Transformateurs monophasés

1. ELEC 2753 Electrotechnique Transformateurs monophasés E. MATAGNE

2. Mise en situation Exemple de problème Exemple de mauvaise solution Exemple de bonne solution

3. Utilisation pour le transport d’énergie Pour transporter l’énergie électrique sur de grandes distances, on a intérêt à le faire avec un courant faible pour obtenir un compromis plus favorable entre la section des conducteurs (moins de matière et donc moins de poids) ou réduire les pertes ohmique ( en R I2 ). Le transformateur permet de réduire le courant transporté, au prix d’une élévation de la tension : c’est grâce au transformateur que l’on peut utiliser les lignes haute-tension. Parce que le transformateur ne fonctionne qu’en courant alternatif, la distribution d’énergie électrique en courant alternatif s’est imposée.

4. Structure des transformateurs Bobines de fil électrique couplées magnétiquement. La présence d’un noyau ferromagnétique permet d’obtenir un meilleur couplage. Si deux bobines séparées, on a l’avantage supplémentaire de l’isolation galvanique (souvent important du point de vue sécurité des personnes).

5. Dispositions constructives des transformateurs monophasés A colonne A manteau Le noyau est feuilleté pour gêner les courants de Foucault (voir physique T4). Le noyau de fer se comporte approximativement comme un circuit magnétique…………………donc, nous allons revoir cette notion.

6. Rappel de bac 1 Lorsqu ’on utilise un noyau formé d’un matériau ferromagnétique, il y a réfraction du champ magnétique (voir cours de bac 1) sur la surface extérieure de ce noyau.

7. Canalisation du flux dans un circuit magnétique Dans un noyau ferromagnétique, le flux peut être canalisé même si la géométrie est dissymétrique : la réfraction du champ B fait que les lignes de flux tendent à devenir parallèles à la surface latérale du noyau. • Comme le champ Htangent est le même des deux côtés de la surface de séparation air-fer, mais que la perméabilité du noyau est bc plus grande, on a Bnoyau >> Bextérieur • bien que le champ H extérieur soit maintenant comparable au champ intérieur. • Négligeant le champ B extérieur, on a • constant le long du noyau (loi de Gauss du champ magnétique : div B = 0 ). • Ne pas se tromper sur la signification de S !!!!!!! Par analogie avec les circuits électriques (où le courant se conserve), on parle ici de circuit magnétique (où le flux se conserve). Le flux est une grandeur globale du circuit magnétique. Nous examinerons plus loin la liaison entre le flux et les tensions des enroulements (loi de Faraday).

8. Lien entre le flux et les tensions • Supposons dans un premier temps que chaque bobinage qui encercle le circuit magnétique encercle un flux total valant • y = n F • (vrai si on néglige les flux de fuite) • On a alors • y1 = n1F • y2 = n2F • donc • y1 = (n1/n2) y2 • Or, les flux sont reliés aux tensions par • la loi de Faraday. Si on néglige aussi la résistance des enroulements, on a donc u1 = (n1/ n2 ) u2

9. F.m.m. d’un circuit magnétique • Dans les circuits magnétiques, on définit une seconde grandeur globale, duale du flux F, à savoir la force magnétomotrice, par Nous examinerons plus loin la liaison entre la force magnétomotrice et les courants des enroulements (loi d ’Ampère). Le circuit magnétique est caractérisé par une relation (appelée constitutive) entre F et . Cette relation est une conséquence de la caractéristique du matériau. On s ’en rend compte aisément dans le cas particulier où le flux se répartit uniformément sur toute la section S, ce qui entraîne B = F / S , et où la section S est constante tout le long du circuit magnétique, ce qui entraîne que B est uniforme dans tout le noyau, donc aussi H. On a alors F = S B et = L H . Donc la relation B = f(H) entraîne l ’existence d ’une relation F = g( ) .

10. Lien entre la f.m.m. et les courants La loi d’Ampère fournit

11. Matériau ferromagnétique parfait • Commençons par faire l ’hypothèse simplificatrice la plus radicale. • Considérer le matériau ferromagnétique comme parfait consiste à admettre que H = 0 dans ce matériau. • Alors, on a puisque • tandis que F peut circuler sans rencontrer de « réluctance » (mot analogue à la résistance d ’un circuit électrique) dans le circuit magnétique.

