Algoritmi e Strutture dati Mod B

1. Algoritmi e Strutture dati Mod B Grafi: Percorsi Minimi (parte I)

2. 1 s 5 10 1 8 3 3 2 4 1 1 3 1 4 6 5 5 2 v Grafi: Percorsi minimi Un percorso minimo in un grafoG=<V,E> grafo pesato orientato, con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori realitra due vertici s e v, è un percorso da s a v tale che la somma dei pesi degli archi che formano il percorso sia minima.

3. -5 -2 w v 6 -4 8 u 7 -3 7 y x 9 Percorsi minimi: pesi negaivi Qual’è il percorso minimo tra u e x nel grafo sottostante? Percorso Peso <u,v,x> 2 <u,v,w,v,x> -5 <u,v,w,v,w,v,x> -12 <u,v,w,v,w,v,w,v,x> -19 … ... … ... Non esiste alcun percorso minimo tra u e x!

4. Grafi: Percorsi minimi Lemma 1: Dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali, sia p=<v1,…,vk> il percorso minimo tra v1 e vk e per ogni i e j con 1 ij  k, siapij=<vi,…,vj> un sottopercorso di p tra vie vj. Allora, pij=<vi,…,vj> è un percorso minimo tra vi e vj. Proprietà di sottostruttura ottima (per dimostrazione vedere Cormen)

5. Corollario 1: Sia G = (V, E) un grafo pesato orientato, con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. Supponiamo che un percorso minimopdalla sorgentes ad un veritce v possa essere decomposto in suv per qualche vertice u e percorso p’. Allora, il peso del percorso minimo tra s e v è (s,v)= (s,u) + w(u,v). p’ Per dimostrazioni vedere Cormen Grafi: Percorsi minimi Lemma 2: Dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E , e un vertice sorgente s, allora per ogni arco (u,v) in E vale (s,v) (s,u) + w(u,v).

6. Albero dei percorsi minimi Definizione: Sia G = (V, E) un grafo pesato orientato, con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. Un albero dei percorsi minimi con radice s è un sottografo orientatoG’ = (V’, E’) di G con V’ V eE’ E e tale che: • V’ è l’insieme di vertici raggiungibili da s • G’ forma un albero radicato in s • per ogni vV’ , l’unico percorso semplice da s a v è un percorso minimo.

7. Grafi: Percorsi minimi • Peso unitario • Breadth First Search • Pesi non negativi • Algoritmo di Dijkstra • Pesi non negativi con cicli non negativi • Algoritmo di Bellman-Ford • Cicli negativi • Nessuna soluzione

8. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. 1 5 10 1 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 6 5 2

9. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. 1 Il pesodi unpercorso p = (v1 , v2 , . . ., vk ) è w(vi , vi+1). 5 10 1 k-1 8 3 2 4 3 i=1 1 1 3 1 4 6 Il peso del percorso lungo gli archi rossi è 1 + 6 + 1 + 4 = 12. 6 5 2

10. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. 1 Il pesodi unpercorso p = (v1 , v2 , . . ., vk ) è w(vi , vi+1). 5 10 1 k-1 8 3 2 4 3 i=1 1 1 3 1 Problema del percorso minimo da una singola sorgente: dato un ver-tice s, per ogni vertice vVtrovare un percorso minimo da s a v. 4 6 6 5 2

11. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Problema del percorso minimo da una singola sorgente: dato un ver-tice s, per ogni vertice vVtrovare un percorso minimo da s a v. 1 5 10 1 L’algoritmo di Dijkstrarisol-ve il problema in modo effi-ciente nel caso in cui tutti i pesi siano non-negativi, come nell’esempio del grafo. 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 6 5 2

12. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Problema del percorso minimo da una singola sorgente: dato un ver-tice s, per ogni vertice vVtrovare un percorso minimo da s a v. 1 5 L’algoritmo di Dijkstrarisolve il problema in modo efficiente nel caso in cui tutti i pesi siano non-negativi, come nell’esem-pio del grafo. - Utilizza un campo d[v] con la stima della distanza minima - Utilizza un campo p[v] con il nodo predecessore di v 10 1 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 6 5 2

13. Sottografo dei predecessori (Dijkstra) • L’algoritmodi Dijkstra sul grafo G=<V,E>costruisce in p[] il sottografo dei predecessori denotato con Gp=<Vp,Ep>, dove: Vp={vV:p [v] Nil}{s} Ep={(p [v],v)E:vVp-{s} } Il sottografo dei predecessori è definito come per BFS La differenza è che ora verrà costruito in modo che i percorsi che individua siano quelli con peso minimo (non col numero minimo di archi) Si dimostra che il sottografo dei predecessori costruito dall’algoritmo diDijkstra è un albero dei percorsi minimi

14. 1 5 10 1 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 6 5 2 Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Inizializzazione del grafo Inizializza(G,s) 1 La stima distanza d[s] viene posta a 0 2 Tutte le altre stime delle disanze d[v]) sono posti a 

15. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Inizializzazione del grafo 0 Inizializza(G,s) 1 1 La stima distanza d[s] viene posta a 0 2 Tutte le altre stime delle disanze d[v]) sono posti a  3 I predecessori p[v] sono posti a Nil 5 10 1    8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6   6 5 2

16. 1 5 10 1 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 6 5 2 Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) Rilassamento degli archi Meccanismo di aggiustamento (diminuzione) progressivo delle stime d[v]delle distanze minime tra s e gli altri nodi v. Utilizza la funzione di peso w e si applica agli archi del grafo. Modifica sia d[v]che p[v].

