Himpunan

1. Pengertian Himpunanadalahkumpulanobjek-objek yang diterangkandenganjelas. Notasi : Penulisanhimpunandiawalidenganhuruf capital. Elemenatauanggotasuatuhimpunandituluisdalamtandakurungkurawal { }. Contoh : 1.Himpunana bilanganbulat yang lebihbesar dari-3 danlebihkecildari 3.Jikanama himpunannyadinptasikandenganhimpunanA,berartihimpunantersebutdapatdituliskan : A={-2,-1,0,1,2} 2,Himpunan B menyatakanseluruhnamasiswalaki-lakidikelasVIII,makahimpunan B dapatdituliskan :B {nama-namaseluruhsiswadikelas VIII} Himpunan

2. 3.Himpunan C menyatakanbilangancacah yang lebihbesardari 0,maka himpunan C dapatdituliskan : C={1,2,3,…} KeanggotaanSuatuHimpunan Untukmenyatakananggotasuatuhimpunandigunakannotasi €.sedangkanuntukmenyatakanbukananggotadigunakannotasi Contoh : Himpunan A={ nama-namabulandalamtahunmasehi}makajelasbahwa n(A)=12.

3. HimpunanBilanganTertentu 1.Jika G adalahhimpunanbilangangenap → G= {2,4,6,…} 2.Jika L adalahhimpunanbilanganasli → L= {1,3,5,7..} 3.Jika A adalahhimpunanbilanganasli → A= {1,2,3,..} 4.Jika P adalahhimpunanbilangan prima → P={2,3,5,7,..} 5.Jika C adalahhimpunanbilangancacah → C= {0,1,2,3,..} MenyatakanSuatuHimpunan a.CaraDeskripsi Denganpenjelasansifat-sifatnyaataudengannotasipembentukhimpunan b.CaraTabulasi (roster) Denganmendaftarkananggotahimpunansatu per satu

4. HimpunanKosongdanHimpunanSemesta HimpunanKosongadalahhimpunan yang tidakmemilikianggota.Himpunankosongdinotasikandengan ǿ atau A={ } Contoh :X={bilanganganjil yang habisdibagi 2},artinya X= ǿ atau X={ } HimpunanSemestaadalahsuatuhimpunan yang memuatsemuaanggotadalampembicaraan Contoh: Jika A={a,b,c,d,e} dan X={f,g,h,i}makahimpunansemestadapatberuopa S={a,b,c,d,e,f,g,h,iu} atau S={a,b,c,d,e,f,g,h,i}

5. HimpunanBagian Jikasetiapanggotadarihimpunan A jugamerupakananggotadarihimpunan B maka A adalahhimpunanbagianatau subset dari B Contoh : Jika A ={bilanganasli}, Z={BilanganBulat} dan N={bilangan prima} Makahubungan yang dapatdilihatdariketigahimpunantersebutadalah: A c Z dan N c Z Sifat: Himpunankosongmerupakanhimpunanbagiandarisetiaphimpunandansetiaphimpunanadalahhimpunanbagiandarihimpunanitusendiri,yaituuntuksuatuhimpunan A makaberlaku ǿ c A dan A c A

6. 1. HimpunanBilanganAsli (A) secaratabulasi, himpunaniniditulis : A={1,2,3,….} dengan A adalahsimbolhimpunanbilanganasli. 2. HimpunanBilanganCacah (C) secaratabulasi, dapatditulis : C={0,1,2,3,….} dengan C simbolbilangancacah. 3. HimpunanBilangan Prima (P) bilangan prima adalahbilangan yang memilikitepat 2 faktor, yaitu 1 danbilanganitusendiri. P={2,3,4,5,7,….} dengan P simbolbilangan prima. HimpunanBagian

7. 4. HimpunanBilanganBulat (B) Himpunanbilanganbulatberangotakan: bilanganbulatpositif, nol, danbulatnegatif. B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} dengan B simbolbilanganbulat

