Calcul mental

1. Calcul mental

2. Détour historique … • En 1909: « Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes » • En 1970: « Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité ». • En 2002: « Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2 » 

3. Avril 2007: Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »: « Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par récrit ou à l’aide d’une calculatrice. » NB: attention, les programmes de 2002 mentionnaient déjà la nécessité de travailler le calcul approché au cycle 3! • Juin 2008: « L’entraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. »

4. Le point de vue des experts « Il (le calcul mental) est une façon privilégiée de lier calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations. Il n’est bien sûr pas question de viser l’apprentissage systématique de techniques ad hoc de calcul mental, comme on peut en trouver dans certains manuels d’arithmétique. Il s’agit d’utiliser les caractéristiques du calcul mental: • pour susciter la réflexion sur le calcul, • pour mettre en évidence la diversité des façons possibles d’aborder généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent, • pour susciter des formulations, des généralisations et des preuves ».

5. La question du calcul La diffusion généralisée d’outils de calcul instrumenté amène à repenser les objectifs généraux de l’enseignement du calcul: • Le calcul mental • Le calcul instrumenté • Le calcul écrit (techniques opératoires)

6. Les fonctions du calcul mental • Une fonction sociale: • Moyen efficace en l’absence de support ou d’instrument: calcul d’usage • Nécessité de recourir au calcul approché

7. Une fonction pédagogique: • Construction des premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des entiers naturels. • Enrichissement les conceptions numériques des élèves. • Utilisation implicite des propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité); • Importance pour la mise en place de certaines notions mathématiques: • Proportionnalité, fractions, • Opérations sur les relatifs, calcul algébrique… • Développement des capacités de raisonnement: élaboration de procédures originales

8. Des enjeux à long terme • Au collège: « L’habileté en calcul est une aide à la conceptualisation. En travaillant dans un domaine où les calculs peuvent être réalisés mentalement et rapidement, les élèves peuvent s’approprier plus aisément des nouveaux savoirs […] en centrant leur attention sur ce qui est nouveau. Un déficit de compétences en calcul mental constitue un handicap majeur pour de nombreux élèves en collège ». « Le calcul numérique au collège », projet de document d’accompagnement

9. Calcul mental :quelle définition? Opposition calcul mental, calcul écrit (posé, techniques opératoires,)? • Calcul automatisé (résultats, algorithmes mémorisés) • Calcul réfléchi ou raisonné

10. Calcul automatisé • Résultats mémorisés • Algorithme (technique opératoire) ou calculette, exécution prescrite et univoque • On opère sur les chiffres • Mise en œuvre identique à tous les individus • Procédures standard • Calcul « impersonnel » • Pas « d’intuition » des nombres • Pas d’ordre de grandeur

11. Calcul réfléchi (raisonné) • Diversité des stratégies • On opère sur les nombres: «intuition » des nombres • Procédures personnelles • Raisonnement: choix d’une stratégie, élaboration d’une procédure • Résolution de problèmes (type problèmes ouverts) • Explicitation et confrontation des procédures - Calcul exact /calcul approché (cycle 3) -Complémentarité calcul exact, calcul réfléchi

12. AUTOMATISMES Résultats mémorisés Procédures automatisées REFLEXION Résultats construits Procédures personnelles Les différents aspects du calcul mental

13. Calcul automatisé

14. Qu’est-ce que connaître ses tables? « La récitation des tables dans l’ordre croissant peut constituer une gêne pour une mémorisation efficace. » Document d’accompagnement des programmes 2002 Connaître ses tables, c’est: • Dire instantanément n’importe quel résultat. • Être capable d’exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe. Exemple: connaître 7 + 6, c’est: • Répondre rapidement « 13 » • Combien de 7 pour aller à 13? • 13 – 6? 13 – 7? 6 + 7 ?

15. Conditions de mémorisation • Compréhension de l’opération en jeu: • Représentations mentales du calcul à effectuer • Prise de conscience de la nécessité d’un répertoire: • Recenser les résultats connus • Compléter et organiser le répertoire • Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d’autres: • Points d’appui: étape décisive dans la mémorisation • Entraînement des résultats mémorisés: • Diversité des représentations mises en jeu • Disponibilité des résultats

16. Points d’appui pour la mémorisation Même s’il est indispensable, l’entraînement n’est pas le seul ressort de la mémorisation!

