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第一讲 基本立体的投影 【知识要点】 （1）平面基本立体的投影 （2）圆柱体的投影 （3）圆锥体的投影 （4）球体的投影 【教学方法】本章是这门课程的一个难点，教师为了自身业务的提高，要试做一定数目的练习，这对于讲课、辅导答疑、画好黑板图等都有很大的帮助。 本讲的内容不多，表面上容易，实际上同学掌握起来比较难，所以教学上要注意直观教学和空间想象能力培养的关系，明确教学目的。 虽然在上一章介绍了平面立体三视图的画法，在本章开始时还要进一步归纳平面基本体的投影，及其与平面相交时交线的画法，这是一个难点，要逐步掌握。 通过对圆柱体、圆锥体和球体在三面投影体系中投影的研究，进一步巩固三视图的投影规律，通过研究曲面上点、线的投影，暗示线面分析法的思想方法。在介绍基本曲面立体的投影时，要紧紧抓住转向轮廓线的概念和投影，这对于接下来的截交线和相贯线的学习也是非常重要的，在讲圆柱截交线时，利用动画、模型、虚拟现实等多媒体技术介绍基本概念和作图方法。 把粗实线圆规铅心的修理、圆规的使用放在这里介绍，目的是分散难点，学生有了绘制粗实线直线的经验，学习绘制粗实线圆弧就容易些。 【课前准备】准备教具、熟悉教学内容和要使用的多媒体素材，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。
4.1 基本立体的投影及其表面上的点 4.4.1 平面立体的投影及其表面上的点 （1）三棱柱 让三棱柱的上、下底面平行于H面，主视图的方向垂直于后面，所以后面和V面平行。则左、右侧面为铅垂面。上、下底面在H面上的投影为三角形，这个三角形反映了上、下底的实形；后面在V面上的投影为矩形，也反映了后面的实形，左、右侧面在H面上的投影聚积成直线，在V、W面上的投影为类似形，均不反映侧面的实形。
（2）三棱锥的投影 三棱锥的底面ABC平行于H面，主视图的投影方向沿三角形ABC的底边AB的高线方向，所以AB垂直于W面，SAB是侧平面，而左、右两个侧面是一般位置平面。底面ABC的水平投影反映实形，V、W面的投影聚积为直线；后面SAB的W面投影聚积为一条直线，H、V面的投影是类似形；左、右侧面的三个投影均为类似形。
（2）三棱锥的投影 三棱锥的底面ABC平行于H面，主视图的投影方向沿三角形ABC的底边AB的高线方向，所以AB垂直于W面，SAB是侧平面，而左、右两个侧面是一般位置平面。底面ABC的水平投影反映实形，V、W面的投影聚积为直线；后面SAB的W面投影聚积为一条直线，H、V面的投影是类似形；左、右侧面的三个投影均为类似形。
（3）四棱台的投影四棱台是四棱锥被垂直于高线的平面切割而形成的。上、下两底平行于H面，左、右两个侧面垂直于V面，前、后两个侧面垂直于W面。四个侧棱是一般位置直线。上、下两底的水平投影反映实形，V、W面的投影为直线；左、右侧面的V面投影聚积为直线，H、W面的投影为类似形。前、后侧面的W面投影聚积为直线，其它两面的投影为类似形。（3）四棱台的投影四棱台是四棱锥被垂直于高线的平面切割而形成的。上、下两底平行于H面，左、右两个侧面垂直于V面，前、后两个侧面垂直于W面。四个侧棱是一般位置直线。上、下两底的水平投影反映实形，V、W面的投影为直线；左、右侧面的V面投影聚积为直线，H、W面的投影为类似形。前、后侧面的W面投影聚积为直线，其它两面的投影为类似形。
4.1.2 回转体的投影及其表面上的点 （1）圆柱体的投影 若圆柱体的轴线垂直于H面，则俯视图为圆，主视图为矩形，矩形的上下两边为圆柱体的上下两底面的投影，左右两边为圆柱面最左最右的两条素线的投影，这两条素线将柱面分为前半个柱面和后半个柱面，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线叫作柱面对V面的转向轮廓线。同理，左视图也为矩形，但其左右两条边的含义和主视图不同，这两条线表示柱面上最前最后两条素线的投影，即柱面对W面的转向轮廓线。
