Chương 2: Quy hoạch tuyến tính

1. Chương 2: Quy hoạch tuyến tính • Viết tắt: QHTT • Bài toán tối ưu hóa • Áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực hoạt động và kinh doanh • Sử dụng toán học, máy tính giải quyết được mô hình • Hỗ trợ trong hoạt động kinh doanh hiệu quả

2. Một số ví dụ • Ví dụ bài toán quảng cáo (VD1) • Quảng cáo trên truyền hình dài nhất là 4p • Quảng cáo trên đài ít nhất là 5p • Quảng cáo trên đài mất 80000đ/p • Quảng cáo trên truyền hình 400000đ/p • Hiệu quả của quảng cáo truyền hình so với đài là 6 lần • Chi phí tối đa cho phép: 1600000đ

3. Một số ví dụ • Ví dụ bài toán quảng cáo • x1: số phút quảng cáo trên đài • x2: số phút quảng cáo trên truyền hình • x1 + 6x2 max • 80000x1+400000x2≤1600000 • x1≥5, x1≥0 • x2≥0, x2≤4

4. Một số ví dụ • Bài toán vận tải (VD2) • Công ty có 3 địa điểm bán lẻ: A, B, C • Công ty có hai tổng kho, I, II • Lượng xăng trong kho: • I:20, • II:40 • Lượng xăng tiêu thụ tại điểm bán lẻ • A: 20 • B: 15 • C: 15

5. Một số ví dụ • Bài toán vận tải • Chi phí vận chuyển

6. Một số ví dụ • Bài toán vận tải (VD2) • x1A+x2A=20 • x1B+x2B=15 • x1C+x2C=15 • x1A+x1B+x1C≤20 • x2A+x2B+x2C≤40 • 500x1A + 400x1B + 700x1C + 600x2A + 500x2B + 500x2C min • x1A, x1B,x1C,x2A,x2B,x2C≥0

7. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 1. Bài toán tổng quát • Xác định vector x=(x1, …, xn)

8. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 1. Bài toán tổng quát • x=(x1, …, xn): nghiệm bài toán • aij, bi, cj (i=1.m, j=1.n) là các hằng số (tham số) Các ràng buộc của bài toán có thể là chọn (=, ≥, ≤)

9. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Các khái niệm • f(x): hàm mục tiêu • Hệ 1.2 gọi là hệ ràng buộc • Nhóm ràng buộc độc lập tuyến tính (các ràng buộc trong 1.2 độc lập tuyến tính) • A*j vector hàng của một nhóm ràng buộc độc lập tuyến tính • A: ma trận các vector ràng buộc (không tính ràng buộc dấu) • Ai vector cột của A

10. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Các khái niệm • x=(x1,…,xn) thỏa mãn điều kiện bài toán gọi là một phương án • Phương án tối ưu: là hàm f(x) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) • Phương án tốt hơn: • Min: f(x1)≤f(x2), x1 tốt hơn x2 • Max: f(x1)≥f(x2), x1 tốt hơn x2 • Thỏa mãn chặt là thỏa mãn theo dấu = • Phương án cực biên: phương án thỏa mãn chặt m ràng buộc độc lập tuyến tính

11. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Ví dụ • f(x)=x1 + 6x2 max • 80000x1+400000x2≤1600000 • x1≥5, x1≥0 • x2≥0, x2≤4 • xA=(5,3), xB=(5,0), xC=(20,0), xD=(6,1) • f(x): hàm mục tiêu • xA, xB, xC, xD: là các phương án • xA, xB, xC: là các phương án cực biên

12. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Ví dụ • f(xA)=5 + 6*3 =23 • f(xD)=6 + 6*1 =12 • Phương án xA tốt hơn phương án xD

13. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Ví dụ

14. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 2. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc a. Dạng chuẩn

15. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính b. Dạng chính tắc

16. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính c. Chuẩn đổi giữa các dạng min -> max Chuyển về dạng Xây dựng fd(x)=-f(x)

17. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính c. Chuẩn đổi giữa các dạng ≥ về dạng ≤

18. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính c. Chuẩn đổi giữa các dạng = về dạng ≤

19. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính c. Chuyển đổi giữa các dạng, biến không ràng buộc về có ràng buộc

20. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính c. Chuẩn đổi giữa các dạng ≤ về dạng =

21. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 2. Giải bài toán theo phương pháp hình học • Bài toán dạng chuẩn với hai biến số c1x1 + c2x2 max (1) ai1x1+ai2x2 ≤ bi, i=1,m (2) xj ≥ 0, j=1,2 (3) Từ ý nghĩa hình học cho thấy: dễ thấy, mỗi phương trình ai1x1+ai2x2 ≤ bi, i=1,m xác định một nửa mặt phẳng. Miền ràng buộc xác định một đa diện lồi trên mặt phẳng

22. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 2. Giải bài toán theo phương pháp hình học Xét c1x1 + c2x2 = , đây là một đường thẳng, được gọi là đường mức. Xét các điểm xk(xk1,xk2) thuộc đường mức , và tập đa diện lồi D (được xác định theo 2,3) sẽ có giá trị c1x1 + c2x2 =  Vậy bài toán trở thành bài toán tìm đường mức cắt D có giá trị  là lớn nhất Xây dựng những đường mức song song, dịch chuyển theo phương pháp tuyến

23. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 2. Giải bài toán theo phương pháp hình học Giá trị  thay đổi, ta dịch chuyển về phía  có xu hướng tăng. Đương mức cuối cùng sẽ là giá trị cực đại

24. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Ví dụ giải theo phương pháp hình học • f(x)=4x1 + 5x2 max • 2x1+x2≤8 • x1+2x2≤7 • x2≤3 • x1≥0 • x2≥0 Xây dựng hệ trục tọa độ và các đường mức

25. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Ví dụ

26. Ví dụ giải theo phương pháp hình học Đường 4x1+5x2= =22 đi qua điểm C(3,2) là điểm đường mức có giá trị lớn nhất  Hàm tối ưu tại điểm C(3,2), giá trị cực đại là f(c)=22 I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 26

27. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Vídụgiảitheophươngpháphìnhhọc • f(x) = 8x1 + 6x2→ Max • 4x1 + 2x2 ≤ 60 • 2x1 + 4x2≤ 48 • x1, x2≥ 0 Xâydựngtậptọa x1, x2tốiưu 1. Tiếnhànhxâydựngmiềnràngbuộc

28. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Vídụ

29. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Vídụgiảitheophươngpháphìnhhọc • Trongmiền (OABC) tatìmđiểm (x1, x2) saocho • f(x) = 8x1 + 6x2 đạtgiátrịlớnnhất. 2. Xâydựngcácđườngmức • f(x) = 8x1 + 6x2 =  • Xétcácgiátrị: •  = 24 •  = 48

30. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Vídụ

31. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Vídụgiảitheophươngpháphìnhhọc • Tịnhtiếntheo vector pháptuyến: n(8, 6) thìgiátrịcủađườngmứctănglên • Tiếptụctasẽthấyđườngthẳngđi qua điểm B(12,6) làđườngthẳngcóđườngmứccaonhất •  = 8 × 12 + 6 × 6 = 132

32. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Một số nhận xét phương pháp hình học • Nếu có phương án tối ưu thì ít nhất một đỉnh là tối ưu (có thể có nhiều hơn 1 đỉnh) • Miền ràng buộc giới nội, khác rỗng thì có phương án tối ưu • Miền ràng buộc không giới nội, nhưng chặn trên cũng có phương án tối ưu

33. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính • Sử dụng phương pháp so sánh điểm • Giải bằng cách so sánh các điểm đỉnh (cực biên) • tại O(0, 0): f(0, 0) = 0; • tại A(0, 12): f(0, 12) = 72; • tại C(15,0): f(15, 0) = 120; • tại B(12, 6): f(12, 6) = 132 • Max{f(O), f(A), f(B), f(C)} =132. • Vậy fmax = 132

34. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 3. Giải quyết bài toán chính tắc • Định lý 1: Phương án x của bài toán dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các vector {Aj} tương ứng với các thành phần dương với các phương án là độc lập tuyến tính

35. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 3. Giải quyết bài toán chính tắc • f(x)=x1+4x2+6x3 max • 3x1+4x2+4x3=10 • -x1+x2+x3=-1 • Vector x=(2,1,0) là một phương án cực biên Vì x1=2, x2=1 là khác 0 nên xét Độc lập tuyến tính, vậy x là phương án cực biên

36. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 3. Giải quyết bài toán chính tắc • Định nghĩa: một hệ m vector {Aj} độc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các vector tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x là cơ sở của phương án cực biên ấy, ký hiệu một cách quy ước là J, trong đó : J={j:Aj thuộc cơ sở}. Các phần tử ngoài cơ sở của x sẽ là 0

37. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 4. Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính • Tính chất 1: Sự tồn tại phương án cực biên của bài toán Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trạng hệ ràng buộc bằng n (n là số biến số) thì bài toán có phương án cực biên

38. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 4. Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính • Tính chất 2: Sự tồn tại phương án tối ưu của bài toán Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn trên (dưới) khi f(x)  max (min) – trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu

39. I. Bài toán quy hoạch tuyến tính 4. Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính • Tính chất 3: Tính hữu hạn của số phương án cực biên Số phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính là hữu hạn

40. II. Thuật toán đơn hình 1. Nội dung phương pháp Ý tưởng, xuất phát từ một phương án cưc biên, tìm cách đánh giá phương án cực biên đó, nếu chưa là phương án tối ưu thì chuyển sang phương án cực biên tốt hơn. Lặp lại sau hữu hạn bước: kết luận được phương án, hoặc không tồn tại phương án tối ưu

41. 2. Cơ sở lý thuyết a. PACB và phương án bài toán x0 phương án cực biên J0 cơ sở phương án cực biên II. Thuật toán đơn hình 41

42. 2. Cơ sở lý thuyết Xj0 là ma trận chứa các thành phần cơ sở của phương án cực biên. Aj0 là ma trận các vector cơ sở Aj0={Aj: jJ0) II. Thuật toán đơn hình 42

43. 2. Cơ sở lý thuyết Ak là vector phi cơ sở kJ0 Có thể phân tích Ak theo AJ0 II. Thuật toán đơn hình 43

44. 2. Cơ sở lý thuyết Ký hiệu cJ={cj: j  J0) Δk = (cJ,Xk) – ck,Δj=0 (jJ0) Với x(x1, …, xn) bất kỳ II. Thuật toán đơn hình 44

45. II. Thuật toán đơn hình 2. Cơ sở lý thuyết Từ x0 chuyển sang x theo vector Z 45

46. II. Thuật toán đơn hình 2. Cơsởlýthuyết MỗixkkhôngthuộccơsởxácđịnhZk NếudichuyểntheophươngZkbướcθ 46

47. II. Thuật toán đơn hình 2. Cơ sở lý thuyết Điều cần xem xét là x(θ) ≥ 0 jJ0, xj(θ) = x0j–θxjk ≥ 0, jJ0, jk thì xj(θ)=0 xk(θ)=θ≥0 Như vậy điều cần quan tâm nhất là x0j–θxjk ≥ 0 Nếu xjk ≤ 0 (jJ0), khi đó đẳng thức thỏa mãn θ≥0, vậy Zk là phương vô hạn 47

48. II. Thuật toán đơn hình 2. Cơ sở lý thuyết Nếu xjk > 0, x0j–θxjk ≥ 0 ứng với xjk > 0  θ≤x0j/xjk θ0=min{x0j/xjk: xjk>0}, Vậy x(θ) phương án với điều kiện 0≤ θ ≤ θ0 f(x(θ))=f(x0) –θΔk (1.14) Nếu Δk > 0  f(x(θ))<f(x0) Nếu Δk < 0  f(x(θ))>f(x0) Δk = 0  f(x(θ))=f(x0) 48

49. II. Thuật toán đơn hình b. Cácđịnhlýcơbản Địnhlý 2: Dấuhiệutốiưucủaphươngáncựcbiên Nếuđốivớiphươngáncựcbiên x0vớicơsở J0củabàitoándạngchínhtắcΔk ≥ 0 (kJ0) thìphươngán x0làphươngántốiưu (max), Δk ≤ 0 (kJ0) trongtrườnghợptiếnđến min. Đâylàđiềukiệnđủ, tuynhiênnếu x0khôngsuybiếnthìnócũnglàđiềukiệncần Khẳngđịnhphươngántốiưu, khôngkhẳngđịnhsốphươngántốiưu 49

50. II. Thuật toán đơn hình b. Cácđịnhlýcơbản Địnhlý 3: Dấuhiệubàitoánkhônggiảiđược Nếuđốivới PACB x0vớicơsở J0củabàitoánchínhtắcmà: TồntạiΔk > 0 màxjk ≤ 0 (kJ0) (BT min) hoặctồntạiΔk < 0 màxjk ≤ 0 (kJ0) (BT max) thìbàitoánkhônggiảiđược (hàmmụctiêukhôngbịchặn) 50