8. HimpunanBagian

9. HimpunanKuasa

10. DiperkenalkanolehpakarmatematikaInggrispadatahun 1834-1923 bernama John Venn. Dalammembuat diagram Venn yang perludiperhatikan, yaitu: Himpunansemesta(S) digambarkansebagaipersegipanjanghuruf S diletakan di sudutkiriataspersegipanjang. Setiaphimpunan yang dibicarakan (selainhimpunankosong)ditunjukkanolehkurvatertutup. Setiapanggotaditunjukkandengannoktah (titik). Bilaanggotasuaatuhimpunanbanyaksekali, makaanggota-anggotanyatidakperludituliskan. DIAGRAM VENN

11. Contoh Diagram Venn

12. Pengertian : Gabungandariduabuahhimpunanakanmenghasilkansuatuhimpunanbaru yang anggotanyaterdiridarianggotakeduahimpunantersebut. Operasigabunganpadahimpunandisimbolkandengan “ ᴜ “. Misalkan, P={2,3,4,5} dan Q={1,2,4,7}, maka PᴜQ = {1,2,3,4,5,7}. Gabungandari P dan Q adalahhimpunan yang semuaanggotanyaterdapatpada P dan Q, ditulisdengannotasipembentukhimpunan: PᴜQ = {xIxε P atau x ε Q}. GABUNGAN [ᴜ]

13. ContohGabungan

14. Perhatikanduahimpunandibawahini . P = {a, b, c, d, e, f, g }, Q = {a, c, g, h, } Terlihatbahwaanggotapersekutuan P dan Q adalah a, c, e, dan g,. Hal iniberarti P dan Q beririsanditulis P ∩ Q ={a, c, e,g }. Irisan P dan Q ditunjukkkanolehdaerah yang padagambardibawahini... irisan • B • D • f .a .c .e .g .. h

15. Contohsoal 1).Diberikan: A = {bilanganasli yang kurangdari 6} B = {2, 4, 6 } a) Tentukan A ∩ B! b) Tuliskan diagram Venn A ∩ B! Jawab : a). {1,2,3,4,5} B = {2,4,6} maka A ∩ B = {2, 4} b). Dagramvenn A∩ B terlihatpadagambardisamping. 1. 3. 5. . 2 . 4 .6

16. Selisih • Penulisankomplemen A terehadap B sebagai B-A • dandibaca “adadi B tetapitidakadadi A ̋ . Sedangkan • komplemen B terhadap A ditulis A-B, dibaca “ada • di A tetapitidakadadi B”. Jadi, contohdiatasbila • didalamdalamnotasi B-A dan A-B adalah: (i). B – A {7} (ii). A –B = {2, 3, 4,}

17. Contohsoal: 1). P =Himpunanhurufberbentukkata “SANTO”dan Q= Himpunanhurufberbentukkata”SANTOSA” P={ s,a,n,t,o) dan Q={s,a,n,t,o} berarti P= Q, maka P-Q =Ǿ = {} • Jawab: - P-Q= {x I x € P dan x Є Q) • - n (P-Q )= n (P) –n ( P∩Q) • - P’ =S-P • - n (S – P) = n(P’) = n(S) –n(S∩P

18. komplemen • KomplemendarisebuahhimpunanAadalahhimpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A dengan komplemen A dapat didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat • = { x | x ,x } • = { x | x } • Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang merupakan akibat langsung dari definisi komplemen himpunan. • Pernyataan: • Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan semesta, yaitu • A U A’ =U

19. Contohsoal 1). Di berikanhimpunansemesta S danhimpunan D sebagaiberikut. S= { 3, 4, 7, 10, 15, 28}. D= {x ׀ x habisdibagi 4, x Є S} a. Tuliskansemuaanggotaadari D ! b. Tunjukanhimpunan S padadiaramvenn Jawab: S = {3, 4, 7, 10, 12, 15, 28, } D = {4,12, 10, 15 } D’ =. {3, 7, 10, 15) .3 .7 .10 . 15 • 4 • 12 • 28

20. Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemen mempunyai sifat-sifat yang sederhana apabila himpunan-himpunan yang ditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-teorema berikut dapat dibuktikan : • TEOREMA I:Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A, jadi,bila maka • TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah B, jadi,bila maka • TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka adalah subhimpunan , yaitu jika maka . • TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan (BA) adalah B, yaitu, bila maka AU(B-A)=B TeorimaDalamOperasiHimpunan