（2）圆锥体的投影 圆锥体的投影和圆柱体的投影类似,俯视图为圆,这个圆表示圆锥体底面的投影,主视图和左视图为等腰三角形,主视图的两腰为锥面对V面的转向轮廓线的投影,左视图的两腰,为锥面对W面的转向轮廓线的投影。 请思考下列问题：（1）锥面对V面和W面的转向轮廓线对投影面的位置关系？（2）柱面对V面转向轮廓线的俯、左视图是什么？（3）已知锥面上一点M的V面投影m',如何求出M的水平投影和侧面投影？
（3）圆球体的投影 球体的三个视图均为圆，但这三个圆代表球体上三个不同方向的纬圆，这三个纬圆分别平行于三个投影面。
4.2 平面与立体表面的交线——截交线4.2.1 平面立体的截交线 【例1】 三棱柱被平面切去一角，首先画出直三棱锥的三视图，让上、下底面平行于H面，后面平行于V面，则左、右侧面为铅垂面。用水平面BCD和正垂面CDFE切割三棱锥，所以两切割面和V面均垂直。
【例2】 补画三棱锥被正垂面切割后的俯视图，并求断面的实形。
【分析】E点在棱SA上，所以，其水平投影e在sa上；同理，g在sc上；f在sb上，但是，由于SB为侧平面，所以，在没有左视图的情况下，f不能直接求出。为求出f，可在SBC平面内作水平线FH，求出H点的水平投影h，因FH平行于BC，所以fh也平行于bc,fh和sb的交点f，即为F点的水平投影。若要求断面EFG的实形，可采用换面法，因断面EFG为正垂面，所以，一次换面即可求出其实形。【分析】E点在棱SA上，所以，其水平投影e在sa上；同理，g在sc上；f在sb上，但是，由于SB为侧平面，所以，在没有左视图的情况下，f不能直接求出。为求出f，可在SBC平面内作水平线FH，求出H点的水平投影h，因FH平行于BC，所以fh也平行于bc,fh和sb的交点f，即为F点的水平投影。若要求断面EFG的实形，可采用换面法，因断面EFG为正垂面，所以，一次换面即可求出其实形。
【例3】在四棱台切一个长方形槽，第一步要先画出四棱台的投影，然后再画长方形槽的投影。画长方形槽的投影，要先画主视图，请你分析一下这个模型，思考下列问题：（1）长方形槽的俯视图和左视图应该先画哪个视图？（2）画长方形槽的俯视图和左视图时，要不要从模型或立体图上测量尺寸？【例3】在四棱台切一个长方形槽，第一步要先画出四棱台的投影，然后再画长方形槽的投影。画长方形槽的投影，要先画主视图，请你分析一下这个模型，思考下列问题：（1）长方形槽的俯视图和左视图应该先画哪个视图？（2）画长方形槽的俯视图和左视图时，要不要从模型或立体图上测量尺寸？
（1）先画左视图后画俯视图； （2）画左视图时不用量尺寸，画俯视图时，从左视图上量槽底的宽，不能从立体图上量尺寸。
第二讲 平面与立体表面的交线 【知识要点】 （1）圆柱体截交线 【教学方法】首先概述圆柱截交线的3种情况，然后利用案例介绍3种情况的相互组合，教学中要贯彻“形体分析法”和“线面分析法”的基本思想 【课前准备】熟悉教学内容和要使用的多媒体素材，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。
截交线的画图步骤： (1) 画出圆柱没被切割时的三视图；(2) 确定截平面的位置，因截平面垂直于V面，所以，截断面在V面上的投影为直线，根据立体图（或模型）确定截平面在V面上的投影； (3)确定截交线的俯视图和左视图，截交线的俯视图和柱面的俯视图重合，投影为圆，截交线的左视图为椭圆，先求出椭圆的长短轴，再求出椭圆上的一些一般点，用曲线板连成光滑曲线；(4)整理轮廓线，把切去的轮廓线擦除。
