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Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK

Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK. Konstantinos Panagiotou. Organisatorisches. Das Team. Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…!. Benedikt Stufler. Robert Graf. Iosif Petrakis. Tobias Ried. Manuel Wickmann. Ronja Kuhne. Alexisz Gaal. Michael Wolff.

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Probestudium Graphentheorie Die Mathematik von FACEBOOK

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Presentation Transcript

  1. ProbestudiumGraphentheorieDie Mathematik von FACEBOOK Konstantinos Panagiotou

  2. Organisatorisches

  3. Das Team Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…! Benedikt Stufler Robert Graf Iosif Petrakis Tobias Ried Manuel Wickmann Ronja Kuhne Alexisz Gaal Michael Wolff

  4. Die Geburtsstunde der Graphentheorie

  5. Vor vielen Jahren …

  6. Populäres Puzzle (~1700): ist es möglich durch die Stadt zu laufen, so dass man jede Brücke genau einmal überquert?

  7. Ist es wichtig, wie breit der Fluss ist? • Ist es wichtig, wie groß die Insel ist? • Ist es wichtig, dass die Brücke aus Stein gebaut ist? • Ist es wichtig, ob es regnet? • Was ist wichtig?

  8. Andere Beispiele • Kann man eine gegebene Figur zeichnen, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen?

  9. Euler • Euler‘s Kommentar: „Was dieses Problem angeht, so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden ob es einen gibt der den Anforderungen genügt. Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.“

  10. Nur eine Spielerei? • Problem in der Logistik: • Post • Müllabfuhr • … • Viele weitere Anwendungen: • Gentechnologie: Sequenzierung • …  Euler‘s Problem

  11. Ein ähnliches Problem • EinReisendermöchtebestimmteStädtebesuchen • Er kennt die Verbindungen zwischen den Städten • Am Schlussmöchteerwieder an seinemAusgangsortankommen • Er will keine Stadt mehrmals besuchen

  12. Was ist (nicht) wichtig?

  13. Beispiele

  14. Ursprung

  15. Wie macht man das? „[…] so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden […]“ (Euler) • EsgibtinsgesamtnStädte • Die Städtesindkomplett • miteinanderverbunden • JedeVerbindunghat • einunterschiedlichesGewicht • MöglicherLösungsansatz: • vollständigeAufzählungaller • möglichenWege! • WievielZeitbrauchtein • heutiger Computer? …

  16. Zeit? • Zeit = Anzahl Wege * t, wobei • t = Zeit, um die Länge des Weges zu berechnen • Nehmen wir mal an, dass t sehr klein ist: 1/1.000.000 Sekunden • Was ist die Anzahl Wege?

  17. Anzahl Wege • Anzahl Wege = Anzahl Mögl. den ersten Schritt zu machen * Anzahl Mögl. den zweiten Schritt zu machen … * Anzahl Mögl. den i-ten Schritt zu machen … * Anzahl Mögl. den letzten Schritt zu machen = (n-1) * (n-2) *… * (n-i) * … * 1 = (n-1)!

  18. Beispiele • „Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.“ • n = 11: Die benötigte Zeit ist • 10 * 9* 8* … *2*1 * t = 3628800*1/1000000 ~ 3 Sek. • n = 13: • 12*11*…*2*1 * t ~ 360 Sek. (6 Minuten!) • n = 16: • 15*14*…*2*1 * t ~ 1.000.000 Sek (ca. 300 Stunden!!) • n = 21: • 20*19*….*2*1 * t ~ 2* Sek. (ca. 700 Jahre!!!) • n = 41 • 40*39*…*2*1 * t ~ … (> Alter des Universums!!!!)

  19. Ein Zuordnungsproblem • Nikolaus hat vieleverschiedeneGeschenke, die erverteilenmöchte. • Jedes Kind freutsichnurüberbestimmteGeschenke. • z.B. PeterfreutsichüberModelleisenbahn, Nintendo WII, abernichtüberLego. • Problem: Wiesoll der Nikolaus die Geschenkeverteilen (eins pro Kind), so dassmöglichstviele Kinder sichfreuen?

  20. Was ist (nicht) wichtig?

  21. EineabstrakteSichtweise Die AufgabevomNikolaus: “Mache möglichstvieleKinder glücklich und jedes Kind bekommthöchstenseinGeschenk” = “FindeeinemaximaleMenge von Verbindungen, so dassjederrote und blauePunktzuhöchstenseinergehört!” Eisenbahn Lego WII Peter … … … Kinder Geschenke

  22. Nur eine Spielerei? • Welche Züge sollen welche Routen fahren? • Welche Professoren sollen welche Vorlesungen halten? • Welche Zulieferer sollen welche Waren wo liefern? • …

  23. Ein letztes Beispiel • Experiment in den 60er Jahren, durchgeführt von Stanley Milgram • Eine Person s erhielt einen Brief, der an eine andere Person t adressiert war • Wichtige Informationen über t wurden s mitgeteilt • s konnte den Brief nur an jemanden schicken, der/die ihm/ihr persönlich bekannt war 1) Viele Briefe gingen verloren 2) Mittlere Länge einer erfolgreichen Kette: 5.6

  24. Fragen • Warum existieren kurze Ketten? • Wie können Individuen solche Ketten finden (ohne alle Bekanntschaften zu kennen?) • Heute: • Durchschnittliche Länge in Facebook: 4.7 (!) • Yahoo! Labs Small World Experiment • Ähnliche Eigenschaften in anderen Netzwerken: Twitter, Youtube, … Es gibt auch deutlich längere Ketten.

  25. Eine abstrakte Sichtweise • Mitglieder von FACEBOOK: Punkte • Freundschaft in FACEBOOK: Verbindung • Wie sieht FACEBOOK aus?

  26. FACEBOOK

  27. Zusammenfassung Zuordnungsproblem Euler’s Problem FACEBOOK Reisender

  28. Was haben diese Probleme gemeinsam? • Sie lassen sich durch sehr ähnliche (abstrakte) Objekte beschreiben: • Punkte • Verbindungen • Genau das sind Graphen…!

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