تالس و تشابه

1. عنوان کلی سرآغاز تالس و تشابه فصل سوم 1

2. نسبت و تناسب تعریف تناسب نسبت: حاصل تقسیم دو مقدار بر یک دیگر را نسبت می‏گویند. b ≠ 0 تناسب: اگر چند نسبت با یکدیگر برابر باشند تشکیل یک تناسب می دهند. 2

3. خواص تناسب ویژگی‏ها تناسب 1) در هر تناسب حاصل ضرب دو جمله میانی برابر است با حاصل ضرب دو جمله کناری. a,d = کناری یا طرفینb,c =میانی یا وسطین ضرب طرفین تناسب در bd 2) در تناسب می توان جای دو جمله ی میانی را عوض کرد. ضرب طرفین تناسب در 3

4. ویژگی‏ها تناسب 3) در تناسب می توان جای دو جمله کناری را عوض کرد. ضرب طرفین تناسب در 4) در تناسب می توان کسرها را معکوس کرد. ضرب طرفین تناسب در 5) در تناسب می توان ترکیب در صورت نمود. به طرفین تناسب 1 را اضافه کنید 4

5. ویژگی‏ها تناسب 6) در تناسب می توان ترکیب در مخرج کرد معکوس کردن ترکیب در صورت دوباره معکوس کردن 7) در هر تناسب می توان تفضیل در صورت کرد. به طرفین تناسب 1- را اضافه کنید 5

6. ویژگی‏ها تناسب 8) در هر تناسب می توان تفضیل در مخرج کرد. معکوس کردن تفضیل در صورت دوباره معکوس کردن 9) در هر تناسب، هر نسبت برابر است با نسبت مجموع صورت‏‏ها به مجموع مخرج‏ها.. 6

7. قضایا تالس * قضیه تالس: اگر خطی دو ضلع از مثلثی را قطع کند به طوری که با ضلع سوم موازی باشد نسبت پاره خط هایی که روی یک ضلع ایجاد کرده است با نسبت پاره خط های ایجاد شده روی ضلع دیگر برابر است.نتیجه 1 و 2 از قضیه   *عکس قضیه تالس: اگر در یک مثلث خطی دوضلع آن را قطع کند به طوری که نسبت پاره خط های ایجاد شده روی یک ضلع با نسبت پاره خط های ایجاد شده روی ضلع دیگر تناسب داشته باشد، آن خط با ضلع سوم موازی است. 7

8. قضایا تالس • قضیه ی تالس در خطوط موازی و مورب: پاره خط هایی که چند خط موازی در اثر برخورد با دوخط مورب پدید می آورند، نظیر به نظیر متناسبند. • قضیه: در هر ذوزنقه هر خطی که از محل تلاقی قطرها به موازات قاعده ها رسم شود در محل تلاقی خود با قطر ها نصف می شود. • قضیه تالس در خطوط موازی و همرس: پاره خط هایی که چند خط همرس در اثر برخورد با دو خط متوازی پدید می آورند نظیر به نظیر متناسبند. 8

9. قضایا تالس عکس قضیه ی فوق: در هر صفحه خط های نا‏متوازی که دو خط متوازی را قطع کنند و بر آن ها پاره خط‏های متناظر متناسب پدید آورند، همرسند. قضیه: نیم ساز یک زاویه مثلث، ضلع رو به رو را به دو پاره خط تقسیم می کند که طول هایشان با طول های دو ضلع مجاور متناسب است. قضیه: در هر ذوزنقه وسط های دو قاعده، نقطه تلاقی دو قطر و نقطه تلاقی امتداد های ساق ها،هم‏خطند. (هم‏خطند = هم‏راستا هستند = بریک استقامتند) 9

10. قضایا تالس • قضیه: خطی که موازی دو قاعده ذوزنقه رسم می شود به طوری که ساق‏ها و قطر‏ها را در چهار نقطه متمایز قطع کند، به سه قطعه تقسیم می شود که همواره دو قطعه ای که محدود بین دو ساق و دو قطر است با هم برابرند. • قضیه تالس در فضا: پاره‏خط‏هایی که چند صفحه موازی در اثر برخورد با دوخط مورب پدید می آورند، نظیر به نظیر متناسبند. 10

