Zadanie 1.

1. Stowarzyszenie na rzecz Edukacji MatematycznejKonkursy matematyczne w PolsceSulejów, 17–19 października 2008KOLOROWANIEWaldemar Rożek

2. Zadanie 1. Mamy tabliczkę czekolady 8x8. Jaka jest minimalna liczba łamań po której otrzymamy pojedyncze kawałki? (przełamanych kawałków nie można składać piętrowo).

3. Rozwiązanie 1. Po każdym łamaniu przybywa dokładnie jeden kawałek. Tak więc zawsze musimy wykonać 63 łamania.

4. Zadanie 2. Z szachownicy o wymiarach 8x8 usunięto dwa przeciwległe narożne pola. Czy pozostałe 62 pola można pokryć 31 prostokątami o wymiarach 2x1?

5. Rozwiązanie 2. Nie można. Kolorujemy szachownicę w zwykły sposób. Wycięte pola mają ten sam kolor, a prostokąt 2x1 pokrywa pole różnych kolorów, więc obu kolorów musiałoby być tyle samo.

6. Zadanie 3. Czy szachownicę 8x8 można „obskoczyć” ruchem konika szachowego, stając na każdym polu dokładnie jeden raz, jeśli startujemy z lewego dolnego pola i kończymy w prawym górnym?

7. Rozwiązanie 3. Nie można. Konik musi wykonać 63 ruchy, a w każdym ruchu zmienia kolor pola. Tak więc po nieparzystej liczbie ruchów nie może być na polu tego samego koloru jak ten z którego wystartował.

8. Zadanie 4. (41 OM) Z szachownicy o wymiarach 8x8 o polach pokolorowanych w zwykły sposób usunięto dwa pola różnych kolorów. Udowodnić, że pozostałe 62 pola można pokryć 31 prostokątami o wymiarach 2x1.

9. Rozwiązanie 4. Między wyciętymi polami jest parzysta liczba pól.

10. Zadanie 5. Z szachownicy 8x8 usuwamy jedno pole. Które pole należy usunąć, aby otrzymaną figurę można było pokryć prostokątami o wymiarach 3x1?

11. Rozwiązanie 5. Zielone - 21 Żółte - 22 Białe - 21 Każdy prostokąt 3x1 pokrywa dokładnie jedno pole każdego koloru. Należy zatem usunąć żółte pole, uwzględniając symetrie i obroty. Są cztery takie pola.

12. Rozwiązanie 5. Zielone - 21 Żółte - 22 Białe - 21 Każdy prostokąt 3x1 pokrywa dokładnie jedno pole każdego koloru. Należy zatem usunąć żółte pole, uwzględniając symetrie i obroty. Są cztery takie pola.

13. Rozwiązanie 5. A oto przykład pokrycia szachownicy prostokątami 3 x 1 po usunięciu jednego z wyznaczonych pól.

14. Zadanie 6. (46 OM) Kwadrat o boku długości n dzielimy na n2kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n dla których taki kwadrat można pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

15. Rozwiązanie 6. Jeśli n jest liczbą parzystą, tniemy kwadrat na kwadraty 2x2. Załóżmy zatem, że n jest liczba nieparzystą. Niebieskich pól jest o n więcej niż żółtych. Każdy kwadrat 2x2 pokrywa 2 pola żółte i 2 pola niebieskie, a każdy kwadrat 3x3 pokrywa 3 żółte i 6 niebieskich lub odwrotnie. Zatem dodając różnice liczby pól obu kolorów otrzymamy liczbę podzielną przez 3. Jednocześnie obliczona w ten sposób suma równa się różnicy między liczbą niebieskich i żółtych pól na całej szachownicy, czyli n. Tak więc jeśli podział jest wykonalny, to n dzieli się przez 2 lub przez 3 i na odwrót jeśli n dzieli się przez 2 lub przez 3, to kwadrat można pociąć w żądany sposób.

16. Zadanie 7.(43 OM) Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite. Długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód tego wielokąta jest liczbą parzystą.