例1 圆柱截交线举例（1） 【形体分析】基本形体为圆柱体，先用一个侧平面和水平面切去一角，侧平面和柱面的交线为线段，水平面和柱面的交线为圆弧；再用两个正平面和水平面切去一个矩形槽，矩形槽的侧面和柱面的交线为线段，槽的底面与柱面的交线为圆弧。【画图步骤】(1)先画出圆柱体的投影；(2)再画切角的投影，切角的投影要先画主视图，再画俯视图，最后画左视图；(3)画矩形切槽的投影，矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，最后画主视图；(4)整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除。
例3 圆柱截交线举例 【形体分析】基本形体为圆柱体，用一个水平面和正垂面切去一角，水平面和柱面的交线为线段，截断面形状为矩形，正垂面和柱面的交线为椭圆弧。 【画图步骤】(1) 先画出圆柱体的投影；(2) 再根据模型（或立体图），在主视图上确定截断面的投影，矩形截断面的左视图为直线，椭圆弧截交线的左视图为圆弧；(3) 椭圆弧的俯视图仍为椭圆弧，若用仪器画图，可先求出截交线上的特殊点（转向轮廓线上的点和曲线段的端点），再求些一般点，利用对称性求出对称点，然后用曲线板光滑连接各点；(4) 整理轮廓线。
例5 组合圆柱体的截交线 【形体分析】图示模型的基础形体为两个外圆柱面和一个内圆柱面形成的柱体，然后在底版柱面上前后各切去一个月牙形，最后切去一个矩形方槽【画图步骤】 (1)先画出没被切割之前基础形体的三视图；(2)画圆柱底版切去月牙形后的投影。先画俯视图，后画左视图和主视图；(3)画切去矩形槽后的投影。因为矩形槽在左视图上的投影有积聚性，所以先画左视图，又因为柱面在俯视图上的投影有积聚性，第二步画槽的俯视图，最后由俯视图和左视图求出各柱面截交线的主视图；(4) 整理轮廓线。各柱面对V面的转向轮廓线被矩形槽的切割情况，要从左视图和俯视图上分析。
第三讲 平面与立体表面的交线 【知识要点】 （1）圆锥截交线 （2）圆球体截交线 【教学方法】将圆锥截交线的5种情况按画图方法分为3种情况：截交线为直线、圆弧和非圆曲线。对非圆曲线要总结出统一的作图规律。球体截交线只研究投影面平行面切球体产生的交线情况。根据作图的特点，在讲课时也可以将平面立体和曲面立体相贯的情况归结为截交线来讲。 1.【课前准备】熟悉教学内容和要使用的多媒体素材，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。
4.2.2 回转体的截交线（续） 一、概述
二、圆锥截交线为曲线时的画图步骤 （1）先画出圆锥体没被切割时的三视图；（2）根据模型或立体图，确定截断面积聚为直线的投影；（3）截交线的投影为曲线时，要先求特殊点的投影——立体对投影面转向轮廓线上的点和端点；（4）求曲线上一般点的投影时，圆锥面上的一般点常采用“辅助素线法”，即过锥顶作一条素线和截平面相交，交点即为截交线上的点。先求出辅助素线的三面投影，再根据辅助素线和截断面的交点为其公共点这一性质求出交点的投影；（5）用曲线板连接成光滑曲线。
三、圆球体截交线 球体被平面切割时，不论截平面处于什么位置，截断面总为圆，根据截平面对投影面的位置不同，可分为以下三种情况：（1）截平面为投影面平行面：截断面在其平行的投影面上的投影为圆，在其它两个投影面上的投影为直线；（2）截平面为投影面垂直面：截断面在其垂直的投影面上的投影为直线，在其它两个投影面上的投影为椭圆；椭圆的长轴为空间圆的直径,且为投影面平行线,椭圆的短轴和长轴垂直,且为投影面垂直线；（3）当截平面为一般位置平面时，截交线的三个投影都是椭圆，我们不研究这种情况。
例1 圆柱和圆锥组合截交线 【形体分析】这是一个由圆锥和圆柱组成的立体，圆锥和圆柱的轴线重合，柱面和锥面的交线为圆，被一个水平面和一个侧平面切去一角，和柱面的交线为直线和圆弧，和锥面的交线为双曲线，双曲线的水平投影反映实形。【画图步骤】(1)先画出圆柱和圆锥没被切割之前的左视图和俯视图；(2)切去一角后,左视图多出一条水平线；(3)画出圆柱切割后的俯视图；；(4) 求出双曲线上特殊点A、B、C的水平投影，用辅助平面法求出双曲线上一般点的水平投影； (5) 用曲线板光滑连接双曲线，修改圆柱和圆锥交线水平投影的可见性。
