第四章 正弦稳态分析

1. u(t) Um ωt 0 2π (=ωT ) Ψu ω—相角随时间变化的速率， 。正弦量变化一周时其相位变化了 2π弧度, ωT=2π 正弦波在电力、通讯、控制三大系统中的应用极为广泛。电路在以正弦规律变化的激励的作用下的各线性元件的响应的变化规律的分析是电路分析的又一重点。 第四章 正弦稳态分析 第一节 正弦量及其描述 一．正弦量的时域表示 正弦电流 正弦电压 Im、Um─振幅(最大值)； 三要素 ω ─角频率； Ψi 、Ψu ─初相角。 1．周期T 、频率f和角频率ω（正弦波变化快慢要素） T—正弦量变化一个循环所需的时间，常用单位：s，ms，μs f—正弦量单位时间内的循环周数，常用单位：Hz，kHz，MHz

2. i(t) Im ωt 0 Ψi Ψi′ 低频(音频) ≤20kHz，如工频 f =50Hz(ω=314rad/s T = 0.02s)； f 中频 几百kHz，如我国电台中波：535～1605kHz； 正弦量及其描述 高频 几MHz以上，如电视信号：几十～几百MHz． 2．相(位)角、初相(角)与相位差 （正弦波变化的进程要素） 相角：如(ωt+Ψi)，反映正弦量的变化进程。 初相:Ψi =(ωt+Ψi)|t=0, 即t = 0时刻的相角,与计时起点有关，其SI单位为rad且πrad =180°；1°=(π/180)rad . Ψ=0的正弦量可视为参考正弦量； Ψi为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离。(纵轴右边正向最大值的点与原点间的最短距离计为负值)。 图中，Ψi >0，[∵(ωt+Ψi)=0，即ωt = -Ψi时，i达正向Im]；同理，Ψi' <0 . 通常在 |Ψi |≤π的主值范围内取值，这样可使波形表达式唯一。不满足此式时，可通过±2π 来获得其主值范围。

3. i u u，i u i i u ωt 0 φi Ψi Ψu i u u i i u 相位差φ：=两同频率正弦量的相角之差，对两个同频率的正弦量而言，其相位差等于它们的初相之差(与t无关的常数)。 正弦量及其描述 φui >0(Ψu >Ψi )：称u相位超前于i或称i相位滞后于u φui<0(Ψu <Ψi )：称u相位滞后于i或称i相位超前于u φui =±(π／2)称u与i正交 φui =0 (Ψu =Ψi )称u与i同相 φui =±π称u与i反相 3．振幅(幅值、最大值)与有效值的关系 有效值(effective value)的定义：若一周期性电流i在一个周期T内流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间T内流过上述R所作的功，则I就定义为的i有效值。

4. 有效值即方均根值 正弦量及其描述 符号规定：瞬时值：i， u， u1 ， 小写字母；最大值：Im, Um，U1m，相应的大写字母上加足标m；有效值： I， U， U1 ， 相应的大写字母。 正弦量有效值与最大值的关系： 交流表指示值、铭牌交流额定值通常指有效值(如220V，380V)；而耐压值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V

5. +j A b φ +i a 0 A =|A| φ 极坐标形式 1、正弦量的运算： 二．正弦量的频域表示 解：直接用三角函数进行： (分别“积化和差”并合并整理) 上述运算过程较复杂。若遇乘、除法，则更复杂。我们观察到u的ω仍与u1 、u2相同，变化的只是振幅与初相这两个要素，这使我们想到将复数与正弦量建立某种联系，使之运算得到简化 2．复数及其运算 复数A的四种表示形式： A=a+jb代数形式 A =|A|(cosφ+jsinφ) 三角形式 A =|A|e jφ指数形式

6. 在主值范围内(-π/2~ +π/2)的取值，φ所在象限的正负与a、b正负的关系如图 3+/-INVR→P 4+/- =显示“5” X Y或 显示“-126.8698 10INVP→R60 +/- =显示“5” X Y 或 显示“-8.66…” +j φ=π-arctg|b/a|, a<0, b>0 φ=arctg(b/a), a>0, b>0 φ=arctg(b/a), a>0, b<0 φ=arctg|b/a|-π, a<0, b<0 10a60 +/-b2ndFxy显示“5” b显示“-8.66…” 正弦量的频域表示 复数代数形式与极坐标形式的计算器互换 例1：将-3-j4 → r∠θ. 1. 3+/-a4+/-b2ndF→rθ显示“5” b显示“-126.8698…” 2. 3. 注意到此例分子分母均负，因而为第三象限角。 例2：将10∠-60 → x, y 1. 2. 10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66… 3.

