Teoria dei Sistemi

1. Teoria dei Sistemi Tutte le definizioni di sistema, date con sfumature un po’ diverse a secondo del campo di applicazione, mettono in rilievo soprattutto un aspetto: l’interdipendenza delle parti componenti che interagiscono esprimendo una realtà diversa da quella delle singole componenti. teoria dei sistemi

2. Analisi dei sistemi • Supponiamo di dover descrivere un sistema costruito da N elementi, avremo N(N-1) possibili relazioni tra di essi. D’altra parte ogni relazione può essere presente o assente determinando così una ulteriore diversificazione delle possibili configurazioni che in definitiva risultano pari a 2N(N-1). • È chiaro dunque che, non appena il numero degli elementi componenti supera le poche unità, risulta assai difficile, se non impossibile, tener conto di tutte le possibili configurazioni (stati) ottenibili. Dunque, realisticamente parlando, l’analisi di un sistema a molti componenti va eseguita tenendo conto delle interrelazioni fra questi, ma utilizzando opportuni modelli esemplificativi che riducono le numerose e complicate relazioni esistenti fra i componenti, in forme più analitiche più semplici, a poche variabili. teoria dei sistemi

3. Analisi dei sistemi Oltre al modello compartimentale, un approccio di analisi dei sistemi, soddisfacentemente utilizzato nelle applicazioni pratiche, è il metodo detto ingresso-uscitao analisi non compartimentale. teoria dei sistemi

4. Analisi dei sistemi Il metodo ingresso-uscita In tale approccio ci si limita a considerare il sistema come una “scatola nera” ignorando cioè tutte le parti interne che lo compongono e studiando tutte le modifiche che subisce uno certa variabile di uscita del sistema, in seguito alle variazioni di un’altra variabile posta al suo ingresso. • In questo modo si tiene conto implicitamente delle interazioni esistenti tra le parti componenti la “scatola nera” mediante lo studio delle modifiche apportate alla variabile di ingresso dalla loro complessiva azione. teoria dei sistemi

5. CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI • Causali • Deterministici, stocastici • Continui, discreti • Lineari • Stazionari teoria dei sistemi

6. Sistemi casuali • Un sistema è causale se la funzione di uscita dipende solo dai valori passati e presenti della funzione di ingresso. • L’enunciato di causalità sta a significare che, nei sistemi causali, l’effetto non precede mai la causa. • I sistemi casuali presentano particolare importanza nello studio delle realtà fisiche, biologiche, sociali, realtà in cui è universalmente accettato il principio di causalità. teoria dei sistemi

7. Sistemi deterministici, indeterministici o stocastici • Sono deterministici,quei sistemi nei quali le funzioni di uscita sono ben determinate nella forma. • Sono indeterministici o stocastici quei sistemi nei quali le funzioni di uscita sono variabili casuali teoria dei sistemi

8. Sistemi continui e discreti • Sono continui i sistemi descritti da variabili continue. • Sono discreti quei sistemi descritti da variabili discrete. teoria dei sistemi

9. Sistemi lineari • Se per due funzioni di ingressoX1(t) ed X2(t), applicate separatamente, le funzioni di uscita corrispondenti sono Y1(t) ed Y2(t) e se per una funzione di ingresso, che sia una combinazione lineare del tipo aX1(t)+bX2(t) , si ottiene una funzione di uscita del tipo aY1(t)+bY2(t) allora il sistema è lineare. X1(t) Y1(t) X2(t) Y2(t) aX1(t)+bX2(t) aY1(t)+bY2(t) La proprietà di linearità è conosciuta come principio di sovrapposizione degli effetti teoria dei sistemi

10. Sistemi stazionari • Un sistema è stazionario se ad una traslazione nel tempo della funzione di ingresso, corrisponde una traslazione nel tempo della funzione di uscita. • Se ad un sistema stazionario applichiamo una data funzione di ingresso X(t), otterremmo, conseguentemente, una funzione di uscita Y(t) la cui forma non dipende dal momento in cui stiamo eseguendo l’esperimento, ma dipende esclusivamente dalla forma di X(t). teoria dei sistemi

11. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO NEL DOMINIO DEL TEMPO • L’analisi delle funzioni di risposta di un sistema, rispetto a funzioni di ingresso speciali, porta a risultati di notevole utilità nelle applicazioni pratiche. • Una funzione speciale interessante è la funzione delta di Dirac indicata con il simbolo δ(t) ed assume i valori: • L’area sottesa da questa funzione e cioè è per definizione pari all’unità. la funzione traslata indicata con il simbolo δ(t- to) assume i valori: teoria dei sistemi

12. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO NEL DOMINIO DEL TEMPO • la funzione di uscita che si ottiene applicando all’ingresso del sistema uno δ(t) è detta funzione di trasferimento o risposta impulsiva ed è una fondamentale caratteristica del sistema. δ(t) H (t) δ(t) H (t) t t t teoria dei sistemi

13. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO NEL DOMINIO DEL TEMPO • Se il sistema è stazionario ad una traslazione della funzione di ingresso corrisponde una traslazione della funzione di uscita. t0 t t t0 Se il sistema è anche lineare, nel caso in cui l’ingresso vale a·δ(t) oppure a·δ(t-t0) , allora l’uscita vale; a·H(t) oppure a·H(t-t0), (la costante a è un numero reale). teoria dei sistemi

14. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO NEL DOMINIO DEL TEMPO • Quando si applica ad un sistema un ingresso impulsivo di arco unitario se ne ricava in uscita la curva di distribuzione delle età che è detta risposta impulsiva o funzione di trasferimento . • L’importanza della conoscenza della funzione di trasferimento H(t), di un sistema lineare e stazionario, sta nel fatto che, a partire da questa è possibile conoscere la risposta del sistema relativamente a qualsiasi altra funzione di ingresso ad esso applicabile. teoria dei sistemi

15. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO NEL DOMINIO DEL TEMPO • Analizziamo ora un qualsiasi ingresso come rappresentato in figura. Ci proponiamo di determinare la forma di una funzione di uscita Y(t) , a partire dalla conoscenza della funzione di trasferimento H(t) ( risposta impulsiva). Dividiamo l’asse dei tempi in n intervalli sufficientemente piccoli di durata Δt.Possiamo approssimare le aree dei rettangolini che suddividono la funzione generica di ingresso a tanti impulsi di Dirac (δ(t)) ma di area pari a X1(t1)· Δt, X2(t2)· Δt,...... Xn(tn)· Δt. Conseguentementeil generico impulso avrà la forma del tipo Xi(ti)· Δt· δ(t- ti). X(t) X(t) Y(t) Δt H(t) t1 t3 ti t teoria dei sistemi

16. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO NEL DOMINIO DEL TEMPO Poiché il generico impulso in ingresso avrà la forma del tipo: Xi(ti)·Δt·δ(t-ti) Allora applicando separatamente all’ingresso del sistema tale serie di impulsi, si avranno le seguenti uscite: Y1(t) = X(t1) · Δt· H ( t-t1 ) Y2(t) = X(t2) · Δt· H ( t-t2 ) Yn(t) = X(tn) · Δt· H ( t-tn ) Ciò perché il sistema è stazionario e dunque ad una traslazione degli impulsi di ingresso corrisponde semplicemente una traslazione delle funzioni di uscita. X(t) X(t) Y(t) Δt H(t) t1 t3 ti t teoria dei sistemi

17. Integrale di convoluzione” Qualora il sistema sia lineare si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti quindi sommando membro a membro si ottiene: Yn(t) = X(ti) · H( t – ti ) · Δt Infine, facendo tendere Δt a zero si ottiene: Y( t ) = X(t) · H( t – t) · Δt Questo integrale è conosciuto come “Integrale di convoluzione” X(t) Y(t) H(t) teoria dei sistemi

