Differentialgleichungen

1. Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen die Variable x und eine unbekannte Funktion y, sowie deren Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung n, vorkommen. DGL 1. Ordnung, 1.Gerades DGL 2. Ordnung, 3.Gerades DGL 1. Ordnung, 2.Gerades Gelöst werden solche Differentialgleichungen durch Integration der einzelnen Teile. Lösung von 2 Beispielen: Beispiel I: Wie man leicht sieht kann man hier einfach zwei Mal die rechte Seite integrieren um auf das Ergebnis dieser Gleichung zu kommen. Durch die Additivität der Integrale kann man eine Funktion in mehrere Teile aufteilen und diese einzeln integrieren. Wie man hier sehr schön sieht entstehen durch n Integrationen auch n voneinander unabhängige Konstanten C. Dadurch hat eine Differentialgleichung keinen eindeutigen Wert als Lösung sondern immer Funktionsscharen. Beispiel II: a ist eine Konstante und P(x) ist ein Polynom mit keinem Teil unter dem 1. Grad (1) (2) Da dies eine inhomogene Differentialgleichung ist lösen wir vorerst die dazugehörige homogene DGL (3) (4) (5) (6) Um von der Lösung der homogenen DGL auf die endgültige Lösung zu kommen benutzen wir das Verfahren der Variation der Konstanten. (7) (8) Durch einsetzen von (7) und (8) in (1) erhält man: Und kann es vereinfachen zu: (9) (10) (11) (12) Nun hat man eine Funktion für die Konstante gefunden und erfüllt hiermit die inhomogene Gleichung. Man setzt nun (12) in (7) ein. (13) Differentialgleichungen werden oft in der Physik benötigt. Die wohl bekannteste Abhängigkeit ist die Abhängigkeit zwischen dem zurückgelegten Weg s, der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a. Es gilt: v=s' und a=s'' Zum Beispiel in der Schwingungslehre ergeben sich Differentialgleichungen die sowohl den Weg, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung beinhalten.

2. Ein Programm zum Lösen von Differentialgleichungen Das Programm besteht hauptsächlich aus drei Teilen: 1. Ein Teil in dem die Informationen einer Funktion gespeichert sind. 2. Eine Klasse die Methoden enthält die Funktionen integrieren. 3. Eine Klasse die zum Lösen von Differentialgleichungen dient. Beziehungen der Klassen: Klasse „integrale“ Diese Klasse enthält die Methoden, die das Integral einer Instanz der Klasse „funktion“ berechnet. Klasse „funktion“ Eine Instanz dieser Klasse beinhaltet die Daten einer Funktion. Sie berechnet auch die die y-Werte der Funktion. | Klasse „funktionsberechner“ (Applet) Dieses Applet greift auf die Klassen „differenzialgleichungen“ und „funktion“ zu. Sie speichert auch alle Funktionen als Pointer. Klasse „differenzialgleichungen“ Diese Klasse löst eine Differenzialgleichung und nutzt dabei Instanzen der Klasse „funktion“ Die Klasse “integrale.class” In dieser Klasse befinden sich Methoden für das Integral der e-Fkn, des Polynoms und der kosinus- und Sinusfunktion. Der Hauptteil dieser Klasse besteht aber aus der Methode “splitter”, die jede Funktion in die zuvor genannten Teile aufteilt , sie den entsprechenden Methoden übergibt und die Ergebnisse dann verkettet. Diese Methode erkennt auch wenn das Integral von zwei miteinander multiplizierten Funktionen gesucht wird wie zum Beispiel x*e^x. Dies wird dann partiell integriert. Als Ergebnis wird das unbestimmte Integral zurückgegeben, da die Methoden haben die Standartintegrale der einzelnen Funktionen nutzen. Diese Klasse enthält aber auch eine Methode, welche Polynome ableitet. Diese ist wichtig für die Integrale der Sinus-, Kosinus- und e-Funktion.

3. und Anzeigen der Lösungen als Funktionsscharen Die Klasse “funktion.class” Um mit einer Funktion die als normaler String eingegeben wird arbeiten zu können, muss der String erst einmal in die einzelnen Teile zerlegt werden. Dies wird von dieser klasse bewältigt. Bei der Zerlegung wird auch direkt jedem Element ein entsprechender Typ zugeordnet. Dies will ich an einem Beispiel verdeutlichen: Die Eingabe von 3.0*e^(x+2)+sin(PI*x) Die in der Typ-Zeile beinhalteten Daten vereinfachen später das ausrechnen einzelner y-Werte und erleichtern das integrieren. Eine Zahl wird durch eine 1 angedeutet, eine Addition und Subtraktion durch ein a, eine Multiplikation und eine Division durch ein m, Potenzen durch ein p, Klammern durch ein k und die Variable x, die Konstante C, ln, sin ,cos und tan jeweils durch ihren eigenen Namen. Beim Teilen der Funktion werden außerdem die einzelnen Klammern einander zugeordnet, ihre Position gespeichert und die Reihenfolge zum ausrechnen bestimmt. Außerdem wird die Anzahl und die Positionen der Variablen x und Konstanten C gespeichert. Zusätzlich wird die Funktion vereinfacht. 3*4*x^2 wird zu Beispiel zu 12*x^2 umgerechnet und 2*(1/2)*x wird zu x. Die Klasse “funktion.class” enthält zusätzlich noch mehrere Methoden die zum späteren bearbeiten einer Funktion nützlich sind, wie zum Beispiel Suchalgorithmen. Die Klasse “differenzialgleichungen“ Diese Klasse teilt eingegebene Differentialgleichungen so auf, dass die einzelnen Teile dann integriert werden können, und setzt die Ergebnisse wieder zusammen. In diesem Programm wurden bisher zwei Typen von Differenzialgleichungen realisiert. Die erste und einfachste ist natürlich: Bei dieser Differentialgleichung muss nur die Ordnung ermittelt werden und dann kann f(x) sooft integriert werden. Die zweite ist schon weitaus komplizierter. Es ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung: Durch das Verfahren der Variation der Konstanten kommt man auf eine allgemeine Lösung. Die einzelnen Teile müssen dann voneinander getrennt und verarbeitet werden.

4. Integrale Das Integral einer Funktion beschreibt die Fläche die zwischen der Funktion und der x-Achse ist. Die gegebene Funktion beschreibt wiederum die Steigung der Integralkurve zu jedem Punkt. Integrieren ist somit das Gegenstück zu ableiten. Beim integrieren erhält man aber nie eine eindeutige Lösung sonder eine Funktionsschar. Dies kann man damit begründen, dass mehrere Funktionen, die nur entlang der y-Achse verschoben sind für alle x die selbe Steigung haben und damit auch die selbe Ableitung. Diese beiden Bilder zeigen eine Funktionsschar (grün) und die dazugehörige Ableitung (blau). Wie man deutlich sehen kann haben alle grünen Funktionen in einem Bild die selbe Steigung sind aber nicht identisch. Tabelle der Grundintegrale Potenzen E-Fktn Trigonometrische Funktionen (k  -1 gamz, falls k<0: x  0 x  0