Совместный спектральный радиус матриц: приложения и методы вычисления.

1. В.Ю.Протасов (МГУ) Совместный спектральный радиус матриц: приложения и методы вычисления. Геометрический смысл: Возьмём единичный шар в этой норме:

2. Геометрический смысл JSR

3. Приложения: • Rota, Strang (теория нормированных алгебр) • 1988-90 Барабанов, Козякин (динамическе системы с переключениями) • Daubechies, Lagarias, Cohen, Heil, …. (теория всплесков) • 1989-92 Micchelli, Prautzsch, Dyn, Dahmen, … (уточняющие схемы – теория приближений и • дизайн кривых и поверхностей) • Распределение случайных рядов (теория вероятностей), • Асимптотика бинарной функции разбиения Эйлера (комбинаторика, теория чисел), • Емкость кодов, оценка числа неперекрывающихся слов, теория графов, .... Основные свойства

4. Всплески с компактным носителем А.Хаар (1909), В.А. Котельников (1933), К.Э.Шеннон (1949),. 1980-90: С.Малла, И.Мейер, И.Добеши, Ч.Чуи, А.Коэн, В.Дамен, и др. I.Daubechies (1988) – всплески с компактным носителем. Преимущества всплесков: Локализация (компактные носители), Быстрые алгоритмы вычисления коэффициентов, Характеризация функциональных пространств . . Обработка сигналов . Теория функций, теория приближений Диф. Уравнения (Вейвлет-Галёркин метод, и др.)

5. Построение всплесков. Масштабирующие уравнения. Для построения системы всплесков с компактным носителем нужно решить масштабирующие уравнение (refinement equation) – разностное функциональное уравнение со сжатием аргумента. - последовательность комплексных коэффициентов. Это – обычное разностное уравнение, но с двоичным сжатием аргумента.

6. Примеры систем всплесков 1. Всплески Хаара (1909) Масштабирующее уравнение: 1 1 0 1 0 1 2. Всплески Шеннона-Котельникова (1933, 1949) Носитель некомпактен! 3. Всплески Мейера (1986), Всплески Баттла-Лемарье (1987) Носитель некомпактен! 4. Всплески Добеши (1988) Второй всплеск Добеши. Масштабирующее уравнение: 3 3 0 0

7. Что известно о масштабирующих уравнениях ? Если есть решение с компактным носителем, и то , то есть решение с компактным носителем. Оно единственно Обратно, если с точностью о домножения на константу и сосредоточено на отрезке [0, N]. Но только в обобщённых функциях из 0 N Масштабирующая функция не бывает бесконечно-гладкой

8. Примеры масштабирующих уравнений Примеры 1. Тривиально: 0 1 Пример 2. 0 2 Пример 3. 0 3 Решение неустойчиво ! Малые изменения коэффициентов могут приводить к резким изменениям решения: Пример 4. Tо же с примером

9. Cavaretta, Dahmen and Micchelli(1991) Описание всех масштабирующих сплайнов с целыми узлами. Lawton, Lee andSсhen (1995) Описание всех масштабирующих сплайнов. Для любого N существует конечное число масштабирующих сплайнов порядка N Berg and Plonka (2000), Hirn (2008) Cклассификация всех кусочно-гладких масштабирующих функций. Все кусочно-гладкие масштабирующие функции -- сплайны. Все они – линейные комбинации целых сдвигов B-сплайна.

10. “ Типичная ” масштабирующая функция и всплеск-функция Пример 5 (максимальная гладкость) (минимальная гладкость) (изломы во всех двоично- рациональных точках) 0 3 показатель гладкости (показатель Гельдера) Непрерывна, но не дифференцируема Тем не менее, она дифференцируема почти всюду Локальная гладкость в точке x Фрактальная природа всплесков. Переменная локальная гладкость.

11. Как определить, будет ли масштабирующая функция непрерывной ? I.Daubechies, D.Lagarias, 1991 A.Cavaretta, W.Dahmen, C.Micchelli, 1991 C.Heil, D.Strang, 1994 Пример.

12. 0 N Гладкость почти всюду Минимальная локальная гладкость Максимальная локальная гладкость

13. Как вычислить или оценить JSR ? Сходимость к величине JSR при растущем к чрезвычайно медленная.

