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离散数学. 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 10. 第四章 一阶谓词逻辑. 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 1. 谓词公式的赋值: 在谓词公式中常包含命题变元和个体变元,当个体变元由确定的个体所取代,命题变元用确定的命题所取代时,就称作对谓词公式赋值。 一个谓词公式经过赋值以后,就成为具有确定真值 T 或 F 的命题。. 第四章 一阶谓词逻辑. 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念
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离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 10
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 1. 谓词公式的赋值: 在谓词公式中常包含命题变元和个体变元,当个体变元由确定的个体所取代,命题变元用确定的命题所取代时,就称作对谓词公式赋值。 一个谓词公式经过赋值以后,就成为具有确定真值 T 或 F 的命题。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 2. 谓词公式的等价: (1)A 与 B 在 E 上等价: 定义 :设 A , B 是两个谓词公式,E 是它们共同的个体域。若对 A , B 中每个命题变元都用任意确定的命题同时取代,每个客体变元都用 E 中任意的个体同时取代,若公式 A , B 经取代后所得到的命题都具有相同的真值,则称谓词公式 A 和 B 在 E 上等价。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 2. 谓词公式的等价: (2)A 与 B 等价: 定义 :设 A , B 是两个谓词公式,如果在任一个体域上 A 和 B 都等价,则称 A 和 B 等价,记作 。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 : (1)A 在 E 上永真: 定义 :设 A 是谓词公式,E 是它的个体域。若对 A 中的每个命题变元用任意确定的命题取代,每个个体变元用任意确定的 E 中的个体所取代后所得的命题真值都是 T ,则称公式 A 在 E 上是永真的。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 : (2)A 永真: 定义 :设 A 是谓词公式,如果 A 在任意个体域上都是永真的,则称 A 是永真的。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 : (3) A 在 E 上可满足: 定义 :设 A 是谓词公式,如果存在一个体域 E ,在 E 中有一组个体,且存在一组命题变元的真值指派,经取代后能使 A 的真值为 T ,则称 A 是可满足的。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 : (4) A 在 E 上永假: 定义 :设 A 是谓词公式,若 A 在个体域 E 上是不可满足的,则称 A 在 E 上是永假的。 (5) A 永假: 定义 :设 A 是谓词公式,如果 A 在任意个体域上都是永假的,则称 A 是永假的。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 4.谓词公式的蕴涵: (1)在 E 上 A 蕴涵 B : 定义 :设 A , B 是谓词公式,E是它们共同的个体域,若 在 E 上是永真式,则称在 E 上 A 蕴涵 B 。 (2) A 蕴涵 B : 定义 : 设 A , B 是谓词公式,若 是永真式,则称 A 蕴含 B , 记作 。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 1. 代换实例: 设 A 是含命题变项 的命题公式, 是 n 个谓词公式,用 处处代换 ,所得公式 B 称为 A 的代换实例。
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 1. 代换实例: (1)如果 ,那么, ; (2)如果 ,那么, ; 例:
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 2. 消去量词等值式: 设个体域为有限域 , 则 (1) (2)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 3. 量词否定等值式: 设 是任意的含有自由出现个体变项 x 的公式, 则 (1) (2)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式: 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式, B 中不含 x 的出现,则 (1) (2)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式: 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式, B 中不含 x 的出现,则 (3) (4)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式: 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式, B 中不含 x 的出现,则 (5) (6)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式: 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式, B 中不含 x 的出现,则 (7) (8)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 5. 量词分配等值式: 设 是任意的含有自由出现个体变项 x 的公式, 则 (1) (2)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 6. 量词交换等值式: 设 是任意的含有自由出现个体变项 x , y 的谓词公式, 则 (1) (2)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 三、蕴涵式 1. 命题逻辑推理定律的代换实例: 2. 由等值式生成的两个蕴涵式: 3. 两个推理定律: (1) (2)
第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 三、蕴涵式 3. 思考另两个推理定律是否成立? (3) (4)
第四章 一阶谓词逻辑 4.6 前束范式 一、前束范式定义 定义:设 A 为一阶谓词逻辑公式,若 A 具有如下形式 则称 A 为前束范式,其中 为 或 ,B 为不含量词且不出现联结词 和 的公式。如果 B 为析取范式(合取范式),称该前束范式为前束析取范式(合取范式)。
第四章 一阶谓词逻辑 4.6 前束范式 二、前束范式存在定理 1. 定理:一阶谓词逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。 2. 前束范式的化归过程: (1)消除除了 之外的联结词; (2)将否定词 移到量词符号后; (3)换名,使各变元不同名; (4)扩大量词的辖域使所有量词处在最前面。 例:
第四章 一阶谓词逻辑 作业:P110—P111, 习题四 4.6 、4.9、4.10、 4.13(1)(2) • 预习:第5章