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계 량 분 석. 이 승 재. 2011. 00. 00. 계량 분석 11 주차. Integer Programming 정수 계획법. Integer Programming. 개 요. 1. 서론 2. 정수계획법 - 순수정수 계획법 - 혼합정수 계획법 - 0 – 1 계획법 3. Algorithm - B&B (Branch & Bound) - Cutting – plane - Implicit enumeration
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계 량 분 석 이 승 재 2011. 00. 00
계량 분석 11 주차 Integer Programming 정수 계획법
Integer Programming 개 요 1. 서론 2. 정수계획법 - 순수정수 계획법 - 혼합정수 계획법 - 0 – 1 계획법 3. Algorithm - B&B (Branch & Bound) - Cutting – plane - Implicit enumeration 4. 응용예제 -set covering - fixed cost problem 5. Summary
Integer Programming 서론 - 정수계획법의 도입이유 • 시간, 거리, 면적, 무게 등을 나타낼 때는 소수나 분수 값을 취할 수 있으나 제품, 사람, 기계, 사건 등의 수는 정수여야만 의미가 있게 된다. • 많은 선형계획모형에서 결정변수들을 정수 값으로 제한시킬 수 있다면타당성은 크게 향상될 수 있다. • 변수가 정수 값을 가져야 하는 경우는 모형에 새로운 제약조건을 추가하여 결정변수의 일부 또는 전부가 정수가 되도록 해야 한다. • 1. 순수정수계획법 • 모든 결정변수들이 정수이어야 한다는 조건이 있을 경우 • 2. 혼합정수계획법 • 일부 결정변수가 정수가 되어야 한다는 조건이 있을 경우 • 3. 0-1 계획법 • 변수가 정수 값을 가져야 하는 경우는 모형에 새로운 제약조건을 추가하 • 여 결정변수의 일부 또는 전부가 정수가 되도록 해야 한다.
Integer Programming 정수계획법의 장ㆍ단점 • 정수를 변수로 사용하면 모형설정에 유연성이 추가되어 선형계획 방법론을 실제 응용할 수 있는 분야가 확장된다. • 융통성이 추가되는 대가로 정수인 변수들을 포함하는 선형계획문제는통상 해결하기가 어렵다. 실제로 수천 개의 연속변수들을 가진 선형계획문제는 기계적으로 해결할 수 있어도 100개도 안 되는 변수를 가진 정수선형계획문제를 해결하기는 무척 힘들다. • 일반적인 선형계획모형과의 유일한 차이는 정수계획모형은 최소한 변수들 중 일부가 정수이어야 한다는 필요조건이다. • Algorithm • Branch & Bound • Cutting Plane • Implicit enumeration
Integer Programming BRANCH & BOUND • 분단탐색법은 정수계획문제의 해법으로 매우 효율적이며 가장 널리 사용되고 있다. • 이는 기본적으로 의사결정나무(decision tree)의개념에 기초하고 있다. • 이 중 우리가 사용하는 것은 정수분단탐색법이다. 예 제 어느 부동산 회사는 현재 10억 5,000만원의 자금을 가지고 여러 종류의 임대용 부동산을 투자대상으로 물색하고 있다. 세밀한 검토 끝에 여러 동의 다세대주택과 아파트 몇 채로 대상을 좁히기로 결정하였다. 다세대주택은 4세대용으로 한 채 1억 5,000만원에 구입할 수 있으나 현재 네 채만이 구입 가능하며, 아파트구입에는 한 채 2억 1,000만원가량 예상하고 있다. 회사의 프로젝트 운영팀은 이 투자건에 월 70시간을 할당받았으며, 한 동의 다세대주택의 운영에 월 2시간, 또 각 아파트 관리 및 운영에는 월 20시간이 소요된다. 연간 수입은 모든 비용을 제하고, 다세대 주택 한 채에 3,000만원, 아파트 한 채에 5,000만원으로 추정된다. 이 회사는 다세대주택과 아파트에 투자자금을 할당하여 연수입을 극대화시키려 한다. 이때, 아파트는 일부 지분으로도 구입이 가능하다.
Integer Programming 구입하려는 다세대 주택의 수 Solution 구입하는 아파트 수 목적함수와 제약식은 금액의 단위를 천 만원으로 잡는다. 두 변수 정수계획모형의 도해과정은 일반 선형계획모형의 도해과정과 비슷하다. 우선 선형계획모형의 가해영역을 식별한 후 최상의 목적함수선이 지나는 정수해점을 찾을 수 있으며 바로 이 점이 정수선형계획모형의 최적해가 된다.