17. Points d’appui pour la mémorisation … Importance de la représentation des nombres… Représentations des nombres imagées : • Dés, dominos, jeux de cartes, figurations avec les doigts… Importance de consolider les images mentales des « petits nombres » • Mise en relation des nombres (entre 5 et 10) et leurs décompositions • Relations des nombres entre-eux: • Chaîne verbale • Structuration écrite chiffrée

18. Points d’appui pour la mémorisation … • Points d ’appui pour le répertoire additif: • Utilisation de la suite numérique, surcomptage • Appui sur les doubles • Utilisation de la commutativité • Passage à la dizaine • Début de cycle 3: • Restitution instantanée de tous les résultats: tables addition, différences, compléments associés La mémorisation des résultats (additifs et multiplicatifs) est favorisée par une bonne maîtrise des deux rythmes (numération écrite chiffrée, numération avec mots-nombres)

19. Points d’appui pour la mémorisation (suite) • Points d’appui pour le répertoire multiplicatif: • Connaître les résultats des tables de 2 et de 5 • Retrouver un résultat à partir d’un résultat connu:comptage de n en n • Utiliser la commutativité • Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé) • Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est… • S’appuyer sur les particularités de certaines tables: 2;5; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore • Fin cycle 3: • Mémorisation totale des produits des tables • Utilisation pour répondre à: • Combien de fois 7 dans 56? • 56 divisé par 7 • Décomposer 56 sous forme d’un produit de deux nombres inférieurs à 10

20. Calcul réfléchi… diversité des procédures • Représentations du nombre mobilisées: • Numération écrite chiffrée • Numération « orale » 25 x 12 P1: calcul séparé de 25x10 et 25x2, puis somme des résultats partiels (utilisation distributivité) P2: décomposition de 12 en 4x3, calcul de 25x4 puis de 100x3 P3:utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant 12 par 4, en multipliant le résultat par 100

21. 25x19 P4:calcul de 25x20 (directement ou non), puis soustraction de 25 au résultat (distributivité) P5:calcul de 19x20 (19x2x10), puis de 5x19 (nouveau calcul réfléchi: somme de 5x9 et de 9x10) Conclusion: aucune procédure ne s’impose, plusieurs sont possibles, nécessité de prendre des décisions personnelles pour élaborer une procédure spécifique.

22. Le calcul réfléchi ou pensé c’est aussi… Une planification de l’action Des démarches qui font intervenir explicitement des représentations numériques (ordre de grandeur, comparaison) Des propriétés des opérations (commutation, distribution)

23. L’aisance en calcul réfléchi dépend… • De la capacité à jouer avec les nombres • De la capacité à changer de procédures en fonction des nombres • De la qualité de mémorisation de certains résultats • Du nombre et de la nature des situations proposés aux élèves pour apprendre à calculer

24. Mise en œuvre • Quand? • Dès qu’il permet de répondre plus rapidement et plus efficacement qu’avec les opérations ou la calculette… • Moments spécifiques: chaque jour! • Combien de temps? • Entretien et contrôle des résultats mémorisés: cinq à dix minutes (« séquences brèves »)!! • Calcul réfléchi: « les séquences peuvent être nettement plus longues »: un quart à une demi-heure!!!

25. Comment? Résultats automatisés • Consigne orale • Procédé La Lamartinière… • … et d’autres Calcul réfléchi • Nécessité d’un temps de recherche • Confrontation des procédures • Possibilité de recourir à l’écrit • Organisation? • Grand groupe / petits groupes / ateliers

26. Quels contextes? • Contexte numérique seul: 17 + 23 • Des « petits »problèmes: « Pierre avait 17 billes, il en gagne 23. Combien en a-t-il maintenant? » Moyen efficace d’aider les élèves à progresser dans la maîtrise du sens des opérations.

