第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分 授课对象 05级数学系主讲教师胡鹏彦教授

第二十二章曲面积分 基本内容: 平面图形面积、重积分的概念, 重积分的性质, 重积分的计算及其应用, 格林公式. 基本要求: 理解平面图形面积及重积分的概念, 掌握重积分的性质、计算、应用及格林公式, 曲线积分与路径的无关性. 重点难点: 重积分的计算及格林公式, 曲线积分与路径的无关性.

第二十二章曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式

§1 第一型曲面积分 基本内容: 平面图形面积、二重积分的概念, 平面图形可求面积的条件, 二元函数可积的条件, 二重积分的性质. 基本要求: 了解平面图形可求面积的条件, 理解平面图形面积及二重积分的概念, 掌握二元函数可积的条件及二重积分的性质. 重点难点: 二元函数的可积性, 二重积分的性质.

第一型曲面积分的概念 背景曲面物体质量的计算设有一曲面块S, 密度函数为 (x, y, z), 其质量为分割近似求和取极限

第一型曲面积分的概念 定义1设S是空间中可求面积的曲面, f是定义在S上的函数. 对S作分割T, 把S分成n个小曲面块Si, 以Si记Si的面积, ||T||为T的细度, 在Si上任取一点(i, i, i), 若极限存在, 且与分割T和(i, i, i)的取法无关, 则称此极限为f在S上的第一型曲面积分, 记作

第一型曲面积分的概念 当f(x, y, z)1时, 曲面积分就是曲面块S的面积.

第一型曲面积分的计算 定理22.1设有光滑曲面 f(x, y, z)为S上的连续函数, 则

例1计算 其中S是球面被平面所截的顶部. 第一型曲面积分的计算

§2 第二型曲面积分 基本内容: 平面图形面积、二重积分的概念, 平面图形可求面积的条件, 二元函数可积的条件, 二重积分的性质. 基本要求: 了解平面图形可求面积的条件, 理解平面图形面积及二重积分的概念, 掌握二元函数可积的条件及二重积分的性质. 重点难点: 二元函数的可积性, 二重积分的性质.

曲面的侧 双侧曲面单侧曲面默比乌斯(Möbius)带通常由zz(x, y)表示的曲面都是双侧曲面. 当以其法线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时, 则另一侧 (也称为下侧)为负侧. 当S为封闭曲面时, 通常规定曲面的外侧为正侧, 内侧为负侧.

第二型曲面积分概念 流量问题背景设某流体以一定的流速从给定的曲面S的负侧流向正侧, 其中 P, Q, R为所讨论范围上的连续函数, 求单位时间内流经曲面S的总流量E. 分割近似求和取极限

第二型曲面积分概念 曲面S的正侧上点(x, y, z)处的单位法向量为单位时间内流经小曲面S的的流量

第二型曲面积分概念 总流量

第二型曲面积分概念 定义1设P, Q, R为定义在双侧曲面S上的函数. 在S所指定的一侧作分割T, 把S分成n个小曲面块Si, 以Siyz, Sizx, Sixy分别记Si在三个坐标平面上的投影区域的面积, 其符号由Si的方向来确定.

第二型曲面积分概念 若Si的法线正向与z轴正向成锐角时, Sixy 为正. 反之, 若Si的法线正向与z轴正向成钝角时, Sixy为负.

第二型曲面积分概念 定义1设P, Q, R为定义在双侧曲面S上的函数. 在S所指定的一侧作分割T, 把S分成n个小曲面块Si, 以Siyz, Sizx, Sixy分别记Si在三个坐标平面上的投影区域的面积, 其符号由Si的方向来确定. 在Si上任取(i, i, i), 若极限存在, 且与分割T和(i, i, i)的取法无关, 则称此极限为P, Q, R在S所指定侧上的第二型曲面积分,

第二型曲面积分概念 记作或

第二型曲面积分概念 由定义, 若以S表示曲面S的另一侧, 则

第二型曲面积分概念 第二型曲面积分的性质 1. 若存在, 则其中ci (i  1, 2, , k)是常数.

第二型曲面积分概念 2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲面块 S1, S2, , Si 所组成, 且存在, 则

第二型曲面积分的计算 定理22.2设R是光滑曲面上的连续函数, 以S的上侧为正侧, 则

第二型曲面积分的计算 例1计算其中S是球面在部分并取球面外侧.

§3 高斯公式与斯托克斯公式 基本内容: 格林公式，曲线积分与路线的无关性，原函数基本要求: 掌握格林公式及其应用，掌握曲线积分与路线无关的等价条件，会求原函数重点难点: 格林公式

高斯公式 高斯(Gauss)公式给出了沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的关系, 这种关系有似于格林公式所建立的沿封闭曲线的曲线积分与二重积分之间的关系.

高斯公式 定理22.3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成. 若函数P, Q, R在V上连续, 且有一阶连续偏导数, 则 (1) 其中S取外侧. (1)式称为高斯公式.

高斯公式 例1计算其中S是边长为a的正方体表面并取外侧.

高斯公式

斯托克斯公式 斯托克斯(Stokes)公式建立了沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的关系.

斯托克斯公式 双侧曲面的侧与其边界曲线的方向: 设有人站在S上指定的一侧, 沿L行走时, 指定的侧总在人的左方, 则人前进的方向为边界线L的正向, 反之为负向, 这个规定方法也称为右手法则.

斯托克斯公式 定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线. 若函数P, Q, R在S (连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数, 则 (2) 其中S的侧与L的方向按右手法则确定. (2)式称为斯托克斯公式.

斯托克斯公式

斯托克斯公式 例2计算其中L为平面x  y  z  1与各坐标面的交线, 取逆时针方向为正向.

空间曲线积分与路线的无关性 单连通区域, 复连通区域定义若对于V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的某一点, 则称此区域为单连通区域;否则称为复连通区域.

空间曲线积分与路线的无关性 定理22.5设 2为空间单连通区域. 若函数P, Q, R在内连续, 且有一阶连续偏导数, 则以下四个条件是等价的: (i) 对于内任一按段光滑的封闭曲线L有 (ii) 对内任一按段光滑曲线L, 曲线积分与路线无关;

空间曲线积分与路线的无关性 (iii) PdxQdyRdz是内某一函数u的全微分, 即 (iv) 在内处处成立

空间曲线积分与路线的无关性 满足性质的函数u称为PdxQdyRdz的一个原函数. 若P, Q, R满足定理22.5的条件, 则函数就是PdxQdyRdz的一个原函数.

空间曲线积分与路线的无关性 例3验证曲线积分与路线无关, 并求被积表达式的原函数u(x, y, z).

第二十二章 曲面积分