7. 设A1 =a1+jb1 = |A1|∠φ1 , A2 =a2+jb2 =|A2|∠φ2, 复数的四则运算 复数加、减――宜用代数形式进行或在复平面上用平行四边形法则或多边形法则进行 A1±A2 =(a1±a2) + j(b1±b2) 复数乘、除――宜用极坐标形式进行： A1·A2= |A1|ejφ1·|A2| ejφ2 =|A1||A2| ej(φ1 +φ2 ) A1·A2=|A1|∠φ1·|A2|∠φ2=|A1||A2|∠(φ1+φ2) 复数的四则运算可用具复数计算功能的计算器直接计算 例：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39 2ndFCPLX5a4b×6a3b=显示“18” b 显示“39” 由欧拉公式，复指数函数： 3、正弦量与复数的关系： 正弦量：

8. 为一旋转矢量，ejωt为按角速度ω逆时针旋转的旋转因子 +i (t=0) Ψi (t=t1) ωt1 为此旋转矢量在实轴上的投影 ωt +j ωt1 Ψi 相量 与正弦量i一一对应。即：给定了正弦量，就可以写出其相量；反之， 给定了相量及ω，就可写出其正弦量。相量反映了正弦量中振幅及初相这两个要素，暂时撇开了ω及t。 此复数称为正弦量i的(有效值)相量(phasor)。 复数的四则运算 大写字母I上加小圆点是为了使之与有效值I相区别，相量不同于一般的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而言的复常数。 几何意义： 例： 解：

9. U·U·2 60o U·1 30o 1）两同频率正弦量相加(减)： 4．正弦量运算与相量运算的对应 同频率正弦量相加(减)的结果仍为同频率的正弦量，且对应为相量的加(减)。 例 已知 用相量形式求u1+u2 解： DRG显示“DEG”2ndFCPLX5a30b2ndF→xy+10a60b2ndF→xy=显示“9.33” b 显示“11.16” 2ndF →rθ显示“14.55” b 显示“50.1” 可见相量计算比三角函数法计算简便。

10. 2）正弦量的微分与积分 求导→相量×jω 积分→相量÷jω 正弦稳态下R、L、C等元件的VAR涉及建立正弦量微分方程，由以上可知正弦稳态电路微分方程可对应为复数系数的相量代数方程。因而正弦稳态分析可用比较简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程，首先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式。

11. iR R R + uR - + - uL iL uR iR jωL + — Ψi L iL Ψi + uL - 一、R元件： 第二节 正弦电路中的电阻、电感和电容 从而其相量模型和波形分别为： 二、L元件： 当UL一定时，ωL越大，IL 就越小，XL =ωL 称为感抗,量纲[ωL]=[V]／[A]=[Ω] ω越大，XL 越大，高频信号就越难以通过L； 相量模型和波形 ω=0，即XL =0,直流情况下L可等效为短路.

12. iC uC C iC + uC- 1／( jωC) + — Ψu 三、C元件： 相量模型和波形 UC一定时，1／ωC越大，IC 就越小，∴XC = -1／ωC称为容抗。 量纲[1／ωC]=[V]／[A]=[Ω], ω越大，即XC 越小时，高频信号就越容易通过C；ω=0，即XC → ∞时，直流情况下C可等效为开路。 第三节电路定律的相量形式 复阻抗与复导纳 一、KCL、KVL的相量形式：

13. 线性无源网络（NO） ＋ － ＋ － Z + － ＋ － R + － jX |Z| X φz R 在正弦稳态下，线性无源一端口网络端口电压相量与电流相量之比称为其等效复阻抗Z (complex impedance) 二、复阻抗、欧姆定律的相量形式： 欧姆定律的相量形式。 对R、L、C元件，有： Z是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点 Z的两种坐标形式： 极坐标形式：Z=|Z|∠φZ 代数形式：Z=R + jX Z、|Z|、R、X的量纲皆为Ω，且满足“阻抗三角形

14. ＋ － R X=0(φZ = Ψu-Ψi =0)： ， 同相，N0呈电阻性(谐振状态)； jX X>0(φZ =Ψu-Ψi >0)： ·超前于 ，N0呈(电)感性； 例1图示电路已知： ，试求正弦稳态下的i 、uR、uL与uC，并作相量图。 i 12mH 15Ω + uR- + uL- + u - + uC- X<0(φZ =Ψu-Ψi <0)： ·滞后于 ，N0呈(电)容性 5μF N个复阻抗串联： 复数形式的分压公式。 阻抗“性质”： 解：此题如直接在时域求解,则据KVL及元件的VAR列写i的方程为一二阶微分方程,解方程较烦.我们用欧姆定律的相量形式即相量法分析:

