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第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

y. y. Y=f(x). Y=f(x). x. x. a. a. b. b. 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性. 一、函数的单调性之判定. 在图象中我们发现上升函数的导数大于 0, 而下降函数的 导数小于 0, 可见 , 函数的单调性与函数导数的符号有关. 定理 1 设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续 , 在开区间 (a,b) 内可导 , 则 f(x) 在 [a,b] 上单调上升 ( 下降 ) 的 充分必要条件是在 (a,b) 内 f ’ (x) ≥0(≤0)

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第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

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Presentation Transcript

  1. y y Y=f(x) Y=f(x) x x a a b b 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 一、函数的单调性之判定 在图象中我们发现上升函数的导数大于0,而下降函数的 导数小于0,可见,函数的单调性与函数导数的符号有关.

  2. 定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,则f(x) 在[a,b]上单调上升(下降)的 充分必要条件是在(a,b)内f’(x)≥0(≤0) 即在[a,b]上f(x)单调上升→在(a,b)内f’(x)≥0; 在[a,b]上f(x)单调下降→在(a,b)内f’(x) ≤0;. 证明: 我们只证明单调上升的情况 必要性, 设在[a,b]上f(x)单调上升,任意取一点 x0∈(a,b),及x ∈[a,b], 不论x>x0还是x<x0,由于f(x) 单调上升,都有

  3. y Y=f(x) x a x x0 x b 又函数在(a,b)内可导,f’(x0)存 在,对它取极限得到 由x0的任意性,知必要性成立. 充分性. 设在(a,b)内f’(x)≥0,再设x1,x2是[a,b]内任意两点, 设x1<x2, 由中值定理,有 证明完毕

  4. 例1 讨论函数的单调性 推论:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则 (1) 在(a,b)内f’(x)>0在→[a,b]上f(x)严格单调上升. (2) 在(a,b)内f’(x) <0 →在[a,b]上f(x)严格单调下降; 解: 当x=3,x=-1和x≠1,现在分四个区间讨论

  5. 区 间 y’ 函数的单调性 (-∞,-1] f’(x)≥0 单调上升 [-1,1) f’(x) ≤0单调下降 (1,3] f’(x) ≤0 单调下降 [3,+ ∞) f’(x)≥0 单调上升 3 -1 1 x

  6. y y x2 x2 x1 x x1 x 二 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点 上面我们研究了函数单调性的判定方法,函数的单调性表示 曲线的上升和下降,图中的曲线是上升的,但它们的凹凸性不 同.在几何上,我们在曲线弧上任意两点的弦总是在弧的下面, 有的在弧的上方曲线的这种性质我们称为曲线的凹凸性.

  7. 我们称为向上凹的 如果恒有 我们称为向上凸的 定义 设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2.恒有 如果我们用二阶导数的符号来表示的话,我们有定理2

  8. 定理2设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶二阶导数,定理2设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶二阶导数, 那么: (1)若在(a,b)内f”(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的 (2)若在(a,b)内f”(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的. 证明: 在(1)的情况,设x1和x2是[a,b]内任意两点,且x1<x2, 记(x1+x2)/2=x0,并记 x2-x0=x0-x1=h, 则x1=x0-h, x2=x0+h 由拉格朗日中值公式,得到

  9. 所以是凹的

  10. y y x x y Y=lnx 是上凸的 解: x 解: 记忆方法 例1 讨论函数y=lnx(x>0)的凹凸性 例2 讨论函数y=sinx在其一个周期(0,2π)内的凹凸性 sinx在(0, π)内上凸,在(π,2 π)内上凹.

  11. y y=sinx x 二 拐 点 在y=sinx的曲线中,当x=π时, 其左邻域为上凸 (y”<0)右邻域为 下凹(y”>0).它是曲线的凹凸性的 分界点称为拐点 定义2 曲线f(x)的向上凸部分与向下凹部分的分解点称 为该曲线的拐点.

  12. 定理3 (必要条件) 若函数f(x)在(a,b)上二阶可导,则曲线 f(x)上的点 (x0,f(x0))为拐点的必要条件是f”(x0)=0 可能的拐点只有两种情况: (1)它是方程f”(x0)=0的根, (2)它f”(x)不存在的点,即函数f(x)的二阶不可导点. (判别 时看左右两边是否变号).

  13. 曲线是凹的 曲线是凸的 曲线是凹的 例3 求下列曲线的拐点 解: 则1，3可能是拐点

  14. y x y x x=1,x=3是曲线的拐点. 没有使y“(x)=0的点,但当x=0时y“不存在,点(0,0)可能是拐点. 当x<0时, y“>0,当x>0, y“<0, 即在x=0的左,右两边y“变号,表示它是拐点. 所以在两阶导数不存在时,需要用它的左右是否变号来 分析它的拐点. 

  15. y y=f(x) p y=kx+b N M Q x 三 渐 近 线 定义3 若曲线s上的动点p 沿着曲线无限地远离原点时,点 p与某一固定直线L之间的距离 趋近于0,则称直线L为曲线s的渐近线. 1， 斜渐近线 y=kx+b p是动点,它到直线L的距离

  16. L p α α N M 如果已知曲线y=f(x),由(2)求出k,由(1)求出b,得到直线方程y=kx+b

  17. 2，水平渐近线y=b 当由(2)求出k=0时,这时 3, 竖直渐近线x=a 在这时,动点p距离原点将越来越远 渐近线是y=kx+b,则b=f(x)-kx的极限,k=f(x)/x的极限 渐近线是y=b,则k=0,所以b是x→∞时f(x)的极限. 渐近线是x=a,则k为无穷大,f(x)的极限为无穷大.

  18. 例4 求曲线的渐近线 解: 是曲线的斜渐近线 所以x=1是曲线的竖直渐近线

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