21. ContohSoal, Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) AUB , ( b ) AUC , (C) BUC Jawab: a)A={1, 2, 3, 4) B={2, 4, 6, 8} AUB = {1,2 ,3, 4, 6, 8) b) AUC A ={1, 2, 3, 4} C ={3, 4, 5, 6,} AUC ={1, 2, 3, 4, 5, 6, } c) BUC B = {2. 4. 6, 8} C = {3, 4,5, 6 } BUC ={2, 3, 4, 5, 6, 8 }

22. Himpunanadalahkumpulanobjek yang didefinisikansecarajelas. Objektersebutdisebutelemen/anggotahimpunan,biasanyadinyatakandenganhurufkecil, misalnya :a,b,p,qdll.sedangkanhimpunan,biasanyadinyatakandenganhurufbesar,misal:A,B,P,Qdll. Jika a merupakanelemendarihimpA,sedangkan b bukanelemendarihimpA,makadapatditulissebagai a E A, HIMPUNAN

23. Ada 2 bentukdalampenulisansuatuhimpunan,yaituL: • Bentukpendaftaran(tabular-form),yaitudenganmenuliskansemuaelemenhimpunantersebutdalamkurungkurawal {} . contoh 1: A={jakarta,bandung,surabaya} B={…,-2,-1,0,1,2} C={1,2,3,…} • Bentukpencirian(set builder-form), yaitudenganmenuliskansifat/ketentuanmengenaielemenhimpunantersebut. contoh 2 : Q= {x | x adalahbilanganrasional} R = {y | y adalahmahasiswajurusaninformatika}

24. a. Himpunankosong • Adalahhimpunan yang tidakmemilikianggota. Himpunaninimenggunakannotasi { }. Contoh : • D = {orangindonesia yang tinggiaya 5 m} • E = {mahasiswaunindraumurnya > 100 tahun} b. Himpunansemesta • Adalahsuatuhimpunan yang memuatsemuaanggota yang sedangdibicarakan. Seringdisebutsemestapembicaraanatauset universumdilambangkandengan “S” atau “U”. Macammacamhimpunan

25. c. Himpunanhinggadantakhingga *Himpunanhinggaadalahhimpunan yang banyakanggotanyaterhinggaatauterbatasataubanyakanggotanyasuatubilangantertentuataupembilangananggotanyamerupakansuatuproses yang dapatberhenti. Contohhimpunanhingga : D = {0,1,2,3….99}→banyakanggotahimpunan D adalah 100 ataubilangankardinal D atau n(D) =100 *Himpunantakhinggaadalahhimpunan yang banyakanggotanyatidakterbatasatautidakterhingga. ContohHimpunantakhingga : E = {1,2,3….}→ banyakanggotahimpunan E takterbatasdanbilangankardinalnyaatau n(E) =( takhingga) karenaanggota-anggotanyasemuabilanganbulatpositifataubilanganaslisehinggatidakmungkinuntukmenuliskannya.

26. d. Himpunanterbilangdantakterbilang Terbilangiadalahsesuatu yang dapatditunjukansatupersatu,sedangkantakterbilangadalahsesuatu yang tidakdapatditunjukansatupersatu. Contoh : A = {x,y,z} himpunan A inimerupakancontohhimpunanterhinggasebab n(A) = 3 Dan termasukhimpunanterbilangkarenaanggotanyadapatditunjukansatupersatuyaitux,y,z. b. B = {1,3,5,7,…} Himpunan B termasuktermasukhimpunanterbilangkarenaanggotanyadapatditunjukansatupersatuyaitu 1,3,5,7 dsttapitermasukhimpunantakterhinggakarenaanggotanyatidakmungkinsemuanyadituliskansatu-satu.

27. e. Himpunanterbatasdantakterbatas Ruanglingkuppembicaraanhimpunanterbatasdanhimpunantakterbatasbiasanyaberanggotakanbilangan. Himpunan yang memilikibatasbawahdanbatasatasdisebuthimpunanterbatas.Himpunan yang hanyamemilikibatasbawah /kirisajadisebuthimpunanterbataskiri . Begitusebaliknya yang hanyamemilikibatasatas,kanansajadisebuthimpunanterbataskanan. Himpunan yang tidakmemilikibataskiridanbataskananadalahhimpunantakterbatas. Contoh : P = {3,4,5,7} Himpunan p adalahtermasukhimpunanterbatas. Karenamemilikibataskiri 3

28. a. Dengan diagram cartesius Relasiantarahimpunan A dan B dapatdinyatakandengan diagram cartesius. Anggota-anggotahimpunan A beradapadasumbumendatardananggota-anggotahimpunan B padasumbutegak.setiappasangananggotahimpunan A yang berelasidengananggotahimpunan B dinyatakandengantitikataunoktah. PASANGAN TERURUT DAN PRODUKSI CARTESIUS

29. Diagram Cartesius B. Inggris IPA Matematika Olahraga Kterampilan Kesenian IPS Putri Vita Doni Buyung

30. b. Denganhimpunanpasanganberurut • Himpunanpasanganberurutandari data padatabelsebagaiberikut. • {(buyung, IPS), (buyung, kesenian), (doni, ketrampilan), (doni, R), (vita, IPA), (putri, matematika), (putri, bahasainggris)}. • Contoh : • Diketahui A ={1,2,3,3,5,6} ; B = {1,2,3,…,12} danrelasidari A ke B adalahrelasi” setengahdari “. Nyatakanrelasitersebutdalambentuk • a.diagrampanah • b.diagramcartesius • c.himpunanpasanganberurutan

31. Dengan diagram panah 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

32. Dengan diagram cartesius 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8

33. IPS Kesenian Keterampilan Olahraga Matematika IPA B. inggris Buyung Doni Vita Putri

34. 2. Fungsi surjektif Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika u ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range). 3. Fungsi bijektif Fungsi f: A → B disebutdisebutfungsibijektifjikadanhanyajikauntuksebarangbdalamkodomainBterdapattepatsatuadalam domain Asehinggaf(a) = b, dantidakadaanggotaA yang tidakterpetakandalamB. Dengankata lain, fun

35. Pandangansuaturelasidengansetiapanggotahimpunan A dikaitkandengansatudanhanyasatuanggotahimpunan B. Relasitersebutdisebutsuatufungsidari A kedalam B. Himpunan A disebut domain danhimpunan B disebutkodomaindarifungsi,yangbiasaditulisf:A → B. Jika a € A,makaanggotahimpunan B yang merupakankaitandari a dapatditulissebagai f(a). Elemen f(a) tersebutdinamakannilaifungsidari a. himpunansemuafungsidisebutdaerahnilai(range) darifungsif . Daerah nilaimerupakanhimpunanbagiandarikodomain. Istilahfungsidisebutjugapemetaan(mapping) atautransformasi. PENGERTIANFUNGSI

36. Contoh 1 : A= {1,2,3,4} B= {a,b,c,d} F= {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} merupakanfungsidari A ke B G= {(1,a), (1,b), (2,a), (3,d), (4,a)} bukanfungsi,karenaelemen 1 E A dipetakanke a danke B

37. B. Jenis-jenisFungsi 1. Fungsi injektif Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

38. 2. Fungsi surjektif Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika u ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range). 3. Fungsi bijektif Fungsi f: A → B disebutdisebutfungsibijektifjikadanhanyajikauntuksebarangbdalamkodomainBterdapattepatsatuadalam domain Asehinggaf(a) = b, dantidakadaanggotaA yang tidakterpetakandalamB. Dengankata lain, fun

39. FungsiSatu-Satu : Suatufungsif: A→B disebutsatu-satubilasetiapelemen yang berbedadarimempunyaipeta yang berbeda pula di B. GrafikFungsi / Pemetaan Suatupemetaanataufungsidarihimpunan A kehimpunan B dapatdibuatgrafikpemetaannya. Grafiksuatu ) adalahbentuk diagram cartesiusdarisuatupemetaan(fungsi).

