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§12 ． 9 二阶常系数非齐次线性微分方程

§12 ． 9 二阶常系数非齐次线性微分方程. 二阶常系数非齐次线性微分方程. 一、 f ( x ) = P m ( x ) e l x 型. 特解形式. 二、 f ( x ) = e l x [ P l ( x )cos w x + P n ( x )sin w x ] 型. 特解形式. 二阶常系数非齐次线性微分方程. 二阶常系数非齐次线性微分方程：. 是形如 y  + py  + qy = f ( x ) 的方程，其中 p 、 q 是常数．. 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构：. 设齐次方程

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§12 ． 9 二阶常系数非齐次线性微分方程

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  1. §12．9 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 f(x) =Pm(x)elx型 特解形式 二、f(x)=elx[Pl (x)cos w x +Pn(x)sin wx ]型 特解形式

  2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程： 是形如 y+py+qy=f(x) 的方程，其中p、q是常数． 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构： 设齐次方程 y+py+qy=0 的通解为yY(x)，非齐次方程 y+py+qy=f(x) 的一个特解为yy*(x)，则非齐次方程的通解为 yY(x) y*(x)．

  3. 一、 f(x) =Pm(x)elx型 下面求方程 y+py+qy=Pm(x)elx， 的特解y* ，其中Pm(x)是m次多项式． 可以猜想，方程的特解y*应具有与Pm(x)elx类似的函数形式． 设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，代入方程 得 [Q(x)+2lQ(x)+l2Q(x)]elx+ p[Q(x)+lQ(x)]elx +qQ(x)elx =[Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)] elx=Pm(x)elx， 于是有等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)．

  4. 设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则l2+pl+q0． 要使上式成立，Q(x)应设为m次多项式： Qm(x)=b0 xm+b1xm-1+ · · · +bm-1x+bm， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，· · · ，bm， 并得所求特解 y*=Qm(x)elx．

  5. 设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx． (2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则 l2+pl+q=0，但2l+p0， 要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)． 成立，Q(x)应设为m+1 次多项式： Q(x)=xQm(x)， Qm(x)=b0 xm+b1xm-1+ · · · +bm-1x+bm， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，· · · ，bm，并得 所求特解 y*=xQm(x)elx．

  6. 设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx． (2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)elx． (3)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 l2+pl+q=0，2l+p=0， 要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)． 成立，Q(x)应设为m+2 次多项式：Q(x)=x2Qm(x)， Qm(x)=b0 xm+b1xm-1+ ··· +bm-1x+bm， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，··· ，bm，并得 所求特解 y*=x2Qm(x)elx．

  7. 设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)． (1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx． (2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)elx． (3)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则y*=x2Qm(x)elx ．

  8. 特解形式： 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy= Pm(x)elx 有形如 y*=xkQm(x)elx 的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，而k按l 不是特征方 程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1 或2．

  9. 例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解． 解 这是二阶常系数非齐次 线性微分方程，且f(x)是Pm(x)elx 型(其中Pm(x)3x1，l0)． 把它代入所给方程，得 3b0x2b03b13x1， 比较两端x同次幂的系数，得 与所给方程对应的齐次方程 为 y-2y-3y=0， 它的特征方程为 r2-2r-3=0． 得所给方程的一个特解为 由于l0不是特征方程的根，所以应设特解为 y*b0xb1．

  10. 例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解． 解 这里f(x)是Pm(x)elx型 (其中Pm(x)x，l2)． 把它代入所给方程，得 2b0x2b0b1x． 比较两端 x 同次幂的系数，得 所给方程对应的齐次方程为 y-5y+6y=0， 特征方程为： r2-5r+6=0， 特征方程的根为：r12，r23． 齐次方程的通解为： YC1e2xC2e3x． 求得所给方程的一个特解为 由于l 2 是特征方程的单 根，所以应设方程的特解为 y*x(b0xb1)e 2x． 从而所给方程的通解为

  11. 二、f(x)=elx[Pl (x)cos w x +Pn(x)sin wx ]型

  12. 二、f(x)=elx[Pl (x)cos w x +Pn(x)sin wx ]型 f(x)=elx[Pl (x)cos w x+Pn(x)sin wx ] =P(x)e(l+ iw) x+`P(x)e(l- iw) x． 设方程y+py+qy=P(x)e(l+ iw) x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+ iw) x， 则方程y+py+qy =`P(x)e(l- iw) x的特解为y2*=xk`Qm(x)e(l+ iw) x， 其中k按liw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1． 于是原方程y+py+qy=f(x)的特解为 y*=xkQm(x)e(l+ iw) x + xk`Q m(x)e(l- iw) x =xkelx[Qm(x)(cos wx+isin wx) +`Q m(x)(cos wx-isin wx)] = xkelx[R(1)m(x)cos wx+R(2)m(x)sin wx]．

  13. 二、f(x)=elx[Pl (x)cos w x +Pn(x)sin wx ]型 特解形式： 我们有如下结论： 如果f(x)=elx[Pl(x)cos w x+Pn(x)sin wx ]，则二阶常系数非齐次 线性微分方程 y+py+qy=f(x) 的特解可设为 y*=xkelx[R(1)m(x)cos wx+R(2)m(x)sin wx]， 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式，m=max{l，n}，而k按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．

  14. 例3求微分方程y+y=xcos 2x的一个特解． 解 f(x)是elx[Pl(x)cos w x+Pn(x)sin wx ]型的，其中l0， w2，Pl(x)x，Pn(x)0． 与所给方程对应的齐次方程为 yy0， 它的特征方程为 r210． liw2i不是特征方程的根，所以应设特解为 y*=xkelx[R(1)m(x)cos wx+R(2)m(x)sin wx]， y*(axb)cos 2x(cxd )sin 2x． 把它代入所给方程，得 (3ax3b4c)cos 2x(3cx3d4a)sin 2xxcos 2x． 比较两端同类项的系数，得 于是求得一个特解为

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