17. Rozwiązanie 7. Punkty kratowe kolorujemy w szachownicę. Bok o długości parzystej nie zmienia koloru. x2 + y2 =z2 Analogicznie bok o długości nieparzystej zmienia kolor. x, y - tej samejparzystości. Droga jest zamknięta, więc jest parzysta liczba zmian koloru, czyli parzysta liczba liczb nieparzystych.

18. Zadanie 8.(Baltic Way, 1998) Czy można pokryć szachownicę o wymiarach 13x13 czterdziestoma dwoma klockami o wymiarach 4x1 w taki sposób, że tylko środkowe pole szachownicy pozostanie niezakryte?

19. Rozwiązanie 8. Nie można. Środkowe pole jest żółte, a każdy klocek 4x1 pokrywa 2 niebieskie i 2 żółte. Niebieskich będzie więcej.

20. Zadanie 9. Czy szachownicę o wymiarach 8x8 można pokryć piętnastoma klockami typu L i jednym 2x2 ?

21. Rozwiązanie 9. Nie można. Kolorujemy pasami. Jest tyle samo pól niebieskich i żółtych. Klocek 2 x 2 pokrywa dwa pola niebieskie i dwa pola żółte. Klocek typu L pokrywa: trzy pola niebieskie i jedno żółte lub trzy pola żółte i jedno niebieskie. Zatem powinno być ich tyle samo. A to jest niemożliwe, bo w sumie jest ich 15.

22. Zadanie 10. Dana jest szachownica 1000 x 1000. Gdzieś po „środku” tej szachownicy jest prostokąt o wymiarach 10 x 9, na którym ustawiono 90 pionków. Dozwolone ruchy, to bicie pionka w pionie lub w poziomie, przeskakując go. Pionek zbity zostaje zdjęty z szachownicy. Czy można doprowadzić do sytuacji, w której na szachownicy pozostanie tylko jeden pionek?

23. Rozwiązanie 10. Kolorujemy szachownicę na trzy kolory. 30 pionków na niebieskich polach, 30 na żółtych polach 30 na czerwonych polach Po wykonaniu dowolnego bicia przybywa pion jednego koloru a ubywają dwa piony pozostałych kolorów. Czyli będą trzy liczby nieparzyste. W każdym następnym ruchu zmieni się parzystość wszystkich trzech liczb. Czyli nie jest możliwe doprowadzenia do sytuacji, w której na szachownicy pozostanie układ 1,0,0.

24. Zadanie 11. Czy szachownicę o wymiarach 10 x 10 można pokryć kostkami 4 x 1?

25. Nie można. Malujemy szachownicę co czwarte pole. Każdy klocek 4 x 1 pokrywa dokładnie jedno pole niebieskie, których jest 26. Potrzeba zatem 26 klocków. Ale 26x4 =104 >100. Rozwiązanie 11.

26. Można też tak pokolorować. Kostka 4 x 1 pokrywa dokładnie dwa pola niebieskie i 2 pola żółte. A niebieskich jest więcej. Rozwiązanie 11.

27. Zadanie 12. Z szachownicy o wymiarach (2n+1) x (2n+1) usuwamy jedno narożne pole. Dla jakich n można pokryć powstałą figurę prostokątami wymiaru 2 x 1 w taki sposób, by dokładnie połowa tych prostokątów była położona poziomo?

28. Kolorujemy szachownicę pasami. Wszystkich pól na szachownicy jest (2n+1)2 - 1 = 4n2 +4n. 2n2+3n niebieskich i 2n2+n żółtych. Jest więc n2+n poziomych i n2+n pionowych prostokątów. Pionowe zakrywają po jednym polu każdego koloru, poziome są jednokolorowe. Po pionowych zostaje n2 żółtych i n2+2n niebieskich. Stąd 2|n2, więc 2|n. I to wystarczy. Rozwiązanie 12.

