レプリカ法と線型計画法に見る 無限小と無限大

1. 表紙 レプリカ法と線型計画法に見る 無限小と無限大 奈良女子大学理学部 角田秀一郎

2. 計画法 線型計画法の作成する点列を使ったカオスの構成 （佐伯祐子との共同研究） 単体法における退化現象の回避---- 1．背理法：矛盾に持ち込む方法 2．無限小を使うやり方 一方，境界を探索していく単体法に対して， 80年代中頃から内点法が脚光を浴び，双対内点法と進化していく（ホットな分野） 単体法と双対内点法を ミックスさせる 最適解

3. 問題 原型：単体法の退化現象と無限小による回避 線型計画問題 + ベクトル 行列

4. 双対 双対内点法の統一的扱い 記号 … …

5. 解の改善 から 実行可能解 により，あらたな実行可能解 は適当な実数

6. ベクトル 列ベクトル　　に対して， ベクトル　　　　　　　　　を で定義すると， が成り立つ（佐伯）． 　　は M の， は N の列ベクトル これを使って解の収束等の評価を行う．

7. 無限小 無限小の導入 ここで場合が分かれる． の成分に 0 が少ないときεに無関係に解が移動 の成分に 0 が多いとき解はεのオーダーでのみ変化 より具体的には によって決まる．

8. 点の動き 点列とプロセス はじめは内点を移動し，境界に到達する．しばらく 境界上を移動して，次に動かなくなる．しばらくそ のまま．突然，内点方向に飛び出す．以上のプロセ スを繰り返す． このように，内点ではεは 点列には影響しないが， εオーダーの違いは境界に 行ったとき本質的となる． 飛び出すタイミングの 評価はできるが，決定は できない．

9. ♪ 最悪のケースと♪の導入 のとき，εオーダーで改善されていき， εオーダーで元の よりも改善されることが分かる． これ以降，εに小さい数を代入すれば，いつでも よりも良い解が得られる． εのままであれば，そのまま． そこでnとは書けない大きな自然数 を導入する． これによって通常の「数 」だけ改良されるとしてよい．

10. まとめ 前半のまとめ このカオス的点列が境界から飛び出す瞬間が存在するのは 前の評価を使ってできるが，いつかは原理的に確定できない． 「存在定理」があるのみ． 漸化式は内部でも境界でもひとつの式で書け， の導入により ひとつの操作を行うだけとなる． 計画法の解法としても　　　　を適切にとってやれば，多項式 オーダーで収束し，かつ，厳密解を得ることになる．

11. レプリカ レプリカ法とParisi解の無限小 分配関数Zの計算：lnZは難しいが，　　は計算できることがある．そこで式 を参考に とするのをレプリカ法という．ただし，自然数 n だけで定義されたものに０を代入するので，そのままでは数学的裏付けはない．

12. Parisi解 レプリカ法 　　：ランダム変数（の集まり） であるが，レプリカ法では 　　　　　　　　のあと となり，順序交換が問題となる． さらにレプリカ法にはParisi解という面白い解がある． 今日の話は，Parisi解を正当化する体系を作り，それを元にレプリカ法を 再構成すること． 由緒正しき方法は解析接続すること．しかし，いまの場合，解析接続の 前に関数自体を決定することが先決．

13. 対称解 レプリカ対称解：鞍点での値がレプリカ指標によらない解 としたのがレプリカ対称解 対称解以外で知られているのはParisi解のみ

14. Parisi解2 はすべての成分1 2ステップ目 以下同様に無限回 繰り返す は　　の約数，．．．　　　　　を無限大にする． この大小を反転させる… (　　　 とするとき)

15. 無限小 無限小＝無限大の枠組み は十分大きな素数で　　　　　の形

16. 解説 　　　　と　　　　を両立させることができる．　　無限大は 多項式関係に強い数式処理ソフトの中には大きな素数を０とする ものがある．当然，大きな数を扱う場合バグが出やすい． そこを逆に積極的に使う． レプリカ法はシミュレーションと矛盾がない．これを「大きな」 素数の存在によって説明できるかもしれない． シミュレーションはレプリカ法を使っているわけではないが， 計算機での実際の数値計算で「意図せず」大きな素体での計算 をしているかもしれない． これを実証できると面白い．

17. ♪2 　　　　とするためには p を有限のまま無限大にしなければならない． pを n とは書けないが有限の「素数 」に極限する． このとき k を「無限大」に飛ばすことができる． 上の議論が気に入らない人はあくまで近似のみを考えれば良い． しかし，それは実数を認めず，あくまで有理数ですべてを考える ことに等しい．

18. 形式解 形式的Parisi解 Parisi解では　　のみ変数． も二重性をもつようにすると 新しい解が得られるか． 　　　はmodとしては不変だが，そのまま自然数で考えると変数と することは可能． 　　　　　　　で では積分が発散するが，　　では収束するようにできる．その上でParisi解とは異なる形で0に極限する． この方法で，通常の有限の解となり，かつ，Parisi解と異なるも のが得られるかどうか不明．

19. 可換性 N と n の順序交換の問題 を計算するとき，まずnを無限大にする．このとき，被積分 関数の n のある種のオーダーが有限となれば，N との順序交換は 可能となる．レプリカ対称解やParisi解はそうなっている． したがって，この交換問題は n の二重性を考慮することで解決するもの と思われる．

20. まとめ2 後半のまとめ Parisi解を中心にしてレプリカ法を再考察 「変数」の「解析接続」 変数の二重性を使用（1点のみに解析接続） Parisi解とレプリカ法をある程度説明できる． 課題：形式的Parisi解のようなあらたな解が構成できるか．

21. replica1

22. replica2

23. 形式Parisi たとえば， こんな形．kでは収束せず，nでは収束． 最後にn=0に解析接続．