15. + - +- + - 15Ω j60Ω + - －j40Ω 建立电路的相量模型如图,其中: 例1

16. 26.9° U |Z| X UX φz φz UR R 作相量图时：串联电路以电流相量·为基础作出电压相量比较方便；并联电路以电压相量·为基础作出电流相量比较方便 讨论： i)对RLC串联正弦稳态电路有： ii)UL =240V，UC =160V，都大于电源电压U =100V(DC 电路不会如此)，这是由于电感上 的电压相量与电容上的电压相量反相，彼此抵消之故； iii)  Z代数形式所对应的“串联模型”的阻抗△与其电压△相似：

17. ＋ － ＋ － 线性无源网络（NO） Y ＋ － IB G jB B IG G |Y| I 在正弦稳态下，线性无源一端口网络端口电流相量与电压相量之比称为等效复导纳Y(complex admittance)，即： 三、复导纳Y Y代数形式所对应的“并联模型”的导纳△与其电流△相似： 其中Y、|Y|、G、B的SI量纲皆为西门子(S).

18. B=0(φY=Ψi-Ψu=0)， 、 同相，N0呈电阻性(谐振状态)； B>0(φY =Ψi-Ψu >0)， 滞后于 ，N0呈(电)容性； B<0(φY =Ψi-Ψu <0)， 超前于 ，N0呈(电)感性。 Y与Z的关系 ： （1）显然有： （2）且由： 得： 反映了Y并联模型参数与Z串联模型参数之间的关系 对应得： 注意：当φZ ≠0时，上式中的G≠1/R，|B|≠1/| X |且B与X异号。 Y的“性质”： N个导纳并联及复数形式的分流公式 单个R、L、C元件的复导纳 BL为感纳BC为容纳。

19. i + u - N u、i、P P u i UIcosφ 0 ωt T 一、瞬时功率p(instantaneous power) 第四节 正弦稳态功率 图中u、i对N而言为关联方向，若设： 则网络N吸收的瞬时功率： 以图示电路（感性φ>0）为例，电路的u,i,p的波形如图: 其物理意义为： p的恒定分量算术平均值) P = UIcosφ 反映了N消耗的平均功率； p>0时，外电路能量一部分被N内R所消耗，另一部分→L、C储能； p<0时，N内L、C释放的能量→R所消耗，另一部分→外电路； |φ| 越接近于π/2，则阴影部分就越接近于半个周期，P = UIcosφ就越接近于0，即与外电路能量交换的规模就越大。 瞬时功率的实用意义不大，其平均值才能反映网络实际吸收的功率

20. 反映了N的平均耗能速率，亦称为有功功率(active power) 。 二、平均功率P(average power)、功率因数λ(power factor) λ= cosφ称为功率因数，φ称为功率因数角(N无源时为阻抗角)。 R、L、C元件的功率表达式如下： 为了反映这种能量交换的情况，引入： 三、无功功率Q（reactive power） Q L = UL IL ；Q C = -UC IC ；Q R = 0 电抗元件不耗能，但有能量交换，Q则反映了N内部电抗元件与外部电路交换能量的最大速率Q的量纲也是W，但Q与耗能无关(故称为无功功率)，规定其SI单位为：Var(乏，无功伏安)。。 注意：Q L = UL IL >0，Q C = -UC IC <0是相对于φ(sinφ)的正负而言的，并不代表L、C元件实际吸收(或产生)无功功率。

21. S U Q UX φ φ P UR R P φ' IG φ' B φ' Q |Y| IB S I |Z| X φ R 发电、变配电设备的容量取决于额定值UN 、IN (有效值最大的情形)，可用“视在功率”来表征这种容量： 四、视在功率S（apparent power） S =UI S的量纲也是W，但规定其SI单位为“伏安”(VA) 负载从电源处所获得的功率是在S =UI的基础上打了一个折扣：P =UI cosφ= Sλ，S也称为表观功率。 讨论： 1、Z代数形式所对应串联模型的阻抗△电压△与功率△相似： 2、Y代数形式所对应并联模型的导纳△、电流△与功率△相似： 3、通常阻抗角φ在I、IV两象限，不论φ正或负，总有cosφ>0 。为了区分起见，给定λ(即cosφ)值时，常在后面附加“滞后”或“超前”字样。由于通常是电压源供电，∴“滞后”指i滞后于u(感性)；“超前”指i超前于u(容性)；

22. * A * W 1A 30W R 电感 线圈 220V 50HZ V L 50V 解：方法一 例：三表法测线圈交流参数R和L： 方法二 五、功率因数(λ=cosφ)的提高 原因 由于电力系统的负载多为感性负载（如日光灯、电机、电扇等），故提高λ的方法：在感性负载的“附近”（如某单位的变电所）并联适当的电容。不会影响原负载的工作（电压电流不变）!

