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平面向量教学建议 （一）

平面向量教学建议 （一）. 福建省厦门双十中学 张瑞炳. 建议一 : 把握好章引言及章头图.

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平面向量教学建议 （一）

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  1. 平面向量教学建议（一） 福建省厦门双十中学 张瑞炳

  2. 建议一:把握好章引言及章头图 • 几何是研究图形的性质的.图形是由点构成的.只要知道了图形的每一点（或者一些关键点）的位置，就知道了图形的形状和位置.怎样描述每个点的位置？首先要取一个已知点作为基准点，也就是我们通常所说的原点。只要说清楚了从原点到每一个点的方向、距离，就说清楚了这个点的位置. 原点到这个点的方向和距离可以用一个向量来表示，这个向量也就表示了这个点的位置. 将每个关键点的位置都用向量来表示，就将这个图形描述清楚了. 将这些向量进行适当的运算，就好像我们对于实数进行加、减、乘运算，或者对代数式进行展开和合并一样，可以算出几何图形的性质.

  3. 建议一:把握好章引言及章头图 从而，在章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的联系，体现了向量有丰富的实际背景，图中直角坐标系及有向线段表现了向量方法研究几何内容．章引言说明了向量的研究对象及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系，运用向量可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决，从而拓展了几何的研究空间，它就像图中的高速公路一样，是一条解决几何问题的高速路.

  4. 建议二：上好章导入片段教学 案例1：从南辕北辙的故事可以知道，要描述一个运动物体位置的变化，除了指明所走的距离，还必须指明运动的方向. 比如一艘船从某码头出发，行驶了200千米，你能确定它 的位置吗？不能.为了确定它的位置，需要知道它朝什么方向 行驶了200千米. 由此可见，要表示位置的变化，仅仅知道运动的距离是 不够的，还必须考虑运动的方向. 既考虑距离、也考虑方向 的量叫作向量.位置的变化要用向量来描述.

  5. 猫能捉住老鼠吗? • 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由A向东南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠? • 速度是既有大小又有方向的量

  6. （一）向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 建议三：把握核心概念：向量 内涵：大小、方向 . 如：直角坐标平面上的x轴、y轴是不是向量？为什么？ 又如：温度有零上和零下之分,温度是不是向量?为什么? 外延： 那些量是向量？位移、力、速度、加速度等。 那些量是数量？时间、功、路程、年龄、质量、面积等。

  7. A B A B （二）向量的表示 1. 代数法:用字母表示 • 2.几何法:用有向线段表示 有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段 有向线段与向量是两个不同的概念

  8. a a 说明1:我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. 如图：他们都表示同一个向量。

  9. D B D B A C A C 向量 AB、CD 是 同一个向量。 有向线段AB、CD是不同的。 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向 向量：大小、方向。

  10. 向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。

  11. 1.向量的长度(模):向量 的大小(长度) 表示： 向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的. 有意义 没有意义 （三） 向量的有关概念

  12. 零向量: 长度为零的向量(方向任意). 表示： 2.两个基本向量： 单位向量:长度为1个单位长度的向量. 仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定

  13. 3.向量的关系： 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（也叫共线向量）. 如图：a、b、c就是一组平行向量. 记作：a∥b∥c. 规定：零向量0与任一向量平行.

  14. 注：平行向量仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定.

  15. 对向量的大小和方向都明确规定 比如作用力与反作用力

  16. 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 如下图：

  17. 案例2：不相等的两个平行向量有几种可能? 答：(1)两个向量中有一个是零向量，而另一个是非零向量； （2）两个向量都是非零向量且方向相同，但模不相等； （3）两个向量都为非零向量且方向相反，模相等； （4）两个向量都为非零向量且方向相反，模不相等.

  18. 案例3：

  19. 案例4、判定下列命题是否正确. （1）相等向量是平行向量; （2）平行向量是相等向量; （3）单位向量都相等；

  20. 案例5．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 变式一：与向量OA模相等的向量 有多少个？ OA = DO = CB 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ 变式四：以图中A、B、C、D、E、F、O七点任一点为起点、与该点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA平行的向量有多少个？模相等的向量有多少个？ CB、 DO、 FE 11个 9个； 23个

  21. 建议四：把握向量的运算：法则、运算律 有了运算，向量的力量无限.如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标. 1）加法：①两个法则 ②坐标表示 减法: ①法则 ②坐标表示 运算律

  22. 1.向量的加法运算 平行四边形法则 三角形法则 C B C AB+BC= AC OA+OB= OC A B O A 重要结论：AB+BC+CA= 0 坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 则a + b =

  23. 2.向量的减法运算 B 1）减法法则： OA－OB = BA 2）坐标运算: O A 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) (x1 － x2 , y1 － y2) 则a － b= 3.加法减法运算律 a+b=b+a 1）交换律： （a+b)+c=a+(b+c) 2）结合律：

  24. 案例7：2011福州三月质检 A.充分而不必要条件 B.必要而充分不条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

  25. 案例8： 分析： 故选C.

