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Djamal Rebaïne

La récursivité. Une procédure est dite récursive si , et seulement si , elle fait appel à elle-même , soit directement soit indirectement. Djamal Rebaïne. 1. Un exemple. - (vision itérative) Un escalier de hauteur h c’est : une séquence de h marches

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Presentation Transcript

  1. La récursivité Uneprocédureestditerécursivesi, et seulementsi, elle fait appel à elle-même, soitdirectementsoitindirectement Djamal Rebaïne Djamal Rebaïne 1

  2. Djamal Rebaïne

  3. Un exemple - (vision itérative) Un escalier de hauteur h c’est : une séquence de h marches - (vision récursive) Un escalier de hauteur h c’est : une marche suivie d’un escalier de hauteur h − 1 Djamal Rebaïne

  4. Version itérative : static void monter_escalier( int h ) { for (int i = 1; i <= h; i++) monter_marche(); } Version récursive : void monter_escalier( int h ) { if (h > 0) monter_marche(); monter_escalier( h-1 ); } Djamal Rebaïne

  5. Récursivité en action • Que fait l’appel monter escalier( 3 ) ? monter_escalier( 3 ) = monter_marche(); monter_escalier( 2 ); = monter_marche(); monter_marche(); monter_escalier( 1 ); = monter_marche(); monter_marche(); monter_marche(); • Même effet que la version itérative, c’est-à-dire 3 appels à monter marche() Djamal Rebaïne

  6. Recette de récursivité • S’assurer que le problème peut se décomposer en un ou plusieurs sous-problèmes de même nature • Identifier le cas de base qui est le plus petit problème qui ne se décompose pas en sous-problèmes • Résoudre(P) = • si P est un cas de base, le résoudre directement • sinon • décomposer P en sous-problèmes P1, P2,... • résoudre récursivement P1, P2,... • combiner les résultats obtenus pour P1, P2, …, pour obtenir la solution pour avoir la solution au problème de départ. Djamal Rebaïne

  7. Fonctionnement d’une fonctionrécursive • Création d’une pile pour la sauvegarde entre autres desparamètres d’appels de la procédure et la l’adresse de retour. Djamal Rebaïne

  8. Calculer le factoriel de n, noté n! • Le problème est: Calculer le factoriel d'un nombre entier donné en entrée. • En entrée: Nous avons n nombre entiers qui sont plus grands ou égaux à 0. • Sortie: Nous avons un nombre entier qui représente le factoriel de n. Djamal Rebaïne

  9. Fonction principale • entier n nfact • lire n • si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n • sinon • nfact factoriel(n) • écrire “la factorielle de ” n “est” nfact • où factoriel satisfait le prototype • entier factoriel(entier) Djamal Rebaïne

  10. Fonction factoriel int factoriel(entier n) { si (n < 1) retourner 1 retourner n * factoriel(n-1) } Djamal Rebaïne

  11. Comment le faire en assembleur? • On a besoin d’une pile! • En effet, à chaque appel récursif, la valeur du paramètre n est sauvegardée dans la pile de travail. • Ce processus d’empilement est répété jusqu’à ce que le paramètre actuel (de l’appel) n atteigne la valeur 0. Cela correspond à la fin de l’exécution de la fonction appelante. • Ensuite, commence le dépilement, et l’exécution de la prochaine instruction de la fonction appelante est entamée. Ce processus de dépilement est répété jusqu’à ce qu’on atteigne la valeur de départ du paramètre n. Djamal Rebaïne

  12. Cela se traduit par le programme assembleur suivant TITLE factoriel PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepileequ this word PILE ends Data segment N dw 4 fact dw ? Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP movBX,n; sauvegarde la valeur de n mov AX,BX Push AX call factoriel Fin: pop AX; le résultatcalculé par la fonctionfactorielestdans AX mov fact, AX mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaine

  13. Factoriel proc near ; en utilisant la pile CMP AX,0 JA DEPILE MOV AX,1 JMP fin DEPILE: ; dépiler jusqu’à ce n = 0 DEC AX PUSH AX ; factoriel(n-1) CALL FACTORIAL RetourResultat: POP BX MUL BX fin: ret factoriel endp ; fin de la procédure code ends end debut ; fin du programme code Djamal Rebaïne

  14. Calcul d’une somme par récursivité Titlesommerecursive; pour totaliser la somme de 1 jusqu’à n. PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepileequ this word PILE ends Data segment N dw 12 somdw ? Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP Djamal Rebaïne Djamal Rebaïne 14

  15. movCX,n; sauvegarde la valeur de n XOR AX,AX CALL sommerecursive Fin: pop AX; le résultatcalculé par la fonctionfactorielestdans AX mov fact, AX mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaïne

  16. sommerecursive proc near ; • CMP CX,0 • JNZ fin • mov cx, 0 • Fin: push cx • dec cx • CALL sommerecursive; resultat est dans cx • pop ax • add ax,cx • fin: ret • factoriel endp ; fin de la procédure • code ends • end debut ; fin du programme code Djamal Rebaïne