23. + - R C L φ φ1 S Q φ P 例：原电路P =10kW，cosφ1 =0.6(感性)。如何使电路的cosφ提高到0.9？ 通过例子说明： 解：i)并联电容后相量图定性分析如图：φ小于φ1，可见功率因数提高了；原负载电路的电压、电流的大小和相位不变（负载工作状况不变）；而总电流（输电线路）I明显小于I1。 ii ) 由cosφ1提高到cosφ所需C的公式推导： 并联电容不改变整个电路的P，只改变其无功（无功补偿）而Q由P tgφ1= QL变为P tgφ=QL + QC = P tgφ1 –ωCU 2 ， iii ) 此例题正常求解的计算过程： 要使cosφ提高到接近于1，所需的C将要大大增加，但I的减小已十分有限了→效益差→故一般将cosφ提高到0.9左右即可。

24. 六、复功率 (complex power)，功率平衡 1．复功率 六、复功率 ，功率平衡 于是有（1） （2）对于无源网络的串联等效模型Z = R + j X ，有： （3）对于无源网络的并联等效模型Y = G + j B ，有 2．复功率平衡：设网络共有b条支路，电压电流取关联方向则： 电路中复功率具有守恒性，即某些元件（支路）发出的复功率恒等于另一些元件（支路）的复功率。也可以说成电路中总的有功功率是各部分有功功率只和，总的无功功率是各部分无功功率只和，但是总的视在功率并不是各部分视在功率之和。

25. 正弦稳态下变为： 相量形式的上述各方法。 （5）功率花样多(P、Q、S、 ） 第五节 正弦稳态电路的一般相量分析法 一、分析方法概述： 对于电阻电路：由∑i = 0，∑u = 0及u = R i等效变换、独立变量法、网络定理 相量法在DC分析法的基础上，还具有以下特点： （1）涉及复数运算，计算量大。 （2）同一电路的阻抗串联模型的阻抗△、电压△及功率△相似；或导纳并联模型的导纳△、电流△及功率△相似。因此可借助这些Rt△的关系使计算简化。 （3）可借助其它一些几何关系及相位关系(如等腰△、等边△、同相、反相、正交等)使分析简化。 （4）所有的方程均为相量与复数的关系式，不但有大小关系，还有相位关系。且一个复数方程可对应为两个实数方程(实部方程与虚部方程或模方程与辐角方程)。

26. ② 2Ω 2Ω ① ③ + - j1Ω –j2Ω + - -j8Ω + 10∠45o V - 5–j3Ω I· + U· - 10Ω j10Ω 解：电路的相量模型建立如图：节点1不写；节点2、3的方程为： 例1：求右图电路各节点的电压： 据原电路的ω写出电气量的瞬时值（正弦量）的表达式 例2：求图示二端网络的戴维南等效相量模型。

27. 有源正弦稳态网络N + - ZL=RL+jXL Zi=Ri+jXi + - ZL=RL+jXL + - 第六节 最大功率传输 一、问题的引出与结论 ZL= ? 时可使PL=Pmax=？ 戴维南等效电路如图： 可求得P L 达极大值时 即Z L d = Z i*= Ri - jXi（共轭匹配） 当ZL=RL(纯电阻负载)时 讨论：共轭匹配时，电路的效率η为50%，实际电路的效率可能更低，电力系统希望η尽量大不运行在匹配状态。在弱电系统，为使负载获得最大功率，可忽略其无关紧要的效率问题。

28. R L C 第七节 串联谐振电路 一、谐振的概念 当N0内部含L、C元件，当端口电压、电流同相时，N0对外呈电阻性，此时N0与外电源之间没有能量交换，只是在N0内部的L、C之间交换能量。我们将这种电路称为谐振电路 。 研究意义： 1．谐振是正弦稳态电路的一种特定的工作状态，它在无线电和电工技术中得到广泛的应用。如收音机中的选频、滤波等。 2．谐振又可能会影响某些系统(如电力系统)的正常工作，甚至造成设备危害。从而又是要尽可能避免的。 我们重点讨论串联谐振电路和并联谐振电路 串联谐振：由电感线圈(R、L)和电容器(C)串联组成谐振电路，称为RLC串联谐振电路 欲串联谐振，需使:Im(Z)=0

29. XL X ω>ω0时为感性 ω0 0 ω XC 串联谐振： 改变f、L、C之一，即可达到上式的串联谐振条件, f0称为谐振频率 二、串联谐振的现象特征 1：Z0 =R，纯电阻性，且| Z0|为| Z |的最小值。 2： ρ为回路的特性阻抗，量纲为Ω 3：串联谐振时的电压关系：

30. 串联谐振： Q值的大小反映了谐振的程度。实际谐振电路的Q值可达几十至几百。收音机输入电路就是利用Q >>1的谐振回路在电抗元件上获得相当于感应电压大Q倍的电压信号，以便送入下一级放大。 另一方面，电力系统中电压较高，若串联谐振，就可能造成某些设备的过压、过流而损坏。 三、串联谐振时的能量关系