С.А.Гришин к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики

1. Курс дистанционного обучения Математика Геометрические места точек на плоскости и в пространстве Задачи на построения Лекция 8 С.А.Гришин к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики

2. Равноудаленность от одной точки ГМТ – окружность радиуса r с центром в заданной точке Где расположены точки в пространстве равноудаленные на расстояние r от заданной точки? Где расположены точки на плоскости равноудаленные на расстояние r от заданной точки? ГМТ – сфера радиуса r с центром в заданной точке.

3. Задача 1 Построить окружность данного радиуса, проходящую через заданную точку A и касающейся данной окружности. Построение 1.Строим ГМТ точек, удаленных от точки Q на расстояние Задача 1 2.Строим ГМТ точек, удаленных от точки A на расстояние 3.Точки O и o, принадлежащих обеим ГМТ – искомые центры окружностей.

4. Равноудаленность от двух точек ГМТ- срединный перпендикуляр к отрезку AB. Где располагаются точки в пространстве равноудаленные от двух заданных точек? Где располагаютсяточки на плоскости равноудаленные от двух заданных точек? ГМТ - срединная перпендикулярная плоскость к отрезку AB.

5. Задача 2 Построить окружность, проходящую через заданную точку A и касающейся данной прямой в данной точке B. Построение 1.ГМТ – центров окружностей, касающихся прямой в точке B – перпендикуляр BO Задача 2. 2. ГМТ – равноудаленных от точек A и B – срединный перпендикуляр MO Доказательство Окружность с центром в точке O, радиуса OB касается прямой в точке B и проходит через точку A.

6. Равноудаленность от прямой и окружности ГМТ – пара параллельных прямых Где располагаются точки плоскости, равноудаленные на расстоянии d от заданной окружности? Где располагаются точки плоскости, равноудаленные на расстояние d от заданной прямой? ГМТ – пара концентрических окружностей

7. Равноудаленность от прямых на плоскости ГМТ – срединная параллельная прямая Где располагаются точки на плоскости равноудаленные от двух непараллельных прямых? Где располагаются точки на плоскости равноудаленные от двух параллельных прямых? ГМТ – пара перпендикулярных биссектрис смежных углов

8. Задача 3 Задача 3 Построение Способ – построение биссектрис углов A и B , ГМТ точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, их пересечение – центр окружности O. Даны параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, касающуюся всех трех прямых. Способ – построение окружности на отрезке AB, как на диаметре + пересечение с прямой, равноудаленной от двух параллельных прямых.

9. Задача 4 Построить окружность данного радиуса, касающихся двух данных прямых. Построение 1. Строим ГМТ, равноудаленных от прямых L1 и L2. Задача 4 2. Строим ГМТ, удаленных от прямых L1 и L2 на расстояние r. 3. Четыре точки, принадлежащие обеим ГМТ – искомые центры окружностей.

10. Равноудаленость от плоскостей ГМТ – срединная плоскость, параллельная данным плоскостям Где располагаются точки в пространстве равноудаленные от двух непараллельных плоскостей? Где располагаются точки в пространстве равноудаленные от двух параллельных плоскостей? ГМТ – пара перпендикулярных биссекторных плоскостей смежных углов.

11. Разность квадратов расстояний до двух точек Где расположены точки на плоскости, для которых разность квадратов расстояний до двух заданных точек есть величина постоянная? ГМТ – прямая перпендикулярная отрезку AB Построение На плоскости Точка такова, что

12. Построение и доказательство ГМТ Доказательство

13. Задача 5 Построить точку равноудаленную от трех прямых на плоскости. 1. Случай : две из трех прямых параллельны. Построение 1. ГМТ равноудаленных от прямых L1 и L2. Задача 5 2. ГМТ равноудаленных от прямых L1 и L3. 3. Точки O и o принадлежат обеим ГМТ –центры искомых окружностей.