  17. Inversion d’une chaine de caractères • Donnée: S une chaine de caractères • Question: Afficher S dans le sens inverse Djamal Rebaïne

  18. Fonction principale • ecrire “introdroduire la chaîne: ” • inverser Djamal Rebaïne

  19. Fonction factoriel Entête: entier factoriel(entier n) Corps: lire car; si car <> `.` inverser; afficher car; Djamal Rebaïne

  20. La fonction inverser fonctionne comme suit: Tant que le caractère lu n’est pas le point, continuer la lecture; Arrivé au point, l’affichage commence. Djamal Rebaïne

  21. TITLE INVERSER-CHAINE affiche macro chaine ; mov dx,offset chaine ; mov ah, 09h ; int 21h endm PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepile equ this word PILE ends Data segment Chaine db ‘introduire votre chaine’, 10,13, ‘$’ Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP Affich chaine call inverser; APPEL DE LA FONCTION INVERSER Fin: mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaïne

  22. inverser Proc near; les appels récursifs sont gérés exclusivement par la pile. mov ah,1 ; lecture d’un caractère int 21h CMP AL,’.’ JNE dépiler; dépiler jusqu’à ce AL = ‘.’ CBW ; convertir le caractère en un mot ; ou alors faire mov AH,0 push AX inverser Depiler: POP AX mov AH,2 int 21 ret inverser; fin de la procédure code ends; fin du programme principal end debut Djamal Rebaïne

  23. inverser Proc near; dans cette version, les appels récursifs sont gérés ; exclusivement par la pile. Continuer: mov ah,1 ; lecture d’un caractère int 21h CMP AL,’.’ JNE dépiler ; dépiler jusqu’à ce AL = ‘.’ CBW ; convertir le caractère en un mot ; ou alors faire mov AH,0 push AX JMP continuer Depiler: POP AX mov AH,2 int 21 JMP depiler ret inverser; fin de la procédure code ends; fin du programme principal end debut Djamal Rebaïne

  24. Rechercher l’élément C dans un tableau trié dans l’ordre croissant. A C? ….. …………… milieu u L Djamal Rebaïne

  25. Int void recherche(C,L,u:entier; trouve:booleen) • { • si (u <= L) • { milieu = (u - L + 1) div 2; • si A[milieu] = C • return (milieu); • sinonsi A[milieu] > C • recherche(C,L,milieu-1); • sinon recherche(C,milieu+1,u); • } • sinon return (-1); • } Djamal Rebaïne

  26. TITLE dichotomique PILE segment stack dw 100 dup(?) Basdepile equ this word PILE ends Data segment tableau db 1, 4, 8, 10, 18 Donnee db 18 Data ends Code segment assume CS:code, DS:Data, SS:Pile Debut: MOV AX,Data MOV DS,AX MOV AX,Pile MOV SS, AX ; initialise le segment de pile MOV SP, basdepile ; copier l'adresse de la base de la pile dans SP Lea SI, tableau; mov BX, SI Add BX, tableau[1] ; adresse du dernier élément du tableau push BX push SI call dichoto Fin: mov AX,4c00h int 21h Djamal Rebaïne

  27. Dichoto proc near; pop SI pop BX CMP SI,BX JL fin ; continuer jusqu’à il n’y ait plus d’élément à rechercher mov AX, BX ADD AX, SI Sub AX, 1 Mov DL,2 DIV DL CBW Mov CX,SI Mov SI, AX CMP [SI], donnee jne appel mov AX,[SI] ret Appel: jg autreappel push BX push SI dichoto jmp fin Autreappel: push SI push BX dichoto Fin: ret code ends end debut Djamal Rebaïne

  28. Les nombres de Fibonacci • Question: Écrire un programme qui calcule le nombre de Fibonacci défini comme suit: Djamal Rebaïne

  29. TITLE fibonacci SPILE SEGMENT STACK DW 100 DUP(?) SPILE ENDS SDATA SEGMENT n dw 6 SDATA ENDS SCODE SEGMENT ASSUME CS:SCODE,DS:SDATA DEBUT: mov ax,sdata mov ds,ax xor ax,ax xor bx,bx mov ax,n call fibo mov dl,al add dl,30h mov ah,2 int 21h sortie: MOV AX,4C00H INT 21H Djamal Rebaïne

  30. Fibo proc si1: cmp ax, 1 ; comparer ax avec 1 ja else ; si n<= 1, retourner 1 mov ax, 1 ; mettre 1 dans ax ret else: dec ax ; décrémenter ax de 1 c'est-à-dire égal à n-1 push ax ; mettre n-1 sur la pile call Fibo ; résultat dans ax pop bx ; rectifier la pile et bx = n-1 dec bx ; bx = n -2 push ax ; sauvegarder ax = Fibonacci(n-1) sur la pile mov ax,bx ; passe le n-1 à ax pour exécuter Fibonacci(n-2) call Fibo ; résultat dans ax = Fibonacci(n-2) pop bx ; bx = Fibonacci(n-1) add ax, bx ; ax = Fibonacci(n-2) + Fibonacci(n-1) ret Fibo endp SCODE ENDS END DEBUT Djamal Rebaïne

