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 C 為直角

一、三角形面積公式. 1. 三角形面積公式：. A. A. A. b. b. b. B. H. C. C. B. B. a. a. a. H. C.  C 為直角.  C 為鈍角.  C 為銳角. 說明： 由上圖知：  ABC 的高都等於 b sinC. 本段結束. 2. 範例： 求下列各三角形的面積。. 解：. = 20 。. Let’s do an exercise !. 馬上練習：求下列各三角形的面積。. 解：. = 21 。. ＃.

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 C 為直角

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Presentation Transcript

  1. 一、三角形面積公式 1. 三角形面積公式： A A A b b b B H C C B B a a a H C C 為直角 C 為鈍角 C 為銳角 說明：由上圖知：ABC 的高都等於 bsinC 本段結束

  2. 2. 範例：求下列各三角形的面積。 解： = 20。 Let’s do an exercise ! 馬上練習：求下列各三角形的面積。 解： = 21。 ＃

  3. 3. 範例：如圖所示，已知 ABC 兩邊長為 a = 4，b = 12， 且 BCA = 120， C 12 60 4 60 k A B D 解： 24 = 2k+ 6k， 故所求 k= 3。 Let’s do an exercise !

  4. 馬上練習：如圖所示，已知 ABC 一邊長為 c = 12 且 BAC = 120， A x 12 8 B C D 解： 6x = 48 + 4x， 故所求 x = 24。 ＃

  5. D 4. 四邊形的面積：設  為四邊形 ABCD 之 A v x P  y 180 u C B 證明：四邊形 ABCD面積 = PAB + PBC + PCD + PDA 注意：若四邊形 ABCD 的對角線 ＃

  6. 二、正弦定理 1. 正弦定理： 其中 R 為 ABC 外接圓半徑。 說明： A A A C A a B O O C B 2R O a=2R A 2R C B a A是銳角 A是鈍角 A是直角 注意： a：b：c= 2RsinA：2RsinB：2RsinC=sinA: sinB: sinC。 ＃

  7. 2. 範例：如圖，求 x，y 的值與  ABC 的外接圓半徑。 A 45 解： =2R x y 60 75 C B  外接圓半徑 R = 1。 又 2R = 2 Let’s do an exercise !

  8. 馬上練習. ABC 中，已知 A = 30， 解： C 90 4 60 30 A B c 8 C 30 4 120 30 A c 4 B ＃

  9. sinA＜sinB，且 sinA 與 sinB 3. 範例： 求 ABC 的外接圓半徑。 解： =2R Let’s do an exercise !

  10. 馬上練習：設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8。已知外接圓 <102學測> A 解： 2 O 8  7  B C = 16 ＃

  11. 4. 範例：以 O 表坐標平面的原點。給定一點 A(4, 3)， 而點 B(x, 0) 在正 x 軸上變動。 求△OAB中兩邊長比值 <95數甲> A(4, 3) 解：由正弦定理得 5  O B(x, 0) x ＃

  12. 三、餘弦定理 1. 餘弦定理： y y y C(bcosA , bsinA) C(bcosA , bsinA) C(bcosA , bsinA) a a b a b b x x x c c c A A A B(c,0) B(c,0) B(c,0) A為銳角 A為直角 A為鈍角 To be continued  注 意

  13. 注意：(1) A = 90(直角三角形 ) 時，cos A= 0 也就是說：畢氏定理為餘弦定理的特例。 (2) A > 90(鈍角三角形 ) 時，cos A< 0 (3) A < 90(若A為最大角銳角三角形 ) 時，cos A> 0 本段結束

  14. 2. 範例：求下各圖中的 x 值。 A (2) A (1) x 5 2 3 x 60 C C B B 4 7 解： x= 120。 ＃

  15. 3. 範例： A 解： 13 7 x C B 8 D 7 Let’s do an exercise !

  16. 馬上練習：四邊形 ABCD 中， 解：DAB = BCD= 90 D  ABCD 為圓內接四邊形 5 B + D= 180。 7 C x A 5 1 B ＃

  17. 4. 範例：在 ABC 中， 求 ABC 的最大、最小角的度數。 解： 最大角 B = 120。 最小角 A = C = 30。 Let’s do an exercise !

  18. 馬上練習. 在 ABC 中，已知 (b + c)：(c + a)：(a + b) = 6：5：4， 求 (1) sinA：sinB：sinC。 (2) ABC 中的最大角。 a+ b= 4k， c+ a = 5k， 解：(1) 令 b+ c = 6k， sinA：sinB：sinC=a：b：c = 3：5：7。 (2) 令 a = 3r，b = 5r，c = 7r， C = 120。 ＃

  19. 若 □ABDE、□ACFG 5. 範例： 均為正方形， G 解： 6 A E F 5  6 5 C D 4 B ＃

  20. 四、正餘弦定理的應用 1. 海龍公式：設 ABC 的三邊長為 a，b 和 c， 證明： ABC 的面積 Let’s do an exercise !

  21. 海龍公式：設 ABC 的三邊長為 a，b 和 c， 馬上練習： 求 ABC 其面積。 解： 本段結束

  22. 2. 平行四邊形定理： 平行四邊形的二對角線長的平方和等於四邊平方和。 證明： a D C b b A B a = 2a2 + 2b2 。 Let’s do an exercise !

  23. 平行四邊形定理： a D C 平行四邊形的二對角線長的平方和 b b 等於四邊平方和。 A B a 馬上練習： A 6 4 解： x D C B 8 x 4 (2x)2 + 82 = 2(42 + 62) 6 ＃ E

  24. 3. 角平分線： 證明： A (角平分線任一點到角的兩邊等距離) o o P h Q h C B D A o o P o o B C E 本段結束

  25. 4.範例： 解： A   6 4 x C B 2 D 3 Let’s do an exercise !

  26. 馬上練習：ABC 中，若A 之外角平分線交直線 BC 於 E， A 解：   10 x = 2：1 。 5 B C E 7 7 ＃

  27. 5. 範例：在 ABC 中， <101數甲> 解： A 7k 5k 60 B C D 5 7 ＃

  28. 6. 範例： 求 ABC 的面積。 C 解： 3k b a 2k 3 F A B c 4k ＃

  29. 7. 範例： 使得 APQ之面積 為 ABC 面積之一半， < 98學測 > 解： C 9 Q y  A B x P 10 ∵ 算幾不等式 本 節 結 束

  30. 馬上練習：如右圖，ABCD 為圓內接四邊形。 若DBC = 30，ABD = 45， 解：DAC = DBC = 30， A D 30 ACD = ABD = 45， 6 45 C 45 30 B ＃

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