅当(I)是区间. (要讨论什么是区间) • 证明: 1. I是区间当且仅当x,yI, x<y, 则[x,y]I. 这由区间的定义得到.

  34. 区间上单调函数的连续性准则 • 2. 不妨假设是递增的. • 3. 若是在I上连续.任取a,b(I),a=(a)<b=(b), 则a<b.任取g(a,b),令c=sup{x[a,b] | (x)<g}.不难证明必有c=inf{x [a, b] | (x)>g}.这样就有(c^-)g. 由连续性(c)=g. • 4. 假设(I)是个区间. 任取cI, 则(c^-)(c) (c^+). 若(c^-)<(c)或(c)<(c^+)成立,则取不到 ((a),(c))中或 ((c), (b))中的所有值,其中a,bI,a<c<b.因此在c点连续. #

  35. 区间上严格单调函数的反函数 • 严格单调函数的反函数定理: 如果是区间I上的严格单调函数, 则有定义在(I)上的反函数,记为g. 若在I上连续,则g在(I)上也连续. • 证明: 由严格单调, 是I到(I)的双射, 因而有定义在(I)上的反函数,记为g. 若在I上连续,则直接利用区间上单调函数的连续性准则就得到g在(I)上也连续. • 例子: Kepler方程x-esin x=y (0<e<1)在R上有严格增连续函数解x=x(y).

  36. 初等函数的反函数及其性质 (I) • 1. 指数函数exp(x)和对数函数ln(x): • x>0, exp(ln(x))=x; xR, ln(exp(x))=x; • x,yR, exp(x+y)=exp(x)exp(y); • x,y>0, ln(xy)=ln(x)+ln(y); • x>0,yR, ln(x^y)=yln(x); • 2. 幂函数(x)=x^a(aR)的反函数仍是幂函数g(x) =x^{1/a}, x(0,+). (奇延拓和偶延拓) • 3. 反三角函数定义: • y=arcsin x, x[-1,1],y[-p/2,p/2]; • y=arccos x, x [-1,1], y[0,p];

  37. 初等函数的反函数及其性质 (II) • 反三角函数 • y=arctan x, x(-,+),y(-p/2,p/2); • y=arccot x, x(-,+),y(0,p); • y=arcsec x, x(-,-1][1,+),y(0,p/2)(p/2,p); • y=arccsc x, x(-,-1][1,+),y(-p/2,0)(0,p/2). • 反三角函数之间的关系 • arcsec x=arccos 1/x; arccsc x=arcsin 1/x; • x[-1,1], arcsin(-x)=-arcsin x, arccos(-x)=p-arccos x; • x[-1,1], arcsin x+arccos x=p/2.

  38. 习题十四 (I) • 1. 研究下列函数的连续性: • 2. a取什么值时,下列函数处处连续:

  39. 习题十四 (II) • 3. 设函数f, g在x=a处不连续, f+g和f g在x=a处一定不连续吗? • 4. 设函数f在x=a处连续, g在x=a处不连续, f+g和f g在x=a处一定不连续吗? • 5. 设函数f, g是[a,b]上的连续函数, 证明: | f |, max{f, g}, min {f, g}也是[a,b]上的连续函数. • 6. 设f是[0,1]上的连续函数,并且满足条件 证明: f常值函数.

  40. 习题十四 (III) • 7. 设是R上的单调函数并且满足: x,yR, (x+y)=(x)+(y). 证明是R上的连续函数,并给出的表达式. • 8. 设是R上的单调函数并且满足: x,yR, (x+y)=(x)(y). 证明是R上的连续函数,并给出的表达式. • 9.设是R上至多只有第一类间断点的函数.假设 证明: 在R上连续.