29. Zadanie 13. Na każdym polu szachownicy o wymiarach 2009 x 2009 siedzi zając. W pewnej chwili każdy zając przeskakuje na sąsiednie pole (dwa pola są sąsiednie, gdy maja wspólny bok). Pokazać, że przynajmniej jedno pole zostanie puste. (Uwaga: szachownica może mieć wymiar (2n+1)x(2n+1))

30. Rozwiązanie 13. Kolorujemy szachownicę. Jeżeli bok kwadratu jest liczbą nieparzystą, to liczba pól niebieskich jest inna niż liczba pól żółtych. Jeśli zając przeskakuje na sąsiednie pole, to zmienia kolor klatki. Zatem jeśli na początku żółtych klatek było więcej, to któraś pozostanie pusta.

31. Zadanie 14. Czy szachownicę o wymiarach 8 x 8 można pokryć nieparzystą liczbą kwadratów 2 x 2 i pewną liczbą figur

32. Rozwiązanie 14. Kolorujemy szachownicę w następujący sposób Na szachownicy znajdują się 32 pola zielone i 32 pola białe. Zauważmy, że kwadrat 2 x 2 pokrywa przy takim kolorowaniu nieparzystą liczbę pól zielonych, a pozostałe figurki pokrywają parzystą liczbę pól zielonych. Czyli nie jest możliwe pokrycie szachownicy zgodnie z warunkami zadania.

33. Zadanie 15. Prostokąt pokryto kwadratami 2 x 2 i prostokątami 1 x 4. Zabieramy jeden kwadrat 2 x 2 i dodajemy jeden prostokąt 1 x 4. Wykaż, że po tej wymianie nie jesteśmy w stanie pokryć tego prostokąta.

34. Rozwiązanie 15. Kolorujemy prostokąt w następujący sposób Zauważmy, że każdy kwadrat 2 x 2 pokrywa dokładnie jedno zielone pole, natomiast prostokąt 4 x 1 pokrywa zero lub dwa pola zielone.

35. Zadanie 16. Prostokąt podzielono na pewną liczbę mniejszych prostokątów. Udowodnić, że jeżeli każdy z małych prostokątów ma przynajmniej jeden bok o długości całkowitej, to duży prostokąt ma co najmniej jeden bok o długości całkowitej.

36. Pokolorujmy ten prostokąt tak jak zwykłą szachownicę w kwadraty o boku ½. Zauważmy, że przy takim kolorowaniu, jeśli przynajmniej jeden bok prostokąta ma długość całkowitą, to pole obszaru niebieskiego jest równe polu obszaru żółtego. Skoro więc prostokąt podzielono na małe prostokąty z których każdy ma przynajmniej jeden bok długości całkowitej, to suma pól niebieskich ze wszystkich tych prostokątów jest równa sumie pól żółtych. Rozwiązanie 16.

37. Załóżmy zatem, że prostokąt o wymiarach axb, gdzie a i b nie są liczbami całkowitymi podzielono na mniejsze prostokąty, z których każdy ma przynajmniej jeden bok o długości całkowitej. Wycinamy z tej szachownicy prostokąt o maksymalnych wymiarach, którego obydwa boki mają długość całkowitą. W wyciętym prostokącie pole żółtego jest równe polu niebieskiego. Pola są równe także w prostokątach otoczonych czerwonym kolorem (bo jeden bok jest całkowity). Tak więc wystarczy przeanalizować sytuację w zakropkowanym prostokącie. Rozwiązanie 16.

38. Rozwiązanie 16. Mamy trzy możliwości: • 0<x,y ≤ ½ PŻ = xy, PN =0, PŻ > PN • x < ½ PŻ= ¼ , PN= ½ x, PŻ > PN • 0 < x, y < ½ PŻ= ¼ +xy, PN= ½ x + ½ y, ¼ + xy > ½ x + ½ y (bo: (½ - x)( ½ - y) > 0 ). W każdym z powyższych przypadków PŻ ≠ PN , a to jest sprzeczne z faktem, że sumy pól w małych prostokątach są równe. Tak więc przynajmniej jeden z boków dużego prostokąta ma długość całkowitą.