Dalle funzioni composte al caos deterministico:

1. Dalle funzioni composte al caos deterministico: le strane proprietà dei modelli dinamici non lineari Gian Italo Bischi, Università di Urbino, Facoltà di Economia bischi@econ.uniurb.it http//www.econ.uniurb.it/bischi/bischiweb.htm

2. Caos Deterministico: un ossimoro “deterministico” : regolare, prevedibile “caos” : assenza di regole, imprevedibilità. La scoperta del caos deterministico spezza questa dicotomia: modelli matematici deterministici non lineari possono generare andamenti estremamente complicati, quasi indistinguibili da processi aleatori.

3. David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992 James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”, Sansoni 1997, 3° edizione (edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”) Ian Stewart “Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri, 1993 Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, 1994. Bertuglia e Vaio “Nonlinearità, caos, complessità. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali”, Boringhieri 2003 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il caos” su “Le Scienze”, Febbraio 1982. James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos” “Le Scienze”, Febbraio 1987 A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze”, Settembre 1987. F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, 1991. Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno 1993.

4. Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico” in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998. Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio 1988. Pietro Greco “Il caos minaccia Newton” da “la Repubblica” del 7 febbraio 1990. Giorgio Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è morto” da “La Repubblica” del 11 dicembre 1991. Franco Prattico “I sacerdoti del caos” da “La Repubblica” del 30 aprile 1993. Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio 1993. Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale” da “La repubblica” del 3 dicembre 1986 Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo 1987. Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio 1988. Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali” da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.

5. Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton Un passo tratto dalla Seconda Iterazione […] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento dei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto esisteva nel mondo reale.

6. Sistemi Dinamici non lineari • Teoria Qualitativa dei Sistemi Dinamici • Non linearità • Stabilità • Biforcazioni • Attrattore (stazionario,periodico,strano o “caotico”) • Equazioni Differenziali • Equazioni alle differenze (funzioni iterate) • Visione olistica (cioè non riduzionista) • Importanza dei dettagli • Scarsa prevedibilità anche in sistemi deterministici governati da leggi semplici • Possibilità di individuare leggi “deterministiche” che regolano sistemi apparentemente aleatori

7. Variabili di stato : X= (x1, x2, …, xn) Sistema Dinamico Tempo continuo: equazioni differenziali Tempo discreto: equazioni alle differenze (mappe iterate, induttive) Operatore dell’evoluzione Leggi locali di evoluzione

8. Modelli dinamici a tempo discreto f x ( t ) x ( t + 1 ) f f x (0) f x (1) x (2) ... x (t) x (t+1) ... x (t + 1) = f ( x (t) ) x (0) assegnato Legge dievoluzione “induttiva” : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1 in modo Per induzione, ossia iterando la f ... … si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(n) = f n (x(0))

9. x (t+1) = a x(t) x1 = a x0 x2 = a x1 = a ( a x0) = a² x0 x3 = a x2 = a ( a² x0) = a³ x0 … xn = a xn1 = a ( a n-1) x0 = a n x 0 ... progressione geometrica di valore iniziale x0 e di ragionea. Capitalizzazione con interesse composto C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t) Soluzione: C(t) = C(0) (1+r)t Crescita esponenziale

10. Pierre-Simon Laplace 1749-1827 Nel 1776 Pierre-Simon Laplace scriveva : “Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro”

11. Nel 1903 Henry Poincaré scriveva: Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un instante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi”. Henry Poincaré, 1854-1912

12. Lorenz

14. x1-x2

15. Iterazione della funzione y = f(x) =x

16. x0 x3 x1 x4 x2 x n x n b all’incirca in (1.5 , 2)

17. calcolatrice tascabile x2 – c x

18. calcolatrice tascabile x2 – c x

19. calcolatrice tascabile x2 – c x

21. Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) ) x0 x1 x2 x1 x1 x1 = f (x0) x1 x3 x4 x0 x2 x0 x0 Se f (x(t)) > x(t) Allora x (t + 1) >( x (t) ) Se f (x(t)) < x(t) Allora x (t + 1) <( x (t) ) Se f (x(t)) = x(t) Allora x (t + 1) =( x (t) ) punto fisso stato stazionario punto di equilibrio

23. Mappe lineari: f ( x ) = a x. x (t+1) = a x(t) x1 = a x0 x2 = a x1 = a ( a x0) = a² x0 x3 = a x2 = a ( a² x0) = a³ x0 … xn = a xn1 = a ( a n-1) x0 = a n x 0 ... progressione geometrica di valore iniziale x0 e di ragionea. • ·| a | < 1 (cioè  1 < a < 1) • - se 0 < a < 1, successione monotona che • converge all’unico punto fisso x* = 0 (attrattivo); • - se -1 < a < 0, la successione converge al punto fisso, ma oscillando; • · | a | > 1 - se a < -1, la successione diverge oscillando; - se a > 1, la successione diverge in modo monotono I valori particolari a = 1 e a = 1 sono chiamati di biforcazione. Attraversandoli si verifica un cambiamento qualitativo nelle traiettorie

24. Equilibrio stabile -1<f’(x*)<0 0<f’(x*)<1 Equilibrio instabile f’(x*)>1 f’(x*)< -1

26. Iterazione della funzione (iperbole) Punti fissi:  x

30. Biforcazione fold (o tangente) : appaiono 2 punti fissi, uno stabile e uno instabile f ’(x*)=1 Diagramma di biforcazione

31. biforcazione pitchfork (supercritica) f ’(x*)=1

32. biforcazione pitchfork (subcritica) f ’(x*)=1

33. biforcazione transcritica (o cambio di stabilità) • due punti fissi si uniscono, scambiandosi la stabilità f ’(x*)=1

34. f ’(x*)= - 1 • Biforcazione flip (o del raddoppio del periodo): • il punto fisso diventa instabile e appare un ciclo di periodo 2 attorno ad esso. Corrisponde ad una biforcazione pitchfork dell’iterata seconda. subcritica supercritica

35. Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti e ne muoia una frazione m. Nell’anno successivo la popolazione è r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione Questa è una legge di evoluzione lineare xt+1 = axt lineare Diagramma a scala (ragnatela)

36. Popolazione che vive in un ambiente limitato. Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma aumenti al crescere della numerosità della popolazione ad esempio m = sN(t). Questo può essere interpretato come un termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.) Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare: Una funzione di secondo grado (una parabola). Con un semplice cambio di variabile diventa logistica

37. a = 2.5 a = 2 a = 3.1 biforcazione flip f ’(x*)=-1

39. Robert May, 1976 “Appello evangelico per l’introduzione di queste equazioni alle differenze semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono con semplici equazioni non lineari. [...]”. “Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] presto nell’educazione matematica. Questa equazione può essere presentata da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice, o persino a mano. Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circa i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”

41. xn x0 n yn y0=x0+10 -6 n |xn - yn| n

42. Una definizione generale di caos deterministico non esiste ancora. Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se: (1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di grandezza delle variabili di stato. (2) Transitività (o mixing): i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi cioè ciascun punto dell’intervallo su cui si muove tale traiettoria risulta essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa. (3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche. Nota: (2) e (3) implicano (1)

43. a = 3.61 a = 3.678574 c c c2 c2=c3=x* c3 c1 c1

44. Self-similarity (omotetia interna)

45. La Geometria del Caos Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento) 0.875

46. Kneading of the dough (impastare)

47. c J c2 c3 I c1 c c2=f(c1) c3=f(c2) c1=f(c) 8.4

48. x2 x1 t x1 x2 f: f f x1 x2

50. f: T F F’ = T( F) LC -1 LC