例2 圆锥截交线举例 根据立体图绘制三视图 【形体分析】槽的侧面P为侧平面，并和圆锥的轴线平行，所以，P平面和锥面的交线为双曲线段，并且侧面投影反映实形。槽的上面R为水平面，并和圆锥的轴线垂直，所以，R平面和锥面的交线为圆弧，并且水平投影反映实形，圆弧的半径可从主视图上求得。【作图步骤】(1)画圆台的三视图；(2)画矩形槽的主视图,尺寸从模型(或立体图)上测量；(3)作P平面和锥面交线---双曲线的W面投影和水平投影；5个特殊点中,有两点采用辅助平面法求出；(4)作R平面和锥面交线---圆弧的水平投影和W面的投影,注意圆弧的半径不要量错；(5)整理轮廓线，从主视图上可以看出，锥面对W面的转向轮廓线被矩形槽切去了一段，圆台的底圆也被切去了一段圆弧，所以，俯视图不再是完整的圆。
例3 球体截交线举例 已知半圆头螺钉头部的主视图，参考立体图补画俯视图和左视图。 【形体分析】螺钉头部是由半球被侧平面P和水平面R切割尔成的，矩形槽在V面上的投影具有积聚性。 【画图步骤】(1)先画出半球没有被切割之前的投影；(2)作侧平面P和球面交线圆弧的投影,先画左视图(半径为R1),后画俯视图；(3)作水平面R和球面交线圆弧的投影,先画俯视图(半径为R2),后画左视图；(4)整理轮廓线,判断可见性。
第四讲 相贯线 【知识要点】 （1）外圆柱面和外圆柱面相贯 （2）内圆柱面和内圆柱面相贯 （3）内圆柱面和外圆柱面相贯 （4）直径相等的圆柱面相贯 （5）相贯线的近似画法 【教学方法】外与外、外与内、内与内圆柱面相交产生的交线性质是相同的，画法原理也是相同的，只是在可见性上有点不同。教学中要强调相贯线的三个投影，不要只注意相贯线投影为曲线的那个投影，要强调特殊点的三面投影。结合具体示例讲解相贯线的画法规律。 【课前准备】熟悉教学内容和要使用的多媒体素材，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。
二、圆柱相贯线画法 【作图步骤】 （1）首先画出两个圆柱轮廓线的三视图，确定两个圆柱的相对位置；（2）求特殊点的正面投影。所谓特殊点，就是两个柱面转向轮廓线上的点和表示相贯线空间极限范围的点，本例中的A、B、C、D即为柱面对V面和H面转向轮廓线上的点，也是空间曲线最高点、最低点、最后点和最前点。（3）求一般点的投影。如M和N点，可先确定其水平投影，根据宽相等求出其侧面投影，最后求出正面投影。（4）根据点在空间的连接顺序,用曲线板连接成光滑曲线。
三、直径相等的两个柱面相交 【分析】若两个直径相等的柱面互相贯穿，则相贯线为两个完整的椭圆，两个椭圆在柱面不反映圆的视图上，聚积成直线。如下图所示。
四、内、外圆柱面相交 【分析】外、内圆柱面相交，内、内圆柱面相交时，相贯线的形状和外圆柱面与外圆柱面相交时相贯线的形状相同，画法也完全一样。当两个柱面的直径相差交大时，可用圆弧代替曲线，圆弧的半径等于大圆柱面的半径。
五、内圆柱面和内圆柱面相交 【分析】内圆柱面和内圆柱面相贯时，若两孔的直径相等，产生的相贯线的空间形状也为椭圆或椭圆弧，在柱面不反映圆的视图上的投影也积聚为直线，只是不可见，应画成虚线。圆孔和圆孔相贯时，要特别注意内孔的转向轮廓线，在相贯区域，孔的转向轮廓线应断开。
六、辅助平面法求相贯线 例1 辅助平面法求柱面和锥面的交线
七、相贯线的特殊情况 （1）柱面和锥面相交的特殊情况 当柱面和锥面公切于球面时，柱面和锥面的交线为椭圆。
（2）球面和柱面交线的特殊情况 当回转曲面的轴线通过球心时，回转曲面和球面的交线为圆。
八、 综合相贯案例 • 已知俯视图，补画主视图和左视图上的漏线。 • 【形体分析】左半个球面和半个柱面的交线为圆，右半个柱面和阶梯轴的交线是柱面和柱面正交的情况，两个半圆柱面之间的平面和柱面产生截交线。