1 / 17

第五十二讲

吉林大学远程教育. 大学文科数学. （微积分学）. 第五十二讲. 主讲： 杨荣 副教授. y. A. x = 5 y 2. x = 1＋ y 2. o. 1. x. B. 习题课. 内容提要. 利用定积分可以计算一些几何量和物理量，例如平面图形的面积，旋转体的体积、平面曲线的弧长、引力、水压力和变力作功等。. 典型例题 ：. 例1 求曲线 x = 5 y 2 与 x = 1＋ y 2 所围成图形的面积. 分析 首先作出两条曲线 的图形，并求出它们的交点坐

lihua
Télécharger la présentation

第五十二讲

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 吉林大学远程教育 大学文科数学 （微积分学） 第五十二讲 主讲：杨荣副教授

  2. y A x = 5y2 x = 1＋y2 o 1 x B 习题课 内容提要 利用定积分可以计算一些几何量和物理量，例如平面图形的面积，旋转体的体积、平面曲线的弧长、引力、水压力和变力作功等。 典型例题： 例1 求曲线 x = 5y2与 x = 1＋y2所围成图形的面积 . 分析首先作出两条曲线 的图形，并求出它们的交点坐 标。根据图形，确定自变量及 其取值区间，利用定积分求出 图形的面积。 为了求出两条曲线的交点 的坐标，可解方程组

  3. 解得交点A及B的坐标分别为 及 。把它们标记在图中。 图形关于 x轴是对称的，因此只需算出 x轴上方图形（阴影部分）面积。 容易看出以 y作为积分变量是方便的。 y的取值区间是 ，因此所求 面积为 例2 求由曲线 y＝lnx、该曲线在点(1, 0)处的切线及直线 x＝e所围 成的图形的面积。 分析 首先求出曲线 y＝lnx在点(1, 0)处的切线方程。切线斜率为

  4. y y = x－1 1 y=lnx o 1 2 e 3 x -1 例3 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l及二直线 x＝0， x＝2所围成的图形面积最小。 分析 首先要确定曲线 上一点 处切线的斜率 切线过点 (1, 0)，切线方程为 阴影部分就是三条曲线所围成的 图形，其面积为

  5. 则可求得曲线在点 处的切线的方程 即 再求出题设曲线所围成图形的面积 再求的最小值点。为此，令

  6. 得 t＝1。由于 所以 t＝1时S (t)为最小。最后定出所求切线 l的方程为 例4 求曲线 所围成图形的面积。 分析 此参数方程所确定的图形是椭圆。由图形的对称性，图形的 面积

  7. 注意：将 x及 y的参数表达式代入面积表达式，相当于作变量代 换 x＝2cost，y＝4sint。当 x＝0时， t＝ ；当 x＝2时， t＝0 。这一 点不要搞错。 例5 求由星形线 所围成图形的面积。 解 由星形线图形的对称性，它围成的面积为

  8. 例6 求圆 与双纽线 公共部分的面积。 得 . 由右图，可得 分析 解方程组

  9. 例6 求位于曲线 下方以及该曲线过原点的切线的左方与 轴上方之间的图形的面积（如右图所示）。 分析 曲线 上一点 处切线斜率为 切线方程为 由于切线过原点o(0, 0)，得 于是 x0＝1. 切点为(1, e)，切线方程为 所求面积

  10. 例8 求由曲线 及 所围成的图形绕 x轴旋转一周所 生成的旋转体的体积。 y y=x2 1 x=y2 o 1 x 分析 如右图所示，所求旋转 体的体积V等于 x = y2(0≤y≤1)曲线 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体 积V1与曲线 y = x2(0≤x≤1)绕 x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积V2之差。 解 我们有

  11. 例9 设抛物线 y = ax2＋bx＋c过原点，当0≤ x≤1时， y≥0. 已 知该抛物线与 x轴及直线 x = 1所围成的图形的面积为 ，确定a, b, c， 使此图形绕 x轴旋转一周生成的旋转体的体积V最小。 分析 这是一道综合题。利用抛物线过原点的条件，可知c＝ 0 。 算出曲边梯形的面积并令它等于 . 求出旋转体的体积V的表达式，将V 对a求导数并令它等于零，即可求得a和b 。 解 因为抛物线 y = ax2＋bx＋c过原点o(0, 0)，所以 c＝ 0 . 抛物线与 x轴及直线 x = 1围成的面积 可得

  12. 得 代入上式，得 解得 . 由于 上述图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的体积 将对求导数并令其等于零，得

  13. 所以当 时，V取最小值。此时 综合上述讨论可知，当 时，旋转体的体积为 最小。 解得 . 由于 将对求导数并令其等于零，得

  14. y 分析 所求体积V等于上半圆 周 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 V1与下半周 绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的体 积V2之差。注意到 5 －4 o 4 x 例10 求圆域 x2＋(y－5)2≤ 16绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的 体积。 以及上面的函数是偶函数，将会使计算得到简化。 解 我们有

  15. 令 x＝4sint ，则 dx＝4costdt. 当 x＝0时， t＝0 ；当 x＝4时， t＝ . 因此 例11 求抛物线y2＝2 x(0≤ x ≤2)的长度。 分析 可把y作为自变量，则抛物线方程为 这里要注意抛物线 y2＝2x以 x轴为对称轴，y的取值范围是闭区间[－2, 2].

  16. 解 抛物线 y2＝2 x(0≤ x ≤2)的长度为

  17. 谢谢！

More Related