14. Отрицательные результаты о сложности задачи вычисления JSR: Blondel, Tsitsiclis (1997-2000). Задача приближённого вычисления JSR для рациональных матриц NP-сложна. Задача определения: верно ли, что JSR строго меньше 1 (для рациональных неотрицательных матриц) алгоритмически неразрешима, начиная с размерноти d = 47. Не существует алгоритма, полиномиального по размерности d и по точности для приближения JSR с относительной погрешностью

15. Инвариантные нормы Теорема 1 (Н. Барабанов, 1988) Независимо был установлен ‘’двойственный’’ факт: Теорема 2(A.Дранишников, С.Конягин, В.Протасов, 1996)

16. Y X

17. Алгоритм приближения инвариантной нормы многогранниками После итераций получим нужное приближение Общее число операций Для d=2 число операций: требуется операций. При Для d =2 алгоритм был запрограммирован И.Шейпаком в 1998. При d > 2 непонятно как практически реализовывать

18. Оценка JSR с помощью тензорных произведений матриц Протасов (1997),Zhow (1998), Blondel, Nesterov (2005) Определен в1995 независимо: Y.Wang (p = 1), R.Q.Jia (для всех p)

20. Идея доказательства. p-инвариантныенормы. F(N) N

21. F(N2r) N2r

22. Алгоритм вычисления JSR поиском лучшей нормы в определенном семействе норм. Идея:мы не можем найти инвариантную норму. Тогда приблизим её с помощью норм из определеннго конечномерного класса. (стандартный трюк в теории приближений) (V.Blondel, Yu.Nesterov, J.Theys, 2005) (V.Protasov, R.Jungers, and V.Blondel, 2010) Рассмотрим сначала случай неотрицательных матриц

23. Случай произвольных матриц Эффективно решается методом внутренней точки. ЛП-задачи – частный случай.

24. Доказать больше иногда легче. Джордж Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения» (1954) Если не получается что-то доказать, можно попробовать доказать больше. Если не получается хорошо приблизить JSR, можно попробовать … вычислить его точно.

25. Понятие экстремальной нормы

26. Как построить экстремальную норму ?

27. Будем строить единичный шар экстремальной нормы в качестве многогранника M . Оказывается, что такая норма существует для большинства семейств матриц. Наблюдение 1. Для приводимого семейства задача вычисления JSR сводится к Нескольким аналогичным задачам в меньших размерностях. Таким образом, предполагаем, что семейство неприводимо. Наблюдение 2. Если произведениеП максимальное, то его максимальный собственный вектор v должен быть крайней точкой множества M. Если M – многогранник, то v -- его вершина. Итак, максимальные собственные векторыпроизведения П и всех его циклических перестановок -- вершины M. Наблюдение 3. Критерий остановки:

28. Алгоритм точного вычисления JSR (Н.Гуглиелми, В.Протасов, 2011) ….. ‘’Мертвые’’ ветви Каждый раз проверяем, будет ли новая точка принадлежать выпуклой оболочке предыдущих точек (ЛП задача). Алгоритм завершается, когда не появилось ни одной новой вершины. Инвариантный многогранник M – выпуклая оболочка всех точек, построенных алгоритмом

29. Для каждой очередной вершины применяем критерий остановки: …..

30. Пример 1. Задача о плотности единиц в ромбе Паскаля: (S.Finch, P.Sebah, and Z.-Q.Bai, 2008) На самом деле, (алгоритм работает несколько секунд)

32. L.Euler (1728), A.Tanturri (1918), K.Mahler (1940), N.de Bruijn (1948) L.Carlitz (1965), D.Knuth (1966), R.Churchhouse (1969), B.Reznick (1990)

33. Пример.При d = 5 : Для размерности 50 программа работает 5 минут, для размерности 100 -- около 20 минут

35. Функция разбиения Эйлера для троичного разложения:

36. Пример 3. Асимптотика числа слов двоичного алфавита без перекрытий. Задача сводится к вычислению JSR и LSR двух 20x20-матриц. Программа работает 8 минут

37. Вычисление JSR для случайных пар матриц

38. Вычисление JSR и LSR для случайных пар булевских матриц размерности d = 100.

39. Условия конечной сходимости алгоритма доминирующее максимальное

40. Спасибо!