1. Ejercicios

2. Ejercicio 1: • Se realizó una investigación para estudiar la relación del fotoperiódo (horas de luz/día) y el tiempo (días) de reproducción en patos buceadores. Con este fin, se utilizaron 13 parejas de patos, las cuales fueron asignados aleatoriamente a un periodo de luz diferente, obteniéndose los siguientes resultados. • Obtener el diagrama de dispersión. • Obtener la ecuación de regresión y la línea ajustada. • Evaluar la calidad de ajuste de la ecuación. • Probar la hipótesis sobre β1.

3. 1. Elaborar el diagrama de dispersión. ¿Qué comportamiento observas en la gráfica?

4. 2. Obtener la ecuación y recta de regresión que represente a los datos. Para el cálculo de las sumatorias para obtener b1 y b0, puedes hacer la siguiente tabla de cálculos, aunque lo mas recomendable es hacerlo de manera mas directa utilizando el módulo de Regresión (REG) de tu calculadora científica, como se muestra en la siguiente diapositiva.

5. Cálculos: Las diferentes sumatorias que aparecen en las fórmulas de la pendiente y ordenada, se obtendrán con la calculadora científica, para lo cual tendrás que utilizar el módulo de Regresión de tu calculadora. Substituyendo las cantidades anteriores en las fórmulas de mínimos cuadrados tenemos: 5

6. Sustituyendo los valores de b0 y b1 en la ecuación tenemos: Con esta ecuación podemos dibujar la recta que mejor represente a los puntos experimentales. Para ello, sustituiremos en la ecuación dos valores de X, comúnmente se sustituyen el valor mas bajo y el mas alto, es decir: De esta manera, tenemos dos puntos: (12, 108.1) y (24, 2.6), los cuales deberán ser ubicados en el plano cartesiano (gráfica) y unirlos, obteniendo así, la recta ajustada de los mínimos cuadrados (ver gráfica en la siguiente diapositiva).

8. 3. Cálculo del Coeficiente determinación: Obtener una columna donde se irá substituyendo en la ecuación cada valor de xi y así obtener el valor teórico de yi Obtener la diferencia entre el valor observado yi, y el valor teórico, y elevarla al cuadrado. Finalmente obtener la suma de todas estas cantidades. 8

9. Sustituyendo en la fórmula del coeficiente de determinación las siguientes cantidades, tenemos: (estas cantidades se obtuvieron en la página …) Como el valor del coeficiente fue mayor que .80, podemos concluir que la Ecuación de regresión puede ser utilizada para hacer predicciones.

10. Este es el diagrama de dispersión que se obtiene con Excel, así como: la recta ajustada de los mínimos cuadrados, la ecuación de regresión, y el valor del coeficiente de determinación R2, ¡todo esto se obtiene en un solo paso¡. Mas adelante se mostrará como hacerlo.

11. 4. Prueba de hipótesis Sobre β1 (pendiente). 4.1 Plantear hipótesis. Ho: β1=0 (Y no está relacionada con X, es decir, el tiempo de reproducción no está relacionada con las horas luz). Ha: β1≠0 (Y si está relacionada con X, es decir, el tiempo de reproducción si está relacionada con las horas luz). 11

12. 4.2 Cálculo del estadístico de prueba: Considerando los siguientes valores: (estos valores se calcularon en la pag...) (valor obtenido en la pag. 98) Y sustituyéndolos en Sb1, tenemos: Finalmente, substituyendo b1=-8.79y sb1=.3587 en el estadístico de prueba t:

13. 4.3 Establecer el área de rechazo de la Ho. Como se está probando una hipótesis bilateral: Ha: β1≠0, entonces el área de rechazo debe estar en ambas colas de la distribución. Área de no rechazo de H0 (azar) Área de rechazo de H0 (Causalidad) Área de rechazo de H0 (Causalidad) -2.201 +2.201 El valor crítico de ± 2.201 se obtuvo con α=.05/2=.025, y con g.l=n-2=13-2=11 (ver tabla de t, en siguiente página) 13 13

14. Tabla de valores críticos de t Nivel de significancia α Grados de libertad 14

15. 4.4 Conclusión. Área de no rechazo de Ho Área de rechazo de H0 Área de rechazo de H0 -24.50 -2.201 +2.201 Como -24.50 se localizó en el área de rechazo de Ho, se concluye que existe una relación inversa (el valor de la pendiente fue negativo), y significativa entre el tiempo de reproducción y las horas luz/día. Esto se afirma con una confiabilidad del 95% 15 15

16. Ejercicio 2: • Aunque no todos los productores primarios necesitan silicona disuelta en el agua de mar, hay investigaciones que relacionan la falta de esta sustancia con una productividad decreciente. Con este objetivo, se llevó acabo un estudio en cierta zona del Golfo de México, para establecer un criterio con respecto al comportamiento de la silicona disuelta. Las dos variables estudiadas fueron la distancia (Km) a la costa y la concentración de silicona (ug/litro) . Los datos que se presentan, corresponden a la concentración de silicona en tres muestras colectadas a la misma distancia. • Obtener el diagrama de dispersión. • Obtener la ecuación de regresión y la línea ajustada. • Evaluar la calidad de ajuste de la ecuación. • Probar la hipótesis sobre β1.

17. 1. Elaborar un diagrama de dispersión. ¿Qué comportamiento observas en la gráfica?

18. 2. Obtener la ecuación y recta de regresión que represente a los datos. Para el cálculo de las sumatorias para obtener b1 y b0, puedes hacer la siguiente tabla de cálculos, aunque lo mas recomendable es hacerlo de manera mas directa utilizando el módulo de Regresión (REG) de tu calculadora científica, como se muestra en la siguiente diapositiva.