18. Integrale di convoluzione” • In conclusione l’integrale di convoluzione permette di calcolare l’uscita del tracciante a partire dall’ingresso, qualunque esso sia, purchè sia nota la risposta impulsiva del tracciante e si indica con il simbolo seguente Da notare che la variabile t, che figura entro il segnodi integrale, è interna all’intervallo (0 ÷ t), per cui una volta eseguita l’integrazione sopravvive solo la variabile t. L’operazione di convoluzione è definita anche tra più di due funzioni e gode delle utili proprietà commutativa e associativa, infatti: teoria dei sistemi

19. Deconvoluzione • Spesso nelle applicazioni pratiche le funzioni note sono l’ingresso X(t) e l’uscita Y(t) e si richieda di determinare la funzione di trasferimento H(t) del sistema. • In questo caso occorre risolvere l’equazione integrale Y( t ) = X(t) · H( t – t) · Δt • oppure, come si dice più propriamente operare una deconvoluzione. • Le modalità utilizzate per eseguire tale operazione sono : • metodi iterativi, montecarlo, uso delle trasformate di Fourier o delle trasformate di Laplace. teoria dei sistemi

20. Deconvoluzione e trasormate di Fourier e Laplace • Le trasformate di fourier possiedono proprietà utili alla risoluzione di equazioni integrali di convoluzione. • Supponiamo di avere una convoluzione del tipo: Y(X) = F(X) G(X) (*) Facendo la trasformata di Fourier membro a membro si ottiene: Y(w) = F(w) · G(w) In altri termini la trasformata di Fourier di una convoluzione è uguale al prodotto delle trasformate delle funzioni convoluenti. Questa proprietà vale, in modo formalmente identico per le trasformate di Laplace, infatti trasformando la (*) secondo Laplace si ottiene: Y(S) = F(S) · G(S) dove S è la variabile complessa di Laplace. teoria dei sistemi

21. Deconvoluzione e trasormate di Fourier e Laplace • Per operare una deconvoluzione si possono sfruttare le proprietà delle trasformate di Fourier e di Laplace. • Per esempio volendo ricavare dalla equazione Y(X) = F(X) G(X) la funzione G(X) (che figura sotto il segno di integrale) note F(X) e Y(X) si trasforma secondo Fourier ( o Laplace) ottenendo Y(w) = F(w) · G(w) dopodichè si ricava : G(w) = Y(W) / F(w) e infine si antitrasforma la G(w) e si ricava G(X) teoria dei sistemi

22. Analisi del renogramma Perquantificare le informazioni estraibili da un renogramma, il rene può essere considerato un sistema lineare e stazionario; in tale ipotesi la funzione di ingresso I(t) coincide con quella di scomparsa ematica. La curva di scomparsa ematica è relativa alla scomparsa dal sangue del tracciante radioattivo iniettato con bolo rapido può essere ottenuta acquisendo l’andamento dei conteggi nel tempo dalla regione cardiaca. La funzione di uscita R(t) è il renogramma stesso e si ottiene acquisendo l’andamento nel tempo dei conteggi ottenuti sulla regione renale. I(t) R(t) t t Rene t H(t) R(t) I(t) teoria dei sistemi

23. Analisi del renogramma Poiché il legame esistente tra la funzione di uscita, la funzione di ingresso e la funzione di trasferimento renale è quello di un integrale di convoluzione (valido per i sistemi lineari e stazionari), R(t) = I(t) H(t) per ricavare la funzione di trasferimento H(t) possiamo procedere eseguendo la trasformata di Fourier membro a membro, cioè R(w) = I(w) H(t) Quindi si estrae H(w) = R(w) / I(w) e infine si antitrasforma per avere H(t). I(t) R(t) t t Rene t H(t) R(t) I(t) teoria dei sistemi