§3.4 相互独立的随机变量

1. §3.4 相互独立的随机变量 一.二维随机变量 二.n维随机变量 三.小结

2. 一. 二维随机变量 定义 即 则称随机变量X和Y是相互独立的。

3. 说明 相互独立性有如下等价关系： (1)若(X,Y)是离散型随机变量，X与Y相互独立 对(X,Y)的所有可能取值(xi,yi),都有 即 (2)若(X,Y)是连续型随机变量，X与Y相互独立 对一切x,y， f(x,y)＝fX(x)fY(y)几乎处处成立。

4. 注意 (1)在判断X和Y相互独立时，首先由(X,Y)的概率密度求出关于X和关于Y的边缘分布，再确定其独立性。 (2) 联合密度决定边缘密度.一般讲, 边缘密度不能决定联合密度. 但当X与Y相互独立时，两个边缘密度的乘积就是联合密度。也就是说当 X与Y相互独立时，边缘密度也能确定联合密度。 (3) 由§3.2例3知,二维正态分布f(x,y)fX(x)fY(y)； 若(X,Y)服从二维正态分布，则 它们相互独立＝0。

5. 例1. 已知(X,Y)的联合分布律,问X与Y是否相互独立？ Y -1 0 2 X 1/2 1 2

6. 解： 求出X和Y的边缘分布律 Y -1 0 2 X 因为 1/2 1 2 所以X与Y是 相互独立的。 1

7. 例2. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8～12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7～9时，设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率。 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间. 解： 则X和Y的概率密度为

9. 由于X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为 画图 (x,y)的所有可能结果是长方形

10. 9 G 7 8 12

11. C’ A 9 C G B’ B 7 8 12

12. 例3. 设(X,Y)的分布函数为 问:(1) X与Y是否相互独立？ (2)求P{X120,Y120}. 解: (1)X与Y的边缘分布函数为

13. 对一切x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y),故X与Y相互独立. (2)由于X与Y相互独立

14. 二.n维随机变量 1.定义： n维随机变量(X1, X2, …, Xn)的分布函数为F (x1, x2, …, xn)=P{X1 x1,X2 x2, …, Xn  xn},其中x1, x2, …, xn为任意实数。若存在函数f(x1, x2, …, xn)>0,使得对任意的实数x1,x2,…,xn，有 称f(x1, x2, … ,xn)为(X1,X2,…, Xn)的概率密度函数。 边缘密度函数：

15. 2.若f(x1,x2,…,xn)为(X1,X2,…,Xn)的概率密度函数。则(X1,X2,…,Xn)关于X1,关于(X1,X2 )的边缘概率密度为 3.若对于所有的x1,x2,…,xn，有 称X1,X2,…,Xn是相互独立的。

16. 若对于所有的x1,x2,…,xm , y1,y2,…,yn有 其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X2,…,Xm) (Y1,Y2,…,Yn)和(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函数，则称随机变量(X1,X2,…,Xm)和 (Y1,Y2,…,Yn)是相互独立的。 4. 定理：设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,…m )和Yj(j=1,2,…,n)相互独立。若h,g是连续函数,则h(X1,X2,…,Xm)和g(Y1,Y2,…,Yn)相互独立。

17. 思考

19. 由此得