11. چند مثال قضیه تالس مسئله: در مثلث ABC از نقطه F واقع بر ضلع BC خطی موازی میانه AM رسم می کنیم تا اضلاع AB و AC یا امتداد آن ها را به ترتیب در D و E قطع کند. ثابت کنید: مسئله: در مثلث ABC از نقطه ی M' واقع بر میانه AM دو خط به موازات اضلاع AB و AC رسم می کنیم تا ضلع BC را در نقاط B' و C' قطع کند ثابت کنید MB' = MC' است. مسئله: بر ضلع Ox از زاویه xOy دو نقطه متمایز A و B را اختیار کرده و از این نقاط دو خط متوازی رسم می کنیم تا ضلع Oy را به ترتیب در نقاط C و D قطع کند و از نقطه D خطی موازی BC رسم می کنیم تا ضلع Ox را در نقطه E قطع کند. ثابت کنید: OB میانگین هندسی OA و OE است. 11

12. چند مثال قضیه تالس • مسئله: سه نیم خط همرس Ox و Oy و Oz را در نظر گرفته و از دو نقطه A و B واقع بر Ox دو خط موازی رسم می کنیم تا Oy را در نقاط A' و B' قطع کند از نقاط A' و B' دو خط موازی دیگر رسم می‏کنیم تا Oz را نقاط A" و B" قطع کند، ثابت کنید: AA" II BB” • مسئله: در چهار ضلعی ABCD نقاط متمایز M و N و P و Q را به ترتیب بر ضلع های ABو BC و CD و ADچنان اختیار می کنیم که NP II BD و PQ II MN II AC نشان دهید: MQ II BD 12

13. چند مثال قضیه تالس • مسئله: خطی موازی دو قاعده ذوزنقه رسم کنید که ساق هاو قطرها را در چهار نقطه قطع کند و سه پاره خطی که به وسیله دو ساق و دو قطر، بر آن پدید می آید متساوی باشد. • مسئله: سه خط همرس در یک صفحه مفروضند از نقطه ی مفروض P واقع بر صفحه خطی رسم کنید که خط های همرس را در نقاط A و B و C قطع کند و AB = BC باشد. 13

14. چند مثال قضیه تالس • مسئله: با توجه به شکل، ثابت کنید: راهنمایی: x y z m n • قضیه: در هر مثلث، نیمسازهای درونی و برونی یک زاویه ضلع روبرو به آن زاویه و امتداد آن ضلع را در دو نقطه قطع می‏کند به طوری که نسبت فاصله های هر یک از این دو نقطه تا دو رأس دیگر مثلث با هم برابرند. راهنمایی: رجوع کنید به سؤال21 پلی کپی فصل3 14

15. تشابه مفهوم تشابه • دوشرط اساسی تشابه در شکل ها: 1- تساوی همه زوایای متناظر 2- تناسب همگی اضلاع متناظر • یادآوری: دربرخی شکل ها مانند مثلث با بدست آوردن بخشی از شرایط فوق، تشابه بر قرار می‏گردد. دلیل این مطلب آن است که سایر شرایط، با در نظر داشتن مسئله فوق خود به خود ایجاد گشته اند. 14

16. مثلث تشابه • حالت های تشابه در مثلث • 1- تساوی دو زاویه: اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر با هم برابر باشند آن دو مثلث متشابهند. • 2- تناسب دو ضلع و برابری زاویه بین آنها:اگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر نظیر به نظیر متناسب باشند هم چنین زاویه ی بین آن ها از دو مثلث با یکدیگر برابر باشند آن گاه دو مثلث متشابهند. • 3- تناسب سه ضلع:اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر به طور متناظر، متناسب باشند آن دو مثلث متشابهند. • نسبت تشابه: تعریف: حاصل هر یک از نسبت های اضلاع در دو مثلث متشابه برابر با مقدار ثابتی مانند K است که به آن مقدار نسبت تشابه می‏گویند. 15

17. اجزای مثلث تشابه • قضیه: در هر مثلث قائم الزاویه ارتفاع وارد بر وتر، آن مثلث را به سه مثلث متشابه تقسیم می کند. • قضیه: در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع های متناظر برابر است با نسبت تشابه. • قضیه: در دو مثلث متشابه نسبت میانه های متناظر برابر است با نسبت تشابه. • قضیه: در دو مثلث متشابه نسبت نیم ساز های متناظر برابر است با نسبت تشابه. • چه نتیجه ای از سه قضیه بالا می‏گیرید؟ 16

18. محیط و مساحت تشابه محیط و مساحت در مثلث های متشابه • قضیه: در دو مثلث متشابه نسبت محیط های دو مثلث برابر است با نسبت تشابه. • قضیه: در دو مثلث متشابه نسبت مساحت های دو مثلث برابر است با توان دوم نسبت تشابه. • قضیه: (ترکیب دو قضیه فوق): در دو مثلث متشابه نسبت مساحت های دو مثلث برابر است با توان دوم نسبت محیط های آنها. 17