Integer Programming Solution 5 4 3 2 1 0 A( ) B ( ) ① ② C( ) ③ 0 1 2 3 4 5 6 7
Integer Programming Solution 최대화 모형에서 어떠한 전정수 또는 혼합정수계획모형의 최적 목적함수값은 일반 선형계획모형의 그것을 초과하지 않는 다는 것이다. 어떠한 최대화 전정수 혹은 혼합정수계획모형값의 상한은 정수제약을 해제한 선형계획모형을 풀면 구할 수 있다는 것을 의미한다. 정수계획문제의 분단탐색과정은 모든 가능해의 집합을 작은 하부집합들로 나누는데, 이를 분단(branching)이라고한다.
Integer Programming Solution UB = 23.62 ,LB = 21.00 분단탐색나무(branch and bound search tree)의 첫 마디(node)가 아래와 같이 나타나게 되며, 여기서 UB(upper bound)는 상한, 또 LB(lower bound)는 하한을 나타낸다. UB = 23.30 LB = 23.30
Integer Programming Solution 일반적으로 한 마디로부터 두 개의 분단이 완료될 때마다 상한을 다시 계산한다. 이때 하한도 역시 계산된다. 하한의 새로운 값은 지금까지 나온 모든 가능정수해들 중 최대값이 된다 UB = LB가 될 때 분단탐색 해결과정의 최적해가 찾아지게 되고, 값이 LB와 같은 가능해이다. 5 4 3 2 1 0 A( ) B ( ) ① ② C( ) ③ 0 1 2 3 4 5 6 7
Integer Programming Conclusion - B&B 해결과정 ⅰ) 마디 1에서 정수선형계획모형의 정수제약을 해제한 선형계획모형의 해를 구하고, 여기에서 나온 선형계획모형의 값을 상한(UB)으로 정한다. ⅱ) 가능 정수해를 구하고, 이 때 선형계획모형의 값을 하한(LB)으로 정한다. ⅲ) 만약 UB = LB가 되면 최적해가 얻어지고 모형의 값이 LB와 같게 된다. ⅳ) 만약 UB ≠ LB가 되면 선형계획모형의 값이 가장 큰 마디로부터 분단한다. 정수에서 가장 먼 변수 를 선택하여, 두 개의 분단과 두 개의 하부마디를 만든다. 하나는다른 하나는 을 가진다. 여기서는 보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 뜻하여 예를 들어 [3.79]=3을 의미한다. ⅴ) 각 하부마디에서 정수제약이 해제된 선형계획모형을 풀고 그 값을 기록한다. ⅵ) 분단이 없는 모든 마디 중 최대값을 구해 상한을 재계산한다. ⅶ) 지금까지 구할 수 있는 모든 가능정수해 중 최대값으로 하한을 재계산한다. ⅷ) 다시 ⅲ)으로 돌아가 반복
Integer Programming Cutting - Plane • 선형계획모형의 해법인 심플렉스해법을 사용하여 정수계획모형의 최적 • 해를 구하는 해법이다. • - 이 해법은 고모리(Ralph Gomory)에 의해 최초로 개발되었다. 예 제
Integer Programming Solution • 최종simplex표에서 최적해의 값이 은 정수이지만 의 해가 분수값 가짐으로 정수 값으로 변형시키기 위하여 고모리 제약식을 유도해야 한다. • 고모리 제약식을 구하기 위해 최종simplex표의 제약조건식의 계수 중에서 가장 큰 분수를 선택한다. 그 후 가장 큰 분수가 속해있는 제약조건의 행의 모든 비정수 값을 정수 값과 1보다 작은 비음분수값의 합으로 나타낸다.
Integer Programming Solution 3 2 1 0 ( ) 0 `1 2 3 4
Integer Programming Solution
Integer Programming Solution ※ 고모리 제약조건식을 이용하여 심플렉스법으로최적정수해를 구하는 방법 ① 원래의 선형계획모형에 고모리 제약조건식을 추가하여 처음부터 푸는 방법 ② 선형계획모형의 최종심플렉스 포에 고모리 제약조건식을 추가하여 푸는 쌍대심플렉스법
Integer Programming Implicit enumeration 1. 암묵적 열거법은 0-1 계획 문제를 푸는 기법이다. 2..암묵적 열거법은 부분해로 구성되고 부분해는 단순히 결정변수의 부분집합에 대하여 0 또는 1의 할당을 의미한다. Minimize 예 제 Subject to 또는 이다. 모든 j에 대하여
Integer Programming Solution 부분해 0 2 1 이 단계로부터 새로운 분할 발생 실행 가능하지 않음 명확하게 제약조건식(1)에 위배된다: 이 단계의 가지들은 무시 되어 진다.
