第三章 树 3.1 树的有关定义

1. 第三章 树3.1 树的有关定义 • 给定一个图 ，如果它不含任何回路，我们就叫它是林，如果 又是连通的，即这个林只有一个连通支，就称它是树。

2. 树的有关定义 • 定义3.1.1 一个不含任何回路的连通图称为树，用 表示。 中的边称为树支，度为1的节点称为树叶。 树的每条边，都不会属于任何回路。这样的边叫割边。

3. 树的有关定义 • 定义3.1.2 设 是 的一条边，若 比 的连通支树连通支数增加，则称 是 的一条割边。 显然，图 删去割边 之后，结点 分属于不同的分支。

4. 树的有关定义 • 定理3.1.1 是割边，当且仅当 不属于 的任何回路。 证明：若 属于 的某个回路，则 中仍存在 到 的道路，故结点 和 属于同一连通支， 不是割边。反之，若 不是割边，则 与 的连通支数一样。于是 和 仍属于同一连同支，故 中存在道路 就是 的一个回路。

5. 树的有关定义 • 定理3.1.2 设 是结点数为 的树，则下列性质等价： • 连通且无回路 • 连通且每条都是割边 • 连通且有 条边 • 有 条边且无回路 • 的任意两结点间有唯一道路 • 无回路,但在任两结点间加上一条边后恰有一个回路

6. 树的有关定义 • 定理3.1.3 树 中一定存在树叶结点。 证明：由于 是连通图，所以任一结点 ，都有 。若无树叶，则 。 这样 矛盾。 • 定义3.1.3 如果 是图 的支撑子图,而且又是一棵树,则称 是 的一棵支撑树,或称生成树,又简称 的树。

7. 3.6 Huffman树 • 定义3.6.1 除树叶外，其余结点的正度最多为2的外向树称为二叉树。如果它们的正度都是2，称为完全二叉树。

8. Huffman树 • 定义3.6.1 如果二叉树T的每个树叶结点vi都分别赋以一个正实数wi，则称T是赋权二叉树。从根v0到树叶vi的路径P(v0,vi)所包含的边数计为该路径的长度li，这样二叉树的路径总长是 vi是树叶 如果给定了树叶数目以及它们的权值，可以构造许多不同的赋权二叉树，在这些赋权二叉树中，必定存在路径总长WPL最小的二叉树，这样的树称为最优二叉树。

9. Huffman树 • 例3.6.1 已知英文字符串adacatedecade。试用二进制字符串代替某个字幕，并保证该英文字符串与二进制串构成一一对应。 解：该字符串中有字母a,d,e,c,t，它们分别出现4,3,3,2,1次。令每个字母对应二叉树的一个树叶，根到树叶的路径是唯一的，而且这条路径决不会是根到另一个树叶路径的一部分。这样跟到树叶的路径与该字母构成一一对应。如果在树T中令向左的边为0，向右的边为1，那么这些路径又与二进制串构成了一一对应。

10. Huffman树 • 哈夫曼给出了一个计算Huffman树算法： • 对 个权值进行排序，满足 • 计算 作为中间结点 的权， 的左儿子是 ，右儿子是 。在权序列中删去 和 ，加入 。若 ，否则转(1)。

11. Huffman树 • Huffman树算法的计算复杂度是O(n log n)。

12. Huffman树 • 定理3.6.1 由Huffman算法得到的二叉树是最优二叉树

13. 3.7 最短树 • 3.7.1 Kruskal算法 Kruskal算法的描述如下： T←Φ， 当|T| < n – 1且E≠Φ时, begin • e←E中最短边. • E←E-e. • 若T+e无回路,则T←T+e. end 若|T|<n-1打印”非连通”,否则输出最短树

14. 最短树 • 定理 3.7.1 是赋权连通图 的最短树，当且仅当对任意的余树边 ，回路 满足其边权 证明:必要性，如果存在一条余树边 ，满足 ,则 得到新树 比 更加短,与 是最短树矛盾。

15. 最短树 • 充分性，若存在比 还短的树 ,则 ，设 则 构成唯一回路 。如果对任意的 关于 的余树边 ，它与回路 里的树支边 都有 ，则 ，与假设矛盾.因此一定存在某边 ，对于某条边 ， 满足 。

16. 最短树 • 定理3.7.2 Kruskal算法的计算复杂性是 ，其中是迭代次数。

17. 最短树 • 3.7.2 Prim算法 Prim算法的基本思想是：首先任选一结点 　 构成集合 ，然后不断在 中选一条到 中某点(比如 )最短的边 进入树 ，并且 ，直到 。

18. 最短树 • Prim算法的描述如下: • While U≠V do begin • For v V-U do end

19. 最短树 • 定理 3.7.3 设 是赋权连通图 的结点真子集， 是二端点分跨在 和 的最短边，则 中一定存在包含 的最短树干。 证明：设 是 的一棵最短树，若 ，则 构成唯一回路。该回路一定包含 和 其中 ， 。由以知条件 ，作 得到的仍是最短树。

20. 最短树 • 定理 3.7.4 Prim算法的结果是一得到赋权连通图 的一棵最短树。 证明：首先证明它是一棵支撑树。采用归纳法，初始 ，它是由 导出的树，设 是 导出的树，则下一次迭代时， 中增加一新结点 中也加入一条与 相连的边，因 是连通的，则有 条边,它是由 导出的一棵树。因此最终 是 的支撑树。

21. 最短树 • 以下再证 是一棵最短树 设 是 的一棵最短树， ，由定理3.7.3，对任意的 ，一定有最短树 ，其中 。继续对 如此处理，直到最终 它仍然是最短树。