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圆的一般方程

圆的一般方程. (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2. x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0. Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+ F=0. 考虑直线方程的一般形式： Ax+By+c=0 直线方程是一次曲线 , 我们可把它化成一个二元一次方程 , 那同学们想一想圆是二次曲线 , 那它是否也可以用一个 n 元 n 次的方程来表示呢 ? 比如说用二元二次呢 ?. 研究标准方程. 圆的标准方程： (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 (r>0) 展开 , 得 x 2 -2ax+a 2 +y 2 -2by+b 2 =r 2

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圆的一般方程

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Presentation Transcript

  1. 圆的一般方程 (x-a)2 +(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0

  2. 考虑直线方程的一般形式：Ax+By+c=0 直线方程是一次曲线,我们可把它化成一个二元一次方程,那同学们想一想圆是二次曲线,那它是否也可以用一个n元n次的方程来表示呢?比如说用二元二次呢?

  3. 研究标准方程 • 圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2=r2 (r>0) 展开,得x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2 → x2 +y2 -2ax -2by +a2 +b2 - r2 = 0 与我们的猜测一致，化成了 一 个二元二次方程。 可见：任何一个圆的方程都可以化成下面的形式 x2+y2+Dx+Ey+F=0

  4. 再思考？ 若给你x2+y2+Dx+Ey+F=0 ……①这个式子，是否一定表圆呢？ 对①进行配方得 ： (x+D／2)2+(y+E／2)2=(D2+E2-4F)／4 ……② 分情况讨论： ⑴ 当D2+E2-4F> 0时 ②式表示成圆，此时我们称②式为 圆的一般方程。 圆心（a,b) ⑵当D2+E2-4F= 0时 ②式(x+D／2)2+(y+E／2)2=0 表示成一点 坐标（ - D／2， - E／2） ⑶ 当D2+E2-4F<0时 方程②没实数解，因不表任何图形 小结： ①式并不是在任何情况下 都表示成圆，由上⑴ ⑵ ⑶ 分析我们可得出下面的结论 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示成圆的 充要条件是D2+E2-4F> 0

  5. 课堂小练 • 例1 x2+y2+(a-1)x+2ay+a=0表圆, 则a的取值范围a>1或a<1／5 • 书P79 1，2

  6. 延伸 二元二次方程的一般形式： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0 …….③ 把①与③式做比较，发现 ⑴ x2与y2的系数相同，不等与0 即A=C≠ 0 ⑵没有xy项 即B=0 可见: ③式表示成圆的必要条件,但不是充要条件. 那其充要条件又是什么呢? A=C≠0 且 D2+E2-4AF／4A>0 B=0

  7. 总结：两个充要条件 ⑴x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示成圆的 充要条件是D2+E2-4F> 0 ⑵ Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0表示成圆的 充要条件 A=C≠0 且 D2+E2-4AF／4A>0 B=0

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