27. 20 minutes en CE1… • Entretien connaissance du répertoire additif: • A l’oral: • 6+5; 9+6; 3+9; 4+8; 8+9 • 7 pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 5 pour aller à 13 • 8-5; 7-2; 12-5; 16-8; 14-9 • Le meilleur calcul pour un produit: • Quatre produits écrits au tableau • Cahier de brouillon • Trouver le plus rapidement possible le résultat: • 50x4; 8x5; 9x10; 100x7 • Confrontation des procédures

28. 30 minutes en CE1… (Cap Maths) Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuvent noter les informations, l’énoncé peut être relu, correction après chaque problème: • Un groupe de 20 enfants est parti en classe de neige. En arrivant, ils décident de faire des bonshommes de neige. Pour cela, ils se mettent par deux. Combien y aura-t-il de bonshommes de neige? • Le lendemain, 12 enfants décident de faire du ski. Les autres choisissent de faire de la luge. Combien d’enfants font de la luge? • Un autre jour, ils partent en randonnée. Il faut emporter quelques barres chocolatées pour tenir le coup. Le moniteur qui les accompagne emporte trois barres pour chaque enfant. Combien de barres chocolatées doit-il mettre dans son sac? • En route, ils rencontrent un autre groupe de quinze enfants. Ensemble, ils organisent une grande bataille de boules de neige.Combien y a-t-il d’enfants pour cette grande bataille?

29. Calcul mental et autres apprentissages mathématiques • L’apprentissage de l’heure… • Le furet des heures: Les élèves disent chacun leur tour un horaire, un intervalle de durée étant donné: Pour intervalle d’une durée de quinze minutes, à partir de 9 heures… • Autour des décompositions de 60: Mémory « 60 »: 60; 30; 30; 20; 20; 20; 15; 15; 15; 15; 10; 10; 10; 10; 10; 10 Établir le répertoire des décompositions additives de « 60 » Avec dix cartes: 1; 2; 3; 4; 6; 10; 20; 30; 60; (12; 5): établir le répertoire multiplicatif de « 60 »

30. Autour de la table de Pythagore…

31. Remplissages et coloriages • Le maître propose une quinzaine d’additions. Les élèves notent sur une feuille les résultats. • On colorie sur la table de Pythagore les résultats qu’on connaît. • Au bout de 6 à 7 séances, toutes les additions ont été proposées et les élèves visualisent sur la table de Pythagore celles qui nécessitent un apprentissage plus soutenu.

32. Activités numériques utilisant la table : • Trouver toutes les sommes de deux nombres qui donnent 8, 10… • Compléter la grille. • Remarquer les régularités dans la table (On compte de 1 en 1 sur les lignes et sur les colonnes, on compte de 2 en 2 sur la même diagonale).

33. Les puzzles • Quels sont les morceaux qui peuvent être placés dans la table de Pythagore? Comment les reconnaître? • Reconstituer la table de Pythagore

34. Tables de Pythagore à compléter Les élèves doivent remplir les cases entourées d’un bord foncé. Résultats à placer dans le répertoire : Placer tous les 13, tous les 11 ; Placer le plus vite possible une série de résultat (un nombre pour une case) : 5, 10, 18, 8, 6 et 7.

36. La boîte noire… du CP au CM2: • Je pense à un nombre, je lui ajoute 2, je trouve 7, quel est ce nombre? • Il faut découvrir la règle qui permet de passer de: • 4 à 9; 10 à 21; 30 à 61 • Formulation: « Je prends un nombre, je le double et j’ajoute 1 »

37. Encore quelques exemples… • Il s’agit, à partir, d’un nombre donné, d’atteindre un nombre cible, en respectant certaines contraintes: • Nombre de départ: 12 • Nombre cible: 53 • Contraintes: ajouter des « 7 », retrancher des « 4 » • Nombres affichés: 10; 20; 43; 35 A partir de ces nombres, trouver le plus de nombres possibles: • Utilisation de l’addition et de la soustraction, • Utilisation d’un nombre une seule fois par calcul. • Le compte est bon: classique mais toujours pertinent!

38. Bibliographie • Les documents d’accompagnement des programmes: le calcul mental à l’école élémentaire, p32 (ce n’est plus une référence institutionnelle, mais c’est toujours une valeur sûre pour la conception des apprentissages!) • Les ouvrages de la série Ermel (du CP au CM2), Hatier • Plusieurs ouvrage de Fr.Boule: • Jeux de calcul, Armand Colin, 1996 • Le calcul à l’école élémentaire, IREM Bourgogne, 1997-1998 • Faites vos jeux à l’école, Didier, 2005 • Butlen D., Calcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII, 1987 • Kuntzmann J., Calcul mental de 10 à 99 ans, IREM Grenoble, 1997 • Lethielleux C., Le calcul mental, (2 vol), A.Colin, 1992-1993 • Peltier M.L., Activités de calcul mental, Hatier, 2000