第 2 章点 . 直线和平面的投影

2.1 正投影法的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 变换投影面法第2章点.直线和平面的投影

S 投射线投影中心投影对象 C B 投影面 D A c b a d p 投影 2.1.1 投影的概述投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。 2.1.2 投影法的分类 1. 中心投影法：投射线汇交与一点的投影法。 • 平行投影法：投射线相互平行的投影法。 • （1）正投影法 • （2）斜投影法

C B D A 90° c b d a B C D A b c d a 正投影法：平行的投射线垂直于投影面的投影法。正投影法斜投影法斜投影法：平行的投射线倾斜于投影面的投影法。

A B B 投射方向 A 投射方向 A B C C b b c a a a b c a(b) H H H B B A 投射方向 A A C B b a c b a 2.1.3 正投影的基本性质（2）积聚性（1）显实性（3）类似性

由于用正投影法得到的投影图能较准确的表达物体的形状和大小，且作图简便，故工程图样中得到了广泛应用。由于用正投影法得到的投影图能较准确的表达物体的形状和大小，且作图简便，故工程图样中得到了广泛应用。

2.2.1 点在三面体系中的投影 1. 三投影面体系和点的三面投影三投影面体系的建立： V面：正立的投影面； H面：水平的投影面； W面：侧立的投影面； Z V X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向；三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。 W X O H Y

三视图及其 投影规律俯视方向主视图左视图左视方向主视方向俯视图

三视图及其投影规律

Z V a' A W a" X O a H Y 点的三面投影的形成正立投影面侧立投影面水平投影面

Z Z Z az a' W a' a" a" ax O O X aYW X Yw aYH a Yw a H YH YH W面向右后转90° H面向下后转90°

Z Z a' a" V a' A O W Yw X a" X O a a YH H Y 点的三面投影规律： (1) 点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。 (2) 点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。

Z Z x V a' a" a' z A W a" O Yw X X y O a a H YH Y 2.2.2 点的投影与直角坐标 A点的X坐标Xa=A点到W面的距离Aa "，表示长度； A点的Y坐标Ya=A点到V面的距离Aa ' ，表示宽度； A点的Z坐标Za=A点到H面的距离Aa，表示高度。

Z a' a" 20 10 X YW O 30 a YH 例1：已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。

Z b' b" a" a' X YW o a b YH 2.2.3 两点的相对位置、重影点 1. 两点的相对位置空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。左、右位置由X坐标差确定。XA＞XB，点A在点B的左方；前、后位置由Y坐标差确定；YA＜YB，点A在点B 的后方；上、下位置由Z坐标差确定。ZA＜ZB，点A在点B的下方。

Z V e' (f ') f " F W E e" X Z O (f ') e' f " f e" e H Y YW X o f e YH 2. 重影点当空间两点的某两个坐标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。 YE ＜ YF 故对面V ，E可见，F不可见。

A B B A A B b b a (b) a a 2.3.1 直线的三面投影 1.直线的投影特性 (1)显实性：直线平行与投影面时，其投影等于实长； (2)积聚性：直线垂直与投影面时，其投影积聚为一点。 (3)类似性：直线倾斜于投影面时，其投影小于实长；

Z V b' b" B a' W X o A a" b a H Y 2 . 直线的三面投影直线的三面投影，可由直线上不同位置的两个点的同面投影的连线来确定。

Z Z b' b' b" b" a' a' a" a" X X YW YW o o b b a a YH YH A、B两点的三面投影图连接AB两点的同面投影，即为直线AB的投影

Z V b' c' b" B W a' c" Z C o b" b' X c' c" a" A b a' c a" a H X YW Y o b c a YH AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′ =a″c″:c″b″ 2.3.2 属于直线上的点 1. 直线上的点其投影必在该直线的同面投影上,且符合点的投影规律. 2.点分线段成定比点C的三面投影必在AB的同面投影上

空间位置直线在三面体系中,对投影面的相对位置有三类：空间位置直线在三面体系中,对投影面的相对位置有三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线统称为特殊位置直线 2.3.3 各种位置直线的投影 1. 一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。其投影特性：（1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。（2）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。

Z b' b" a" a' YW O X b a YH

2. 特殊位置直线 (1) 投影面平行线:平行于某一投影面而与另两投影面倾斜的直线。水平线（∥H面）、正平线（∥V面）、侧平线（∥W面） • 投影面平行线的投影特性： • 在所平行的投影面上的投影反映实长； • 其它投影平行于相应的投影轴； • 3）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对相应投影面的倾角。 (2) 投影面垂直线:垂直于某一投影面的直线。铅垂线（⊥H面）、正垂线（⊥V面）、侧垂线（⊥W面） • 投影面垂直线的投影特性： • 在所垂直的投影面上的投影有积聚性； • 其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。

Z V Z a' b' a" b" a' b' a" W A β γ B b" YW O X X O a a γ β β b γ H b Y YH a′b′∥OX、a″b″∥OYW 都不反映实长水平线 ab=AB ab与OX和OYH的夹角β、γ等于 AB对V、W面的倾角

Z Z d' V d' d" γ D α c' γ d" γ α c' c" c" W α C YW X O X O c d c d H Y YH 正平线 c′d′=CD c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角 cd ∥OX、a″b″∥OYW 都不反映实长

Z V Z e' e" e' e" E β β W β f ' α f" α f ' α F X O YW f" X O e e H f Y f YH e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角侧平线 e″f″=EF ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长

Z Z V a' a' a" a" A b' W b" b' B X YW b" O X O a(b) a(b) H YH Y a′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW 铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点

Z Z V c'( d') d" c" c'( d') d" D W YW X C c" O d X O d c YH H c Y 正垂线:正面投影 c′（d′）积聚一点 cd=c″d″=CD,且 cd⊥OX、a″b″⊥OZ

Z V Z e" ( ) k" e' f' e' f' W e" E F ( ) k" YW X O X O e f e f H YH Y 侧垂线:侧面投影 e″（f″）积聚一点 ef=e′f′ =EF,且 ef ⊥OYH、 e′f′⊥ OZ

B D A Z b b" b' d d" C d' a c a' c" H a" c' X O YW b d a c YH 2.3.4 两直线的相对位置空间两直线的相对位置有:平行、相交、交叉。 1 . 平行两直线：空间相互平行的两直线,它们的各组同面投影也一定相互平行。 AB∥CD，则ab∥cd、 a′b′∥c′d ′、a″b″∥c″d″。反之亦成立。

B C K b D Z A c" c' d c k b' b" a k' k" a' a" d" d' X O b YW c k d a YH 2. 相交两直线空间两直线 AB，CD相交于点K，则交点K是两直线的共有点。同时K要符合点的投影规律。 ab 、cd交于k a′b′、c′d′交于k′ a″b″、c″d″交于k″

b' 2' c' 3' (4') a' 1' V b' X O 3'(4') c' d' d' a' B Ⅳ Ⅱ A a 4 D d C Ⅰ Ⅲ X O 2(1) b a d 3 2(1) b c c H 3. 交叉两直线在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交两直线的投影特性。交点是一对重影点的投影。

c' c' c' a' a' a' b' b' b' a a a b b b c c c 2.4.1 平面的表示法 1. 用几何元素表示平面相交两直线一直线上和直线外一点不在同一直线上的三点

c' c' d' a' a' b' b' a a b b c d c 平行两直线任意平面图形

Z Z pz V pz pw pV W pV pw px py YW X X O O P px Y pH pH py H py YH 2. 用迹线表示平面平面与投影面的交线，称为平面的迹线。 PH---水平迹线 PV---正面迹线 PW---侧面迹线

特殊位置平面的迹线表示 V V PV W W Z Z P Q QW QH H H Z PV X X O O QW YW X O Y Y X O QH YH

Z V b' b" c' B a' W C O X c" A a" b a H c Y 2.4.2 平面的投影过程平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。先画出各顶点的投影,后将各点同面投影依次连接，即为平面的投影。

z b' b" c' c" a' a" o x yw b a c yH

2.4.3 各种位置平面的投影特性 一般位置平面投影面平行面投影面垂直面特殊位置平面 b' b" c' c" a' a" yw x o b a c yH 平面在三投影面体系中，按其对投影面的相对位置可分为三类： 1. 一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。一般位置平面的投影特性： △ABC对三个投影面都倾斜，所以各面投影仍然是三角形，但都不反映实形，而是原形的类似形。

特殊位置平面 （1）投影面平行面：平行于某一投影面的平面。水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面） • 投影面平行面的投影特性： • 在所平行的投影面上的投影反映实形； • 其他投影为有积聚性的直线段，且平行于相应的投影轴。（2）投影面垂直面：垂直于某一投影面且与另两投影面倾斜的平面。铅垂面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面） • 投影面垂直面的投影特性： • 在所垂直的投影面上的投影为有积聚性的直线段； • 其他的投影为原形的类似形。

z Z V a' b' c' a" c" b" a' b' c' a" A C W x o Yw c" X b" a a B O c c b H b YH Y 正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OYW轴。水平面：水平投影反映实形

Z z V a' a' a" c' c' c" a" b' A b' W b" x o Yw c" X C O b" B b a c b a c H Y YH 正平面：正面投影反映实形水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于OX、OZ轴

Z z V a" a' A a" a' c" c' W o b' Yw c' b" x b" X B O b' a C c" b a b H Y c c YH 侧平面：侧平投影反映实形水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于OYH、OZ轴

Z V a' z a' a" A c' a" c' c" b' W B b" b' c" b" x o X C O Yw b b H a a c Y c YH 正面投影和侧面投影为原形的类似形铅垂面：水平投影积聚为直线段

Z z a' a" V a' A c' a ″ c" c' W b' x o b' b" Yw b″ X B O b C b c″ a a H c c Y YH 正垂面：正面投影为有积聚性的直线段。水平投影和侧投影为原形的类似形

Z V z b' b" b' B a' a" c' b" W c" a' c' X x o A O Yw a" b C b a c" c H Y a c YH 侧垂面：侧面投影为有积聚性的直线段。正面投影和水平投影为原形的类似形

2.4.4 平面上的直线和点 1. 平面上取直线几何条件：（1）一直线通过属于平面上的两点。（2）一直线通过属于平面上的一点，且平行于属于该平面的另一直线。 2. 取属于平面的点几何条件：若点在平面内的任意直线上，则此点一定在该平面上。 3.平面上的投影面平行线凡在平面上且平行于某一投影面的直线,称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线，不仅符合平面上直线的几何条件，而且具有投影面平行线的投影特性。

b' b' n' m' m' c' c' d' a' a' X X O O d c a a c m m n b b 例：已知平面△ABC，试作出属于该平面的任意一直线。

b' b' 2' m' a' n' k' f ' m' c ' 1' c' a' X O X O b 2 f a m k c m c n b a 1 例：取属于平面的点 3' 3

b' b' m' n' m' c' c' l a' a' X O X O c c n m a a m b b 例：在平面上作投影面平行线

不反映实长 X 反映实长不反映实形 X X X 反映实形正平线一般位置直线一般位置平面水平面 2.5.1 概述当直线或平面对投影面处于平行位置时，其投影才反映实长或实形。为了求出一般位置直线的实长或平面的实形，可以设置一个新的投影面来替换原投影面体系中的某一个投影面，组成一个新的投影面体系，使直线或平面在该投影面体系中处于特殊位置，达到解题简化的目的，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

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