  31. Les tours de Hanoï http://www.multimania.com/fmaire/jeux/hanoi/hanoi.html http://members.aa.net/~wgf/Hanoi/Hanoi.html Djamal Rebaïne

  32. Description du problème: Montrez comment déplacern disques de tailles distinctes d'une tige A vers une tige B • en utilisant comme tampon une tige C. Initialement seule la tige A contient les n disques ordonnés avec le plus petit sur le dessus. On ne doit déplacer qu'un seul disque à la fois. Il est interdit de placer un disque sur un autre plus petit. Djamal Rebaïne

  33. Entrée: Un entier n représentant le nombre de disques. • Sortie: Une série d'instructions de la forme " déplacer i vers j" indiquant les déplacements nécessaires pour résoudre le problème. Djamal Rebaïne

  34. Fonction principale • entier n • lire n • hanoi(n,1,2,3) • où hanoi satisfait le prototype • hanoi(entier, entier, entier, entier) Djamal Rebaïne

  35. Supposons qu’on sache comment déplacer les (n-1) derniers disques de la tour 1 vers la tour 2, en utilisant la tour 3. • déplacer le disque restant de la tour 1 vers la tour 2 • déplacer maintenant les (n-1) disques de la tour 3 vers la tour 2, en s’aidant de la tour 1. Djamal Rebaïne

  36. Fonction hanoi Entête: hanoi(entier n, entier i, entier j, entier k) (Affiche les instructions pour déplacer n disques de la tige i vers la tige k) Corps: si (n > 0) { hanoi(n-1, i, k, j) écrire "Déplacer i vers k); hanoi(n-1, j, i, k) } Djamal Rebaïne

  37. #include <iostream.h> • void hanoi (int,int,int,int) • void hanoi(int n,int i,int j,int k) • { • if (n>0) • { • hanoi(n-1,i,k,j); • cout <<“déplacer le disque de haut de la tour<<i<<“ à la tour “<<k; • hanoi(n-1,j,k,i); • } • main() • { • int n; • cin>>n; • hanoi(n,1,2,3); • } Djamal Rebaïne

  38. Exemple avec n = 4 disques • On obtient la série d’affichages suivants: • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 2 • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 3 • Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 3 • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 2 • Déplacer le disque de haut de la tour 3 à la tour 1 • Déplacer le disque de haut de la tour 3 à la tour 2 • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 2 • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 3 • Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 3 • Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 1 • Déplacer le disque de haut de la tour 3 à la tour 1 • Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 3 • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 2 • Déplacer le disque de haut de la tour 1 à la tour 3 • Déplacer le disque de haut de la tour 2 à la tour 3 Djamal Rebaïne

  39. Voyons cela de plus près Djamal Rebaïne

  40. Pas-à-pas avec n=3 n entier n nfact lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(n,1,2,3); entier n . . . . . . Djamal Rebaïne

  41. n 3 entier n lire n nfact si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(n,1,2,3) lire n . . . . . . Djamal Rebaïne

  42. entier n lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon n entier 4 hanoi(n,1,2,3) . . . . . . Djamal Rebaïne

  43. n 3 entier entier n nfact lire n si (n < 0) alors écrire “entrée négative: ” n sinon hanoi(3,1,2,3) n 3 entier 1 entier 2 3 si (n £ 0) retourner hanoi(2,3,2,1) hanoi( , , , ) . . . . . . Djamal Rebaïne

  44. TITLE hanoi-program SPILE SEGMENT STACK DW 100 DUP(?) SPILE ENDS SDATA SEGMENT n dw 6 SDATA ENDS SCODE SEGMENT ASSUME CS:SCODE,DS:SDATA DEBUT: mov ax,sdata mov ds,ax xor ax,ax xor cx,cx xor dx,dx xor bx,bx mov ax,n mov cl,1; la tour i mov ch,2; la tour j mov dh,3; la tour k call hanoi sortie: MOV AX,4C00H INT 21H Djamal Rebaïne

  45. hanoi proc near si1: cmp ax, 0 ; comparer ax avec 0 ja else ; si n> 0, continuer ret else: dec ax ; décrémenter ax de 1 c'est-à-dire égal à n-1 mov temp, ch mov ch, dh mov dh, temp push cl ; sauvegarder en premier le i push dh ; sauvegarder en deuxième le k push ch ; sauvegarder en troisième le j push ax ; mettre n -1 sur la pile call hanoi ; appel à hanoi Djamal Rebaïne

  46. ; passer au déplacement des tours mov al, cl ; mettre le i dans al mov ah,2 int 21h mov al, 32 ; mettre un blanc dans al mov ah,2 int 21h mov al, dl ; mettre le k dans al mov ah,2 int 21h Djamal Rebaïne

  47. pop ax ; ax = n-1 pop dh pop ch pop cl push ch push cl push dh call hanoi ret Hanoi endp SCODE ENDS END DEBUT Djamal Rebaïne

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