12. Lien entre les courants dans le cas idéal • En négligeant les flux de fuite et la résistance des enroulements, on a obtenu • u1 = (n1 / n2 ) u2 • Si on suppose en outre que le matériau est idéal (H = 0), on a en outre Or, par la loi d ’Ampère, Donc i1 = - (n2 / n1) i2

13. Remarque importante. La validité de l’hypothèse H = 0 dépend des conditions de fonctionnement du transformateur. Lorsque le champ B augmente, le champ H augmente très vite, et on peut alors avoir un courant primaire i1 important même en l’absence de courant secondaire. Cela se produit lorsque le flux F devient grand. Par exemple, si on applique au transformateur une tension primaire (permanente ou transitoire) telle que le flux y1 prenne une valeur élevée. On peut alors avoir surcharge du transformateur ou déclenchement des protection même si on ne consomme aucun courant au secondaire.

14. Transformateur idéal • Avec beaucoup d ’hypothèses simplificatrices, on a obtenu à la dia précédente deux équations qui sont celles d ’un transformateur idéal de rapport • k = n1 / n2 • à savoir u1 = k u2 • et i1 = - (1/k) i2 Le transformateur idéal est un élément fondamental de la théorie des circuits. Nous le représenterons dans ce cours par le symbole

15. Prise en compte des imperfections • Le champ B n ’est pas parfaitement nul en dehors du noyau. • On admet que chaque enroulement encercle un « flux de fuite » en plus du flux principal. En faisant l ’hypothèse que ce flux de fuite qui ne dépend que du courant qui traverse cet enroulement, et en admettant la linéarité de ce flux (qui traverse surtout de l ’air), on a • y1 = n1F + l1 i1 et y2 = n2F + l2 i2 • ce qui correspond, avec i1 = - (1/ k ) i2 , au circuit équivalent ci-contre. Rappel : une inductance linéaire est un rapport entre un flux et un courant

16. Imperfections (suite) Les enroulements ne sont pas parfaitement conducteurs. Si on tient compte de la résistance ohmique des enroulements, on a Donc, en tenant compte de l ’expression des flux introduite plus haut et de la définition du rapport de transformation k . Ces équations correspondent, avec i1 = - (1/ k ) i2 , au circuit équivalent ci-contre.

17. Imperfections (suite) • Le champ H dans le noyau n ’est pas nul. Donc ou Par ailleurs, on peut définir ym = n1F et remplacer la relation par ym = ym ( im ) . En introduisant ces définitions dans l ’équation des tensions de la dia précédente, on obtient le circuit équivalent ci-contre. L’élément parallèle tient compte essentiellement de la caractéristique B-H du matériau dans le noyau.

18. Relation constitutive dans le cas linéaire • Considérons maintenant le cas d ’une relation linéaire pour le matériau, à savoir • B = m H = mrmo H • On doit alors avoir aussi une relation linéaire entre F et , soit où le coefficient porte le nom de (coefficient de) réluctance. Avec les hypothèses simplificatrices ci-dessus, on a simplement, puisque = L H et F = S B , Le circuit magnétique peut comporter plusieurs tronçons différents par S, L ou m. On peut alors combiner les réluctances en série ou en parallèle exactement comme les résistances dans les circuits électriques.

19. Cas linéaire (suite) Puisque ym = n1F et que , lorsque l’on a une relation linéaire entre le flux F et la force magnétomotrice, il est clair que l’on a aussi une relation linéaire entre ym et im . On peut donc définir l’inductance « de magnétisation » On a évidemment

20. Modèle à inductances couplées • 0n préfère parfois modéliser le transformateur à l’aide d’inductances couplées plutôt qu’à l’aide d’un transformateur idéal. Par exemple parce que certains programmes d’analyse de circuit ne permettent pas l ’utilisation de transformateurs idéaux. • Si on néglige la saturation et les pertes magnétiques, l ’élément parallèle du circuit équivalent est une inductance idéale (linéaire et sans pertes, donc ni saturation ni pertes magnétiques), le circuit équivalent obtenu (figure de gauche ci-dessous) est équivalent à un circuit sans transformateur idéal mais comportant une inductance couplée (figure de droite) avec • M = Lm / k , L1 = Lm + l1 et L2 = Lm / k2 + l2La transformation inverse aussi est utile.

21. Utilisation des phaseurs • Si toutes les grandeurs varient sinusoïdalement en fonction du temps et à la même fréquence, on peut les remplacer par des phaseurs. • Dans beaucoup de cas, le transformateur fonctionne à fréquence fixe. Les mesures électriques que l’on réalise permettent de déterminer les impédances des éléments. Il est inutile d’en déduire la valeur des inductances si tous les fonctionnements qui seront étudiés se font à la même fréquence. On détermine alors non pas les inductances mais leur produit par w , à savoir • X1 = w l1 • X2 = w l2 • Xm = w Lm

22. relation constitutive avec saturation • Le cas d ’un matériau magnétique linéaire est rare en pratique. • Si on considère la saturation (non-linéarité du matériau), on a

23. Introduction de la non-linéarité La non-linéarité du noyau magnétique est prise en compte dans le modèle physique vu plus haut. L’utilisation des phaseurs n’est plus rigoureuse dans ce cas puisque toutes les grandeurs ne peuvent pas être sinusoïdales en même temps. On se permet cependant souvent d’utiliser le modèle phasoriel avec une réactance Xm dont la valeur est fonction du module de sa tension E et de la fréquence.

24. Relation constitutive avec hystérèse • Souvent, la caractéristique magnétique des matériaux n ’est pas univoque. La relation B-H dépend de l ’évolution passée des champs. Si la vitesse d ’évolution n ’intervient pas, le phénomène porte le nom d ’hystérésis. En pratique, le cycle s’élargit lorsque la fréquence augmente, de sorte qu’il ne s’agit pas d’hystérésis pur.

25. Pertes par courants de Foucault En présence de champs magnétiques variables, il apparaît dans le fer du noyau des courants de Foucault, et ceux-ci produisent des pertes par effet Joule. On réduit ces pertes en feuilletant les tôles du noyau, ceci afin d’empêcher les courants de Foucault de circuler à grande échelle. Il subsiste cependant des courants de Foucault à petite échelle. Ils circulent à l’intérieur de tôles (on peut les réduire en utilisant des tôles plus minces et moins conductrices, notamment par alliage à du silicium). Les pertes dues aux courants de Foucault à petite échelle sont liées à la valeur du champ magnétique. Elles sont difficiles à distinguer des pertes par hystérésis. On les considère donc comme des pertes «magnétiques ».

26. Modifications du circuit équivalent liées à la fréquence Les pertes par hystérésis et par courants de Foucault sont liées à la fréquence. Avec l’augmentation de la fréquence, les flux de fuites donnent également lieu à des pertes et la répartition du courant dans les conducteurs n’est plus uniforme. On peut tenir compte de tous ces effets en ajoutant des résistances en parallèle sur les inductances et une inductance supplémentaire en série avec R1 et R2 . Le circuit obtenu est trop compliqué pour être utilisé en pratique.

27. Circuit équivalent de référence • On peut revenir à un circuit plus simple en utilisant l’équivalence entre modèles parallèle et série des impédances, et en regroupant les éléments obtenus. On simplifie ainsi le circuit qui devient celui représenté ci-dessous, mais il faut noter que la valeur des éléments de ce circuit dépend de la fréquence. Ce circuit sera utilisé par la suite pour discuter l’importance des erreurs commises lors de diverses simplifications de calcul. Il sera appelé « circuit équivalent de référence » ou « circuit en T ».

28. En pratique • Les éléments de ce circuit ne sont pas associés de façon stricte à un seul phénomène physique. Ainsi, le champ de fuite est responsable de pertes d ’énergie (par courants de Foucault et hystérésis), de sorte qu ’il contribue non seulement à X1 et X2 , mais aussi à R1 et R2 qui deviennent fonction de la fréquence. • De même, les pertes modélisées par Rpm ne se produisent pas uniquement dans le noyau. • Même k n ’est pas exactement le rapport des nombres de spires ! En pratique, on détermine souvent les paramètres du circuit équivalent expérimentalement. Le vocabulaire fait souvent référence à l ’interprétation physique simple présentée plus haut, même si elle n ’est pas tout à fait rigoureuse.

29. Analyse : introduction • Un transformateur est normalement prévu pour transmettre de la puissance d ’un système (le générateur) vers un autre (la charge). • On distingue un enroulement primaire (entrée) et un enroulement secondaire (sortie). • On change le sens de référence du courant secondaire pour que les deux puissances P1 et P2 soient positives en fonctionnement normal.

30. Analyse détaillée On peut tracer le diagramme phasoriel facilement si on part de la charge, c-à-d. si on suppose connus En pratique, c ’est U1 qui est connu. On pourrait faire une règle ce trois (cas linéaire) ou itérer (cas non linéaire) pour obtenir la valeur correcte de

31. Problème : comment déterminer directement (sans faire de règle de trois) la tension et le courant secondaire ? On peut y arriver directement en manipulant le circuit équivalent pour obtenir un circuit équivalent simplifié.

32. Modification du circuit équivalent : motivation Pouvoir rendre compte des phénomènes physiques internes au dispositif n’est pas la seule qualité requise d ’un modèle : il faut aussi tenir compte de la possibilité de l ’utiliser pour déterminer son comportement extérieur, et surtout de la possibilité de déterminer ses paramètres. Or, le circuit équivalent de référence conduit à analyser des circuits à deux mailles. Pire, sa détermination nécessite celle de 7 paramètres. C ’est impossible dans le cas linéaire (et donc difficile en pratique). En effet, le comportement extérieur d ’un dispositif linéaire à 2 accès électriques est entièrement décrit par une matrice d ’impédance, soit (en tenant compte du changement de sens de référence de i2 ) : La matrice est symétrique et n ’a donc que trois composantes différentes. A fréquence fixée, ces composantes sont des nombres complexes : on a donc 3 x 2 = 6 degrés de liberté seulement. Il est impossible de fixer la valeur de 7 paramètres dans ces conditions.

33. Modification du circuit équivalent La théorie des circuits montre que, dans le cas linéaire, la partie de gauche du circuit équivalent peut être remplacée par un circuit où les éléments parallèles sont en tête L ’équivalence peut être exacte à condition de modifier la valeur des éléments Attention : un transformateur idéal avec un rapport complexe ne conserve pas la puissance.

34. Circuit équivalent simplifié Il reste à regrouper les éléments série, après passage à travers le transformateur idéal, pour obtenir le circuit équivalent simplifé. Avec ainsi que Ce circuit n ’a que 6 paramètres.

35. Circuit équivalent simplifié (autre forme) On peut aussi regrouper les éléments série du côté du primaire. Avec ainsi que Ce circuit n ’a que 6 paramètres.

36. Caractéristique externe On cherche la relation entre U2 et I2 pour U1 fixé. Les phases de ne nous intéressent pas séparément. Leur écart de phase est imposé par la charge. U1 étant supposé connu, on prend comme modèle un équivalent de Thévenin (rigoureux seulement si le circuit équivalent est linéaire). Ne pas confondre Re avec R2 , ni Xe avec X2 .

37. Caractéristique externe (suite) On pose et . La solution peut prendre la forme du diagramme ci-dessous, qui est construit en prenant le courant secondaire comme référence de phase (diagramme de Kapp).

38. Caractéristique externe (suite) On pose I2cc = U2o / Ze , ce qui permet d ’écrire cette caractéristique sous la forme C ’est l ’équation d ’ellipses qui coupent les axes en x = 1 et y = 1 . Figure tracée pour je 58°

39. Pour une valeur donnée de I2 et de j2 , que vaut U2 ? Remarque : en présence de non linéarités, il faudrait en principe itérer en analysant le fonctionnement avec la valeur de U2 trouvée (cf. graphique vu précédemment), en en déduisant la valeur de E, donc une nouvelle valeur de l’impédance de magnétisation et finalement de nouvelles valeurs de E20 , Re et Xe . En pratique, si Ze << Zm , la correction n’est pas significative.

40. Formules approchées Comme signalé lors du cours précédent, on souhaite souvent que le transformateur se comporte de façon proche d’un transformateur idéal. Si on suppose que l’effet des éléments série et l’effet des éléments parallèle sont tous deux petits, il est possible de les étudier séparément. On pourra alors négliger les termes du « second ordre » et obtenir des expressions approchées plus simples.

41. Comportement de base : transformateur idéal • A quelles conditions le transformateur « réel » peut-il être étudié comme un transformateur idéal + des corrections faites séparément ? • Il faut que les effets des autres éléments du circuit équivalent soient « petits ». On peut examiner cette condition sur chaque type d’éléments séparément. Donc, conservation de la puissance active et réactive On a aussi une relation entre les « impédances »

42. Effet des éléments parallèle • On néglige les éléments série pour examiner l ’effet des éléments parallèle. Correction par rapport au cas idéal : L ’effet est faible si Im << I ’2 , ou de façon équivalente soit et

43. Effet des éléments série • On néglige les éléments parallèle pour cette discussion. On peut déplacer le transformateur idéal

44. Effet des éléments série (suite) • On a encore, en regroupant les éléments en série (Re et Xe ont été définis plus précisément précédemment). Correction par rapport au cas idéal : La correction est petite si soit R1 et X1 << k2 U2 / I2 et R2 et X2 << U2 / I2

45. Synthèse des conditions permettant d’utiliser les expressions approchées pour les éléments du circuit équivalent simplifié. ou On a alors pour les relations entre circuit équivalent de référence et circuit équivalent simplifié : Ces relations entraînent I2 << I2cc , de sorte que l’expression de la tension secondaire devient soit

46. Valeurs nominales Valeurs nominales = ce qui est inscrit sur la plaquette signalétique Tensions et courants nominaux sont toujours en valeur efficace. Les valeurs nominales correspondent à un fonctionnement normal du dispositif. Les caractéristiques sont spécifiées pour un fonctionnement aux grandeurs nominales. Tension primaire et fréquence nominales Souvent, U1N = 230 V fN = 50 Hz car cela correspond au réseau européen. Il faut absolument éviter une tension nettement supérieure à la tension nominale car le champ B dans le noyau dépend de la tension : U1 » w n1 S B . Un champ B trop grand entraîne une forte saturation magnétique, donc un échauffement du noyau par pertes magnétiques, mais surtout un courant magnétisant beaucoup trop grand, donc un courant primaire I1 grand (même si I2 faible), donc un échauffement du bobinage primaire dangereux. Le choix du rapport U1nom / n1 dépend du mode de fonctionnement prévu (continu, intermittent…), de la durée de vie et de considérations économiques (prix de revient, économies d ’énergie…).

47. Valeurs nominales (suite) Tension secondaire nominale Elle ne peut pas être choisie : les normes imposent que U2N soit la tension secondaire à vide, c ’est-à-dire lorsque I2 est nul et que U1 = U1N . Il ne faut pas confondre U2N et U2 utile cette dernière, utilisée surtout pour de très petits transformateurs, étant la tension à courant nominal sur charge résistive. Courant ou puissance secondaire Il ne faut pas dépasser pendant un temps trop long I2N car le courant I2 (et I1 qui croît avec I2 ) entraîne des pertes « par effet Joule » dans R1 et R2 , donc une montée de la température (avec un certain retard dû à l ’inertie thermique) et une réduction de la durée de vie. Les pertes Joule sont proportionnelles au carré du courant ! On spécifie souvent la puissance nominale au lieu du courant nominal. S2N = U2 N I2 N est une puissance apparente car ne peut préjuger du facteur de puissance ( cos j dans le cas sinusoïdal) de la charge. S2N est spécifié en VA (et non en W). On peut en déduire I2N .

48. Valeurs nominales (suite) Courant ou puissance primaire On ne les spécifie ordinairement pas. En effet, le comportement du transformateur étant proche du transformateur idéal, on considère habituellement que S1N = S2N = SN . Le courant primaire vaut alors I1N = SN / U1N . Pour que l’on puisse procéder ainsi, il faut évidemment que I0 << I1N et Ze I2N << U2N Ces relations peuvent s’écrire ou

49. Notion de courant de court-circuit nominal Le courant de court-circuit nominal d’un enroulement est le courant qui y circulerait dans cet enroulement si on le court-circuitait tout en appliquant à l’autre enroulement sa tension nominale. Le courant de court-circuit est habituellement beaucoup plus grand que le courant nominal : on ne peut donc pas le mesurer sans mettre en danger le transformateur. En fait, la donnée du courant de court-circuit revient à spécifier l’impédance série. On a (en négligeant les éléments parallèles) Ze = U2Nom / I2cc Nom Z’e = U1Nom / I1cc Nom

50. Notion de tension de court-circuit nominale On définit la tension de court-circuit nominale d’un enroulement comme la tension qu’il faut lui appliquer pour y faire circuler son courant nominal LORSQUE L’AUTRE ENROULEMENT EST COURT-CIRCUITE. On a normalement Ucc Nom << UNom Contrairement au courant de court-circuit, qui est normalement inaccessible sans mettre en danger le transformateur, la tension de court-circuit peut être appliquée sans danger. La donnée de la tension de court-circuit est une façon de spécifier l’impédance série, car on a par exemple (en négligeant les éléments parallèle) Ze = U2cc Nom / I2Nom