Производная и дифференциал.

1. Производная и дифференциал.

2. Техника дифференцирования элементарных функций.

3. Правила дифференцирования.

4. 1.Применение формул и правил дифференцирования. 1. Продифференцировать функцию:

5. 2. Продифференцировать функцию:

6. 3. Продифференцировать функцию:

7. 4. Продифференцировать функцию:

8. 5. Продифференцировать функцию:

9. 6. Продифференцировать функцию:

10. 7. Продифференцировать функцию:

11. Обратная функция и её дифференцирование. Пусть x=(y) – обратная функция для функции y=f(x). Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х производную f ′(x)≠0, то обратная функция x=(y) также имеет в соответствующей точке y=f(x) производную, причем или

12. Производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице деленной на производную второй из этих функций.

13. Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

14. Следствие: Доказательство.

15. Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

16. y x y x 0

17. Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

18. y y 0 x x

19. Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

20. Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

21. 2.Применение формул и правил дифференцирования. 8. Продифференцировать функцию:

23. 9. Продифференцировать функцию:

24. 10. Продифференцировать функцию:

25. Производная от сложной функции. Функция, заданная в виде y=f(g(x)),называется сложной функцией, составленной из функций g и f, или суперпозицией функций g и f. (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной) элементарная функция сложная функция аргумент

26. элементарная функция сложная функция

27. Теорема: Если функция f(u) дифференцируема по u, а функция u(x) дифференцируема по х, то производная сложной функции y=f(u(x)) по независимой переменной х определяется равенством или

28. Доказательство: Пусть дана функция y=f(u(x)).

29. Примеры. Вычислить производные для функций: