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第 2 章 导数与微分

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第 2 章 导数与微分

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第 2 章 导数与微分

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  1. 第2章 导数与微分 本章大体上分为两部分。其中第一部分是导数,第二部分是微分,从结构上来说它们是平行的。 结束

  2. 2.1 导数的概念 2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ,作割线 ,割线的斜率为

  3. 这里 为割线MN的倾角,设 是切线MT的倾角, 当 时,点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在,记为k,则此极限值k就是所求切线 MT的斜率,即

  4. 例2 产品总成本的变化率 设某产品的总成本C是产量Q的函数,即C=C(Q),当产量Q 从变到时,总成本相应地改变量为 当产量从变到时,总成本的平均变化率 当 趋向于0时,如果极限 存在,则称此极限是产量为 时总成本的变化率。

  5. 2.1.2 导数的概念 定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 属于该邻域,记 若 存在,则称其极限值为y = f (x)在点x0处的导数,记为 或

  6. 导数定义与下面的形式等价: 若y =f (x)在x= x0的导数存在,则称y=f(x)在点x0处可导,反之称y = f (x)在x = x0不可导,此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态,导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.

  7. 三、左导数与右导数 左导数: 右导数: 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0的左、右导数存在且相等.

  8. M M0 三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时,曲线y=f(x)上的点由 变到 此时 为割线两端点M0,M的横坐标之差,而 则为M0,M 的纵坐标之差,所以 即为过M0,M两点的割线的斜率.

  9. 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲 线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P,因而当 时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.即: 所以,导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率. M M0

  10. 设函数y=f(x)在点处可导,则曲线y=f(x)在点处的切线方程为: 而当 时,曲线 在 的切线方程为 当 时,曲线 在 的法线方程为 而当 时,曲线 在 的法线方程为 (即法线平行y轴).

  11. 例3 求函数 的导数 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 特别地, .

  12. 例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为: 即 法线方程为: 即

  13. 2.1.4 可导性与连续性的关系 则f(x)在点x0处连续. 定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导, 证因为f (x)在点x0处可导,故有 根据函数极限与无穷小的关系,可得: 两端乘以 得: 由此可见: 即函数y = f (x)在点x0处连续.证毕.

  14. 例5 证明函数 在x=0处连续但不可导. 证 因为 所以 在x =0连续 而 x=0不可导. 即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在 由此可见,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件 即可导定连续,连续不一定可导.

  15. 2.2 导数的运算 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导,则: 定理一 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 特别地,如果 可得公式

  16. 注:法则(1)(2)均可推广到有限 多个可导函数的情形 例:设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均 可导,则

  17. 例1 解: 解: 例2 设

  18. 类似可得 例3 求y = tanx的导数 解:

  19. 解: 即 类似可得 例4 求 y = secx的导数 

  20. 2.2.2 复合函数的导数 定理二 如果函数 在x处可导,而函数 y=f(u)在对应的u处可导, 那么复合函数 在x处可导,且有 或 对于多次复合的函数,其求导公式类似,此法则也称链导法 注:

  21. 例6 解: 例7 解:

  22. 2.2.3 反函数的求导法则 定理三 如果单调连续函数 在某区间内可导, 则它的反函数y=f(x)在对应的区间 内可导,且有 或 上式两边对x求导得 或 或 证 因为 的反函数

  23. 求函数y = arcsinx 的导数 例7 解: y = arcsinx 是x = siny 的反函数 即 同理 因此在对应的区间(-1,1)内有

  24. 2.2.4 基本初等函数的导数 基本导数公式表

  25. 2.3 高阶导数 二阶导数: 如果函数f(x)的导函数 仍是x的可导 函数,就称 的导数为f(x)的二阶导数, 或 记作 即 或 n阶导数: 高阶导数的计算: 运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

  26. 例8 解: 特别地 例9 解: …… 即 同理

  27. 2. 5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 1. 隐函数的导数 隐函数即是由 所确定的函数,其求导方法就是把y看成x的函数,方程两端同时对x求导,然后解出 。 例10 求方程 所确定的函数的导数 解: 方程两端对x求导得 即

  28. 例9 解: 两边对x求导得

  29. 例11 解一

  30. 解二 两边对x求导,由链导法有 解二称为对数求导法,可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导 注:

  31. 例12 解: 将函数取自然对数得 两边对x求导得

  32. 2.参数方程所确定的函数的导数 对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接 求得y对x的导数 设 均可导, 且 具有单值连续 反函数 ,则参数方程确定的函数可看成 与 复合而成的函数, 根据求导法则有: 变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程 确定的,其中t 称为参数 此即参数方程所确定函数的求导公式

  33. 例13 在t =1处的切线方程 求曲线 解: 曲线上对应t =1的点(x, y)为(0,0), 曲线t =1在处的切线斜率为 于是所求的切线方程为 y =-x

  34. 例1 设有一个边长为x0的正方形金属片,受热后它的 边长伸长了 ,问其面积增加了多少? 如图,正方形金属片的面 积 A 与边长 x 的函数关系 为A = x2 , 受热后当边长由 x0伸长到x0+ 时, 面积A 相应的增量为 解 2.6 微分 2.6.1 微分的概念

  35. 从上式可以看出, 的线性函数 这表明 这部分就是面积 的增量的主要部分(线性主部) 所以上式可写成

  36. 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义, 在点 如果函数 处的增量 可以表示为 无关的常数, 其中A是与 时 是当 处 比 高阶的无穷小,则称函数 在点 处的微分, 在点 称为 可微, 于是,(2.3.1)式可写成 记为

  37. 由微分定义,函数f (x)在点x0处可微与可导等价, ,因而 且 处的微分可写成 在点 x0 记为 通常把 d x 于是函数 ,称自变量的微分, f (x)在点x0 处的微分又可写成 可微函数:如果函数在区间(a , b)内每一点都可微, 则称该函数在(a , b)内可微。 f(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为 上式两端同除以自变量的微分,得 因此导数也称为微商.

  38. 例2 求函数 y=x2在 x=1, 解: 在点 处, 于是 时的改变量和微分。 时,求 例3 的圆的面积 当半径增大 半径为r 面积的增量与微分. 解:面积的增量 面积的微分为

  39. 设函数y = f (x)的图形如下图所示.过曲线y = f (x)上一点 M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为 当自变量x有增量 时, 切线MT 的纵坐标相应地有增量 因此,微分 几何上表示当x有增量 时,曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量. 用 近似代替 就是用QP近似代替QN,并且 2.6.2 微分的几何意义

  40. 2.6.3 微分的运算法则 1. 微分的基本公式:

  41. 续前表

  42. (C为常数); 2. 微分的四则运算法则 设u=u(x),v=v(x)均可微 ,则

  43. 3.复合函数的微分法则 设函数 都是可导函数,则 复合函数 的微分为 而 可见,若y=f(u)可微,不论u是自变量还是中间变量, 总有 这就是一阶微分形式不变性. 利用微分形式不变性,可以计算复合函数和隐 函数的微分.

  44. 例4 解: 例5 求由方程 所确定的隐函数 的导数 与微分 解:对方程两边求导,得 即导数为 微分为

  45. 由以上讨论可以看出,微分与导数虽是两个 不同的概念,但却紧密相关,求出了导数便立即 可得微分,求出了微分亦可得导数,因此,通常 把函数的导数与微分的运算统称为微分法. 在高等数学中,把研究导数和微分的有关内 容称为微分学.

  46. 2.6.4 微分在近似计算中的应用 由微分的定义可知,当函数 在 x0点的导数 很小时,我们有近似公式 ,且 或写成 (1) ,则 很小时,有 特别地,当x0=0, 上式中令 (2) (3) 公式(1) (2) (3)可用来求函数f(x)的近似值。

  47. 的近似值时,要选择适当的 ,使 注: 在求 较小. 容易求得,且 , 应用(3)式可以推得一些常用的近似公式,当 很小时,有 (x用弧度作单位) (1) (2) (x用弧度作单位) (4) (3) (5)

  48. 例6 解: 设 取 , 则 于是由(2)式得 即