1. 第 三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器 的设计方法(共10学时) • 3.1 IIR滤波器设计（两种方法） • 3.2 模拟滤波器到数滤波器转换 • 3.3 模拟低通到各种数字滤波器的频率变换 • 3.4 数字低通到各种数字滤波器的频率变换

2. 本章重点 • 理解数字滤波器的基本概念、设计内容及方法 • 掌握脉冲响应不变法设计IIR滤波器 • 掌握双线性变换法设计IIR滤波器 • 了解Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 • 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换。 • 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换

3. 引言 • 1、数字滤波器的定义 • 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不变系统，用于完成对信号的滤波处理 。 低频系列滤波器

4. 说明： 1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 2）数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 3）数字滤波器——线性时不变系统，输入输出均为数字信号

5. 2 分类 • 1）经典滤波器从功能上分可分为： 低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog/digital filter 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog/digital filter 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog/digital filter 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog/digital filter 全通滤波器(ABAF/ASDF):All pass analog/digital filter • 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。

6. LPAF HPAF BPAF BSAF 模拟滤波器的理想幅频特性

7. w j H (e ) 低通 ( a ) p p p p w －2 － o 2 w j H (e ) 高通 ( b ) w p p o p p －2 － 2 w j H (e ) 带通 ( c ) w p p o p p －2 － 2 w j H (e ) 带阻 ( d ) w p p o p p －2 － 2 数字滤波器的理想幅频特性 数字滤波器的理想幅频特性

8. 2）现代滤波器 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。 本课程主要讲经典滤波器。

9. 3）根据单位脉冲响应h(n)的时宽，即列长分为：3）根据单位脉冲响应h(n)的时宽，即列长分为： • IIR：Infinite impulse Response, 即无限长度单位脉冲响应滤波器 • FIR：Definite impulse Response, 即有限长度单位脉冲响应滤波器

10. 4）根据实现的方法分 • 递归型，IIR一般为递归型 • 非递归型，一般FIR除频率取样设计方法外

11. --通带截止频率 --阻带截止频率 - --过渡带 3、数字滤波器DF的性能要求（低通为例） 通带 过渡带 阻带 π ω 0

12. 技术指标： 在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即 |ω|≤ωp 在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即 ωs≤|ω|≤π

13. 技术指标： 理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近。

14. 4、IIR数字滤波器DF设计内容 1）按任务要求确定Filter的性能指标； 2）用IIR系统函数去逼近这一性能要求； 3）选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4）用软件还是用硬件实现 即为求滤波器的各系数：

15. 5 IIR数字滤波器的设计方法 IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：  1. 借助模拟filter的设计方法 1）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。

16. 2）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； 3）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的系统函数 ； 将 4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通的技术指标。（本章主要讨论）

17. 2. 最优化设计法 第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系统函数的系数。 例如，选择最小均方误差准则,最大误差最小准则等。它是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计出的实际频率响应幅度|H(ejω)|与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ejω)|的均方误差ε最小。

18. 第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak, bk。一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk，分别计算ε; 最后，找到使ε为最小时的一组系数ak, bk，从而完成设计。这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。

19. 3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。这样根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。

20. 设计思想： s 平面 z 平面，即模拟系统频响与数字系统的频响之间的映射 1）H(z) 的频率响应要与 Ha(s) 的频率响应保持一致，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆上。 2）因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1

21. 设计方法： - 1、脉冲响应不变法 2、双线性变换法

22. 3.1.1 脉冲响应不变法 • 1、变换原理： • 使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)逼近模拟滤波器的冲激响应 ,让h(n)等于 的采样值，即

24. 总结：用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程：总结：用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程： 1、根据设计要求，设定指标。 2、将数字滤波器性能指标变换为模拟滤波器的性能指标。 3、设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s) 。 4、将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用变换关系公式设计出H(z) 。 • 极点：s 平面 z 平面 • 系数相同：

25. 习题3.1

26. 2、映射关系

31. 3、混叠失真 可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： 仅当 数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器 的频响而不产生混迭失真：

32. 0 • 实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小

33. 将一个具有如下系统函数 的滤波器的频率响应。 解： 例

34. 模拟滤波器的频率响应为:

35. 数字滤波器的频率响应为: 与采样间隔T有关,如图T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计?

36. 总结

37. Matlab程序 • %巴特沃思滤波器 • [B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); • %[b,a] = butter(n,Wn,‘s’)，n为滤波器的阶数Wn为边界频率，按s的降幂排列 • %脉冲响应不变法 • [num1,den1]=impinvar(B,A,4000);%4000为采样频率 • [h1,w]=freqz(num1,den1); • [B,A]=butter(3,2/0.00025,'s');%2/0.00025预畸变模拟滤波器边界频率 • [num2,den2]=bilinear(B,A,4000);%双线性法 • [h2,w]=freqz(num2,den2); • f=w/pi*2000; • plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); • grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值/dB');

40. 3.1.2 双线性变换法 当用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。这是因为从s平面到z平面不是一一映射关系。为了克 服混叠失真，可采用双线性变换法。

41. 1、变换原理 在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：

42. 2、映射关系

45. 设有一模拟滤波器 抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 解： 由变换公式 及 ，可得 ， 习题3.4

46. 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

47. 2、数字角频率和模拟角频率之间的变换关系

50. 4、频率的非线性失真 • 从以上 分析可见，虽然双线性变换法避免了混叠失真，却带来了非线性的频率失真。即在零频附近， Ω与 ω之间的变换关系近似于线性，随着 Ω的增加， 表现出严重 非线性 。因此，DF的幅频响应 相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。