  26. 2）实数λ与向量 a 的积 向量. 定义： λa是一个 |λ| |a|； 它的长度 |λa| = 它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反. (3) 当λ=0时,λa =0 坐标运算： 若a = (x, y), 则λa = λ(x, y) =(λx, λy)

  27. a+μa (+μ )a= (μ)a (μa)= a+b (a+b)= 数乘向量的运算律： 向量的加法、减法与数乘向量的 综合运算，通常叫做向量的线性运算。

  28. 3）平面向量的数量积 O 当θ＝0°时，a与b同向； 当θ＝180°时，a与b反向； A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. A O B b a O A 已知两个非零向量a和b，作OA= a，OB= b，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。 B θ A O

  29. B B B b b b θ θ θ a a O a A A O (B1) A B1 B1 O 3）两个非零向量的数量积： a · b = |a| |b| cosθ • 规定：零向量与任一向量的数量积为0 几何意义： 数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在 a 的方向上的投影|b| cosθ的乘积.

  30. （1）e · a=a · e=| a | cos （2）a⊥b a · b=0(判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b |． 特别地 ( a //b a ·b=±|a| ·|b| ) 平面向量数量积的性质：

  31. 数量积的运算律： ⑴交换律： ⑵对数乘的结合律： ⑶分配律： 注意： 数量积不满足结合律 数量积不满足消去律

  32. c a b - c b

  33. a a - e t e e 解二： 解三：当然本题也可用建立坐标系求解

  34. 建议五：关于平面向量的基本定理的教学 （1）重点 对平面向量基本定理的探究 （2）难点 对平面向量基本定理的理解及其应用

  35. 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量

  36. 设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，可以作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量，

  37. 设 、 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的向量，我们研究 与 、 之间的关系？ 首先，请大家在用平行四边形法则作出 、 、

  38. （2）速度的分解 （1）力的分解

  39. 思考：我们能否用 ， 把 表示出来呢？ ㈠在平面内任取一点O，作 现在要找 与 ， 与 的关系，它们有什么样的关系呢？ 所以有且只有一个实数 ,使得： M C 原来 与 共线； 与 共线。 A 有且只有一个实数 ,使得： O B N 我们一起来作图（平行四边形法则：起点相同） ㈡过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA相交于M； 过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB相交于N； 你们得到了什么？ 即

  40. 思考2：是否这一平面内的任一向量都可以用 ， 来表示呢？ 我们得到：这一平面内的任一向量 都可以表示成： 思考3：(1)这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？大 家作图验证是否可以由其它两个向量来表示 ？ (3)如果基底选定， ， 能唯一确定吗？能为零吗? 我们把不共线的向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 我们得到：(1)基底不唯一； (2)要求这两个向量不共线； (3)如果基底选定，则 ， 唯一确定,可以为零. (2)对你给的这两个向量有什么要求？

  41. 既然这两个向量这么特别，我们一般用 ， 表示. 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 我们把不共线的向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 时, ， 与 共线. 时, ， 与 共线. 时, 通过我们的努力，得到了： 平面向量基本定理 特别的：

  42. 已知向量 、 ，求作向量 . C B 于是 就是 . A O 例2如右图示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ， 用 ， 表示 、 、 和 . 例1 作法:(1)任取一点O,作 (2)作平行四边形OACB 分析:因为ABCD为平行四边形可知M为AC 与BD的中点.所以

  43. 又 解:在平行四边形ABCD中 说明:我们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而使问题简化.

  44. 例3如右图, 、 不共线， ,用 、 表示 . 分析：求 ，由图可知 而 解： 说明：同上题一样，我们要找到与未知相关连的量，来解决问题，避免做无用功！

  45. 如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 变式：与向量OA模相等的向量 有多少个？ 思考：这种提法是否合适？

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