14. Продолжение решения задачи 5. Построение 1. Строим ГМТ равноудаленных от прямых L1 и L2 (зеленые) 2. Строим ГМТ равноудаленных от прямых L1 и L3 (коричневые) Случай 2 : среди прямых нет параллельных 3. Строим ГМТ равноудаленных от прямых L2 и L3 (синие) 4. Четыре точки O,O1,O2,O3, принадлежащие трем ГМТ, - центры искомых окружностей.

15. Сумма квадратов расстояний до двух точек Где расположены точки на плоскости, сумма квадратов расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная? ГМТ – окружность, построенная на заданном отрезке, как на диаметре. На плоскости В пространстве Где расположены точки в пространстве, сумма квадратов расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная? ГМТ –сфера, построенная на заданном отрезке, как на диаметре.

16. Отношение расстояний до двух точек Где расположены точки на плоскости, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная? ГМТ – окружность, построенная на отрезке, как на диаметре, концы которого делят данный отрезок в в заданном отношении внутренним и внешнем образом. Построение точек P и Q: На плоскости

17. Построение и доказательство ГМТ Доказательство - прямоугольный. • биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника принадлежит окружности, построенной на отрезке как на диаметре.

18. Отношение расстояний в пространстве

19. Задача 6 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе C и отношению m : n катетов. Построение Точки P и Q делят гипотенузу AB в отношении m : n Задача 6. 2. Окружность с диаметром PQ 3.Окружность с диаметром AB 4. C – точка их пересечения

20. Отрезок виден под данным углом Где расположены точки на плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом? ГМТ – две симметричные дуги окружностей с общей хордой АВ. Построение 1.Построение угла ABN, равного где ON – срединный перпендикуляр, Угол OBN – прямой, угол BON равен На плоскости 2.Окружность с центром О и радиусом OB. 3. Дуга AMB – искомая + симметрия

21. Задача 7 Построить параллелограмм по заданному отношению длин диагоналей, углу между диагоналями и стороне. Построение Строим ГМТ, из которых отрезок Ad виден под заданным углом Задача 7 2. Строим ГМТ, для которых 3.Точка C, принадлежащая обеим ГМТ – вершина параллелограмма. 4. Строим вершину B параллелограмма, два решения

22. ГМТ –середин хорд окружности ГМТ – окружность с тем же центром определенного радиуса. Анализ M – середина любой хорды. Где расположены середины хорд заданной длины 2a в окружностирадиуса R ? ГМТ – окружность радиуса OM Построение радиуса

23. ГМТ середин хорд ГМТ – окружность, построенная на отрезке AO, как на диаметре. Анализ Найти ГМТ середин всех хорд окружности, проходящих через заданную точку окружности. Отрезок AO виден из точки M под углом 90 град.

24. Задача 8 Через точку пересечения двух окружностей провести секущую, расположенную внутри окружностей и имеющую заданную длину 2a. Построение 1. Строим окружность на отрезке Oo как на диаметре Задача 8 2. На окружности находим точку P. для которой oP=a 3. Строим хорду AB перпендикулярную отрезку OP.

25. ГМТ в экстремальной геометрии Среди треугольников со стороной a и заданным отношением m:n длин двух других сторон найти треугольник с наибольшей площадью. Найти значение этой площади. Построение 1. Находим точки P и Q, делящие отрезок AB в отношении m:n. Задача 9 2. Вычисление длин отрезков 3.Вычисление радиуса

26. Задача 10 Построить треугольник по углу и высотам, проведенным из вершин двух других углов. Построение 1. Строим треугольник AHc по двум сторонам h1 и h2 и углу 2. Через точку H проводим прямую перпендикулярную AH. Задача 10 3. Через точки c и A проводим прямые перпендикулярные Ac. 4. Точки их пересечения прямых 2) и 3) дают вершины C и B треугольника

27. Домашнее задание 1 1. Найти ГМТ середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

28. Домашнее задание 2 2. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенных к одной из них.

29. Домашнее задание 3 3. Постройте прямоугольный треугольник по заданному отношению катетов и высоте, опущенной на гипотенузу.

30. Домашнее задание 4 4. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и касающуюся данной прямой.

31. Лекция окончена Спасибо за внимание.