  41. 习题十四 (IV) • 10. 设在[0,+)上连续.假设x0, 0(x)x. 任取a00, n0定义an+1=(an). 证明: {an}收敛并且其极限l满足l=(l). 特别若x>0, 0(x)<x, l=0. •  若          

  42. §5 闭区间上连续函数的整体性质 • 连续函数的零点定理 • 连续函数的介值(中间值)定理 • 连续函数的有界性定理 • 连续函数的确界定理

  43. 连续函数的零点定理 • 零点定理: 设函数在闭区间[a,b]上连续.如果在两点a,b的值异号,即(a)(b)<0,则c(a,b), (c)=0. • 证明: 设(a)<0,否则考虑-. 考虑集合 A={x(a,b) | y(a,x], (y)<0} • 由在a处连续和在一点连续的保号性得到A.再由(b)>0及b处连续和连续的保号性可知: c=sup A(a,b). 由连续性(c)0, 若(c)<0, 则d>0, x[c-d,c+d](a,b), (x)<0, 这与c=sup A矛盾. 所以(c)=0.#

  44. 连续函数的介值(中间值)定理 • 介值定理: 设函数在闭区间[a,b]上连续.g介于(a)与(b)之间,则c(a,b), (c)= g.换句话说, 区间在连续函数下的像还是区间. • 证明: 由g介于(a)与(b)之间,考虑函数g(x)= (x)-g, 则,g在闭区间[a,b]上连续并且g(a)g(b)<0.由零点定理c(a,b), g(c)=0,即(c)= g.#

  45. 连续函数的有界性定理 • 有界性定理: 有界闭区间上的连续函数必有界. • 证明: 设是有界闭区间[a,b]上的连续函数.考虑集合A={x(a,b] | 在[a,x]上有界}. • 由在a处连续和在一点连续的有界性得到A. 记c=sup A(a,b).由A有界c(a,b]. • 若c<b, 由在c点连续, d>0, 在[c-d,c+d](a,b)上有界, 因此在[a,c+d]上有界,即c+dA,这与c=sup A矛盾. 所以在[a,b]上有界.#

  46. 连续函数的确界定理 • 确界定理: 有界闭区间上的连续函数必能达到值域的上确界和下确界,换句话说,闭区间在连续函数下的像仍然是闭区间.(相应地叫最大(小)值) • 证明: 设在有界闭区间[a,b]上连续.先讨论上确界的情形,记b=sup{(x)|x[a,b]}.若b([a,b]),则x[a,b],b-(x)>0,因而g(x)=1/(b-(x))在有界闭区间[a,b]上连续,因此g(x)在[a,b]上有正上界a,即x[a,b], g(x)=1/(b-(x))<a, 也就是(x) <b-1/a. 与b的定义矛盾. • 对-应用上面的结论,得到下确界的结论.#

  47. 平均值例题 • 例:设在有界闭区间[a,b]上连续.xi[a,b], i=1,…, n.则c[a,b]: (c)=((x1)+…+(xn))/n. •  A  A若bR          

  48. 习题十五 (I) • 1. 证明ax^3+bx+c=0 (ab>0)只有一个实根. • 2. 设a<0, 证明x^a=ln x只有一个实根. • 3. 设C[a,b]. 证明函数 . 如果知道 ,能够推出C[a,b]吗? • 4. 设C(a,b). 如果存在(a,b)中的点列{xn}和{yn}, xnb, ynb (n+)满足 . 证明: c(A,B),存在(a,b)中的点列{zn}: znb (n+)满足: n, (zn)=c. • 5.设在[0,+)上连续有界.证明: T>0, xn+使得(xn +T)-(xn)0.

  49. 习题十五 (II) • 6. 假设C(R)且存在常数L>0使得: x,yR, |(x)-(y)|L|x-y|. 证明: (1) 函数g(x)=(x)-Lx在R上单调递减; (2) M>L, cR, (c)=Mc;M=L时,结论如何? • 7. 设C(a,b). 假设其绝对值函数||在(a,b)单调. 证明: 在(a,b)单调. • 8. 设和g是R上的连续周期函数满足(x)-g(x) 0 (x +). 证明: g. • 9. 设C[a,+)并且(x)lR(x +).证明:  在[a,+)上有界.

  50. 习题十五 (III) • 10. 设C(R)并且(x)+(x ).证明:  在R上能取到其下确界(最小值). • 11.设C[0,1]且恒为正.记M(x)=sup{(y) | y[0,x]}. 证明: 当且仅当在[0,1]上单调递增. • 12. 设C[a,b]满足x[a,b],  y[a,b],使得|(x)| |(y)|/2. 证明c[a,b], (c)=0. • 13.设C(R).证明: (1) 若(( x))(x ),则( x) (x ); (2)若(( x))+(x ),则( x)+ (x ).