40. Jenis – JenisFungsi : 1. FungsiKonstan Didefinisikansebagaifungsi yang memetakansetiapunsurdi domain kesatunilai yang sama (konstanta). 2. FungsiIdentitas Adalahfungsi yang memetakansetiapunsurdidomainkedirinyasendiri 3. Fungsi Modulus / FungsiNilaiMutlak Adalahfungsi yang memetakansetiapunsurdidomainkesatunilaipositifatau nol. 4. Fungsi Linear Adalahfungsi yang memetakansetiapx € R kesuatubentuk ax + b, dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

41. 5. Fungsikuadrat Rumusumumnyaadalah f(x) = ax” + bx + c, dengan a ≠ 0 dan x € R. InversatauFungsi Jikafungsi f : A → yang dinyatakandenganpasanganterurut f = {( a,b) Ӏ a ϵ A dan b ϵ B}, makainversfadalah g: B → yang dinyatakandengan g = {(b,a) l b ϵ B dan a ϵ A} Syarat Agar InversSuatuFungsiMerupakanFungsiInvers Fungsifmempunyaifungsiinvers f -1 jikadanhanyajika f merupakanfungsi (korespondensisatu – satu).

42. Menentukanlangkah-langkahrumusfungsiinvers Mengubahpersamaan y = f (x) dalambentukxsebagaifungsiy. Bentukxsebagaifungsiytersebutdinamakan f -1 (y). Mengganti y pada f -1 (y) denganx, sehingadiperoleh f -1 (x).

43. ContohSoal : Fungsiinversdari f (x) = adalah… Penyelesaian : Jika , maka Untuksoaldiatas f (x) = →

44. PengertianRelasiBeberapaHimpunan Fungsiataupemetaandarihimpunan A kehimpunan B merupakanrelasikhusus, yaiturelasi yang memasangkansetiapanggota A dengantepatsatuanggota B. Misalkan F adalahsatufungsidarihimpunan A kehimpunan B, makafungsi F dinotasikandengan: f : A → B

45. ContohSoa: Relasidarihimpunan A {a, b, c} kehimpunan B = {p, q, r} yang merupakanfungsiadalah… (1) A B (2) A B a b c p q r a b c p q r

46. A B (4) A B Pembahasan: Fungsidarihimpunan A kehimpunan B merupakanrelasi yang memasangkansetiapanggota A dengantepatsatuanggota B. Dengandemikian, relasi-relasidiatas yang merupakanfungsiadalah (1), (2), dan (3). Sedangkan (4) bukanfungsi, seebabadaanggotahimpunan A yaitu a dan c tidakberpasangandengananggota B. selainituadaanggotahimpunan A yaitu b berpasangandengansemuaanggotahimpunan B. jadipilihan (1), (2) dan (3) bernilaibenar. a b c p q r a b c p q r

47. PengertianFungsiKomposisi Suatufungsidapatdikombinasikanataudigabungkandenganfungsi lain, dengansyarattertentu, sehinggamenghasilkanfungsibaru. Fungsibaruhasilkombinasifungsi-fungsisebelumnyainidinamakanfungsikombinasi. FungsiKomposisi

48. Sifat-sifatkomposisifungsi Operasikomposisipadafungsi-fungsiumumnyatidakkomutatif (g o f) (x) ≠ (f o g) (x) 2. Operasikomposisipadafungsi-fungsibersifatasosiatif (f o (g o a)) (x) = {(f o g) o h} (x) 3. Terdapatfungsiidentitas I (x) = x sedemikiansehingga (f o i) (x) = (I o f) (x) = f (x)

49. Contohsoal: Diketahuifungsi f (x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4 dan (f o g) (a) = 81. nilai a = … Pembahasan: (f o g) (x) = f (g (x)) = f (5x + 4) = 6 (5x + 4) – 3 = 30x + 24 – 3 = 30x + 21 (f o g) (a) = 30a + 21 = 81 30a = 81 – 21 a = 2

50. 1. Hukumkomutatif : a. AUB = BUA b. A∩B = B∩A 2. HukumAsosiatif a. (AUB)UC = AU(BUC) b. (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 3. HukumDistributif a. AU(B∩C) = (AUB)∩ (AUC) b. A∩(BUC) = (A∩B)U (A∩C) Hukum-HukumHimpunan