Integer Programming Solution 부분해 0 1 2 실행불가능 3 4 단계 3에 주어진 해보다 더욱 좋은 해가 존재할 잠재력이 있기 때문에 여기서 계속적으로 분할한다. (0,1,0,0)에 대하여 Z=5 이러한 실행 가능해는 열등한해 (0,1,1,1), (0,1,0,1), (0,1,1,0)로 추측된다
Integer Programming 0 1 2 실행불가능 3 4 해 (0,1,0,0)에 대하여 Z=5 5 6 실행불가능 실행불가능 7 8 해 (0,0,0,1)에 대하여 Z=4 (최적해)
Integer Programming Set Covering problem • 집합포함문제는 집합의 여려 원소들(elements) 중에서 최소의 비용(시간 또는 거리)으로 집합조건을 충족시키는 집합의 원소를 찾는 문제. • m개의 집합조건과 n개의 집합의 원소가 있는 집합포함문제를 0-1정수계획모형으로 정식화.
Integer Programming 예 제 해운대구는 최근 신시가지 개발의 완료와 더불어 각종 범죄가 급속도로 지능화, 신속화, 흉악화 되어가고 있는 실정이다. 따라서 부산시경에서는 수사의 신속성과 기동성을 확보하여 수사의 효율성을 제고하기 위하여 파출소를 증설하기로 결정하고 범죄 발생빈도가 높은 지역을 조사한 결과 9개 지역으로 나타났다. 부산시경에서는 범죄 발생빈도가 높은 위에서 조사된 9개 지역을 파출소의 설치대상 후보지역으로 선정하고 범죄가 발생할 때 최대로 8분 이내에 범죄 현장에 도착할 수 있도록 이 후보지역 중에서 특정지역을 선정하여 파출소를 설치하려고 한다. 표는 후보지역별로 파출소를 설치했을 때의 설치비용과 8분 이내에 범죄 현장에 도착할 수 있는 지역을 조사한 결과이다. 최소의 설치비용으로 파출소를 설치하여 수사의 효율성을 제고하기 위해서는 어느 지역에 파출소를 설치하면 되겠는가?
Integer Programming Solution 1, 후보지역j에 파출소를 설치하는 경우 파출소의 후보지역을 나타내는 결정변수를 다음과 같이 정의하자. 0, 후보지역j에 파출소를 설치하지 않는 경우
Integer Programming 8 Solution 0 9 10 1 2 11 12 3 4 13 14 5 6 Implict enumeration법을 이용하여 풀면 결국이고 기타 결정변수의 값은 0이다. 그리고 목적함수 값은 11(천만원)이다. 따라서 후보지역 1과 8에 파출소를 설치하면 총 설치미용은 1억 1천만원으로 최소가 됨을 알 수 있다. 15 16 7 8 17 18
Integer Programming Fixed cost problem
Integer Programming Solution C(X) Fixed cost = f variable cost =d 생산량 = X 총 생산비용 C(X) C(X)를 하나의 수식으로 표시하기 위해 0-1 변수 Y를 도입 Y를 이용하여 총 생산비용을 나타낸다 기울기 d C(X) = dX + fY f X<=MY (M은 X의 상한값) If X>0 이면 Y=1, X=0이면 Y=0or1 이지만 총 생산비용을 최소화해야 하기 때문에 최적해에서는 Y=0이 되어야 한다. X Y관계를 보정하기 위하여 제약식 추가
Integer Programming SUMMARY 1. 정수계획모형은 여러 다양한 경영상황에서 활용되고 있는유용한영과학모형이다. 2. 정수계획모형은 의사결정변수값이 분수가 아닌 정수값 일 때만 현실적으로 의미를 갖는 경우에 활용된다. - 발생되는 개수결정모형은 기본적으로 선형계획모형에서의사결정변수가 정수이어야 하는 조건이 추가된 것이다. 3. 정수계획모형은 고려하고 있는 경영활동들을 수행할 것인지 아닌지의 여부를 정할 때 활용된다. -0-1변수를 활용하여 0-1정수계획모형으로 쉽게 모형할 수 있다. 4. 여러 복잡한 의사결정의 논리적 구조는 0-1변수를 활용하므로써 논리 제한식으로 모형화되어 해결된다. - 0-1변수가 적용되는 중요한 문제로 고정비용, 공공설비 입지선정, 최소 주문량 모형등이 있다. 5. 정수계획 모형에는 선형계획의 민감도 분석과 같은 정보는 없다. - 정수계획모형을 적용할 때는 관련 입력자료들을 다양하게 변화시켜서 해당하는 여러 결과들을 얻은 후 비교, 분석하여 의사결정을 내리는 것이 바람직하다. 6. 정수계획모형의 최적해를 찾는 과정은 일견 쉬울 것 같이보이지만 선형계획 보다 복잡하고 시간이 많이 소요된다. - 정수가능해으이이산성(Discreteness)으로 인해 정수해들을 모두 열거, 비교해서 최적해를찾을 수 밖에 없기 때문이다. - 정수제약이 필수적이지 않으면 선형계획으로 모형화하여 해결하는 것이 바람직하다.