17. 0 5 10 1 v u u 1 u 1 u 1 8 3 10 1 5 z 3 8 1 1 1 3 1 4 6 v 5 z 10 x    Relax(u,v,w) Relax(u,z,w) Relax(u,x,w) 0 2 x 5 10 1 u 1 u 1 u 1 v u 8 3 1 9 4 3 8 1 z 1 v 4 z 9 x 2 1 3 1 4 6  2 2 x Rilassamento

18. 0 5 10 1 u 2 u 2 v 8 3 1 9 4 4 2 1 1 3 1 v 4 z 11 4 6 z 11 Relax(u,v,w) Relax(u,z,w) 2 0 2 u 5 10 u 2 u 2 1 v 8 3 4 2 1 9 4 1 v 4 z 4 1 3 1 4 6 z 4 2 2 u Rilassamento

19. Rilassamento Verifica se è possibile ottenere un percorso migliore tra sev passando per il vetice u • d[v]:estremo superiore della lunghezza del percorso minimotra sav (s è la sorgente) • p[v]:il vertice predecessore di v nel percorso minimo corrente tra sev (padre di v) • w(u,v):peso dell’arco (u,v) Relax(u,v,w) if d[v] >d[u] + w(u,v) then d[v] = d[u] + w(u,v) p[v] = u

20. Rilassamento: proprietà Lemma 3: Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali e sia (u,v)E. Allora, immediatamente dopo un rilas-samento di (u,v) (Relax(u,v,w)), otteniamo che d[v] d[u] + w(u,v).

21. Rilassamento: proprietà Lemma 4: Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. Sia s la sorgente e il grafo sia inizializzato con una chiamata a Inizializza(G,s). Allora, vale d[v] (s,v) per ogni vertice v di G e tale invariante viene mantenuto lungo ogni sequenza di operazioni di rilassamento. Inoltre, appena d[v] =(s,v), d[v]non cambia più.

22. Rilassamento: proprietà Corollario 2: Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. Suppeoniamo che in G non esistano percorsi tra s e un vertice v. Allora dopo che grafo è stato inizializzato con Inizializza(G,s), vale d[v] =(s,v) e questa uguaglianza viene mantenuto lungo ogni sequenza di operazioni di rilassamento.

23. Rilassamento: proprietà Lemma 5: Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. Sia s la sorgente e suv sia un percorso minimo per qualche u,vV. Il grafo sia inizializzato con una chiamata a Inizializza(G,s) e venga applicata una sequenza di operazioni di rilassamento che includa Relax(u,v,w). Se, d[u] =(s,u) in qualunque momento prima della chiamata, allora vale d[v] =(s,v) sempre dopo la chiamata.

24. Rilassamento e percorsi minimi Lemma 6: Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali e sia s la sorgente. Allora, dopo che il grafo è stato inizializzato con una chiamata a Inizializza(G,s), il sottografo dei predecessori Gp forma un albero con radice s, e qualunque sequenza di opra-zioni di rilassamento su G mantiene questa proprietà.

25. Rilassamento e percorsi minimi Lemma 7: Sia dato un grafo pesato orientato G = (V, E), con funzione di peso w: E che mappa archi in pesi a valori reali. Sia s la sorgente e G non contenga cicli di peso negativo. Il grafo sia inizializzato con una chiamata a Inizializza(G,s) e venga applicata una sequenza di operazioni di rilassamento che includa Relax(u,v,w) tale che d[v] =(s,v). Allora il sottografo dei predecessori Gp è un albero di cammini minimi con radice s.

26. 1 5 10 1 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 6 5 2 Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Utilizza anche, per ogni ver-tice v non in S, un campo d[v] contenente ad ogni passo l’estremo superiore del peso del percorso minimo da s a v.

27. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. 1 5 Utilizza anche, per ogni ver-tice v non in S, un campo d[v] contenente ad ogni passo l’estremo superiore del peso del percorso minimo da s a v. 10 1 8 3 2 4 3 1 1 3 1 4 6 L’algoritmo seleziona a turno il vertice uin V – Scol minimo valore d[u], inserisce u in S, e rilassatutti gli archi uscenti da u. 6 5 2

28. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 Inizialmente: S = { }. 5 10 1 v 6 2 3 4 5 1 8 3 2 4 3 d  0     1 1 3 1 4 6 Inizializza una coda a priorità con tutti i vertici e i loro estremi superiori d[]. 6 5 2

29. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 Inizialmente: S = { }. 5 10 1 v 6 2 3 4 5 1 8 3 2 4 3 d  0     1 1 3 1 4 6 Seleziona il vertice uV – Scon il minimo valore d[v], inserisce u in S, . . . 6 5 2

30. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 (qui manteniamo la stima con il vertice in S) 1 10 S = 1 0 8 3 2 4 v 3 6 2 3 4 5 1 d      1 3 1 4 6 . . . rimuovi u dalla coda, inserisci u in S,. . . 6 5 2

31. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 1 10 S = 1 0 8 3 2 4 3 v 6 2 3 4 5 10 1 5 1   d 1 3 1 4 6 . . . e rilassa gli archi uscenti da u. 6 5 2

32. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 1 10 S = 1 0 8 3 2 4 v 3 6 3 4 2 5 10 1 5   d 1 1 3 1 4 6 . . .riordina la coda rispetto alle nuove stime. 6 5 2

33. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 1 10 S = 1 0 8 3 2 4 v 3 6 3 4 2 5 10 1 5   d 1 1 3 1 4 6 Ripeti . . . 6 5 2

34. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 1 10 S = 1 1 0 8 3 2 4 v 3 6 4 2 5 10 5   d 1 1 3 1 4 6 . . . rimuovi dalla coda e inserisci in S 6 5 2

35. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 1 10 S = 1 1 0 8 3 2 4 v 3 6 4 2 5 9 4 2  1 d 1 3 1 4 6 . . . rilassa gli archi . . . 6 5 2

36. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 1 10 S = 1 1 0 8 3 2 4 v 3 4 2 6 5 9 4  2 1 d 1 3 1 4 6 . . . e riordina la coda. . . 6 5 2

37. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 1 10 S = 1 1 0 8 3 2 4 3 v 4 2 6 5 9 4 1  2 d 1 3 1 4 6 Ripeti . . . 6 5 2

38. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 1 10 S = 1 1 0 2 8 3 2 4 v 3 4 2 6 9 4  1 d 1 3 1 4 6 . . . rimuovi dalla coda e inserisci in S 6 5 2

39. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 1 10 S = 1 1 0 2 8 3 2 4 3 v 4 2 6 9 4 1 4 d 1 3 1 4 6 . . . rilassa gli archi . . . 6 5 2

40. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 1 10 S = 1 1 0 2 8 3 2 4 v 3 2 6 4 9 4 1 4 d 1 3 1 4 6 . . . e riordina la coda. . . 6 5 2

41. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 1 10 S = 1 1 0 2 8 3 2 4 v 3 2 6 4 9 4 4 1 d 1 3 1 4 6 Ripeti . . . 6 5 2

42. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 4 1 10 S = 1 1 0 2 4 8 3 2 4 v 3 2 6 9 4 1 d 1 3 1 4 6 . . . rimuovi dalla coda e inserisci in S 6 5 2

43. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 4 1 10 S = 1 1 0 2 4 8 3 v 2 4 3 2 6 9 4 d 1 1 3 1 4 6 . . . rilassa gli archi . . . 6 5 2

44. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 4 1 10 S = 1 1 0 2 4 8 3 2 4 v 3 2 6 9 4 1 d 1 3 1 4 6 . . . e riordina la coda (nessun cam-biamento in questo caso) . . . 6 5 2

45. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 3 5 4 10 1 S = 1 1 0 2 4 8 3 2 4 3 v 2 6 1 9 4 d 1 3 1 4 6 Ripeti . . . 6 5 2

46. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 6 3 5 4 1 10 S = 1 1 0 2 4 4 8 3 2 4 v 3 2 9 1 d 1 3 1 4 6 . . . rimuovi dalla coda e inserisci in S 6 5 2

47. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 6 3 5 4 1 10 S = 1 1 0 2 4 4 8 3 2 4 v 3 2 9 1 d 1 3 1 4 6 . . . rilassa gli archi (nessun cam-biamento in questo caso) . . . 6 5 2

48. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 6 5 3 5 4 1 10 S = 1 1 0 2 4 4 8 3 2 4 v 3 2 9 d 1 1 3 1 4 6 Ripeti . . . 6 5 2

49. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 6 5 3 5 4 2 1 10 S = 1 1 9 2 4 4 0 8 3 v 2 4 3 d 1 1 3 1 4 6 Fatto! 6 5 2

50. Grafi: Percorsi minimi (Dijkstra) L’algoritmo di Dijkstra utilizza un insieme S di vertici i cui pesi del percorso minimo sono già stati determinati. Sia 1 il vertice sorgente. s 1 5 10 v 6 3 5 4 2 1 1 S = 1 9 2 4 4 0 8 3 d 2 4 3 1 Il risultato è la riga in basso che contiene in ciascuna cella la lunghezza del percorso minimo dal nodo s al nodo indicato nella riga sopra. 1 3 1 4 6 6 5 2