19. Cálculos: Las diferentes sumatorias que aparecen en las fórmulas de la pendiente y ordenada, se obtendrán con la calculadora científica, para lo cual tendrás que utilizar el módulo de Regresión de tu calculadora. Substituyendo las cantidades anteriores en las fórmulas de mínimos cuadrados tenemos: 19

20. Substituyendo los valores de b0 y b1 en la ecuación tenemos: Con esta ecuación podemos dibujar la recta que mejor represente a los puntos experimentales. Para ello, substituiremos en la ecuación dos valores de X, comúnmente se substituyen el valor mas bajo y el mas alto, es decir: De esta manera, tenemos dos puntos: (5, 6.0) y (45,3.3), los cuales deberán ser ubicados en el plano cartesiano (gráfica), y unirlos, obteniendo así, la recta ajustada de los mínimos cuadrados (ver gráfica en la siguiente diapositiva).

22. 3. Cálculo del Coeficiente determinación: Obtener una columna donde se irá substituyendo en la ecuación cada valor de xi y así obtener el valor teórico de yi Obtener la diferencia entre el valor observado yi, y el valor teórico, y elevarla al cuadrado. Finalmente obtener la suma de todas estas cantidades. 22

23. Substituyendo en la fórmula del coeficiente de determinación las siguientes cantidades, tenemos: (estas cantidades se obtuvieron en la página …) Como el valor del coeficiente fue mayor que .80, podemos concluir que la Ecuación de regresión puede ser utilizada para hacer predicciones.

24. Este es el diagrama de dispersión que se obtiene con Excel, así como: la recta ajustada de los mínimos cuadrados, la ecuación de regresión, y el valor del coeficiente de determinación R2, ¡todo esto se obtiene en un solo paso¡. Mas adelante se mostrará como hacerlo.

25. 4. Prueba de hipótesis Sobre β1 (pendiente). 4.1 Plantear hipótesis. Ho: β1=0 (Y no está relacionada con X, es decir, la concentración de silicona no está relacionada con la distancia). Ha: β1≠0 (Y si está relacionada con X, es decir, la concentración de silicona si está relacionada con la distancia). 25

26. 4.2 Cálculo del estadístico de prueba: Considerando los siguientes valores: (estos valores se calcularon en la pag...) (valor obtenido en la pag. 98) Y substituyéndolos en Sb1, tenemos: Finalmente, substituyendo b1=6.290y sb1=.0033 en el estadístico de prueba t:

27. 4.3 Establecer el área de rechazo de la Ho. Como se está probando una hipótesis bilateral: Ha: β1≠0, entonces el área de rechazo debe estar en ambas colas de la distribución. Área de no rechazo de H0 (azar) Área de rechazo de H0 Área de rechazo de H0 -2.160 +2.160 El valor crítico de ±2.160 se obtuvo con α=.05/2=.025, y con g.l=n-2=15-2=13 (ver tabla de t, en siguiente página) 27 27

28. Tabla de valores críticos de t Nivel de significancia α Grados de libertad 28

29. 4.4 Conclusión. Área de no rechazo de Ho Área de rechazo de H0 Área de rechazo de H0 -20.10 -2.160 +2.160 Como 20.10 se localizó en el área de rechazo de Ho, se concluye que existe una relación inversa (el valor de la pendiente fue negativa), y significativa entre la concentración de silicona y la distancia. Esto se afirma con una confiabilidad del 95% 29 29

30. Ejercicio 3: • Se llevó a cabo un experimento con el fin de estudiar el efecto de diferentes dosis (mg) de un nuevo barbitúrico, en el tiempo (horas) durante el cual duerme una persona. Con este fin, cada una de las dosis fue probada en dos personas diferentes, utilizándose en total 10 personas. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla. • Obtener el diagrama de dispersión. • Obtener la ecuación de regresión y la línea ajustada. • Evaluar la calidad de ajuste de la ecuación. • Probar la hipótesis sobre β1.

31. 1. Elaborar un diagrama de dispersión. ¿Qué comportamiento observas en la gráfica?

32. 2. Obtener la ecuación y recta de regresión que represente a los datos. Para el cálculo de las sumatorias para obtener b1 y b0, puedes hacer la siguiente tabla de cálculos, aunque lo mas recomendable es hacerlo de manera mas directa utilizando el módulo de Regresión (REG) de tu calculadora científica, como se muestra en la siguiente diapositiva.

33. Cálculos: Las diferentes sumatorias que aparecen en las fórmulas de la pendiente y ordenada, se obtendrán con la calculadora científica, para lo cual tendrás que utilizar el módulo de Regresión de tu calculadora. Substituyendo las cantidades anteriores en las fórmulas de mínimos cuadrados tenemos: 33

34. Substituyendo los valores de b0 y b1 en la ecuación tenemos: Con esta ecuación podemos dibujar la recta que mejor represente a los puntos experimentales. Para ello, substituiremos en la ecuación dos valores de X, comúnmente se substituyen el valor mas bajo y el mas alto, es decir: De esta manera, tenemos dos puntos: (5,.1181) y (25,.53), los cuales deberán ser ubicados en el plano cartesiano (gráfica), y unirlos, obteniendo así, la recta ajustada de los mínimos cuadrados (ver gráfica en la siguiente diapositiva).

36. 3. Cálculo del Coeficiente determinación: Obtener una columna donde se irá substituyendo en la ecuación cada valor de xi y así obtener el valor teórico de yi Obtener la diferencia entre el valor observado yi, y el valor teórico, y elevarla al cuadrado. Finalmente obtener la suma de todas estas cantidades. 36

37. Substituyendo en la fórmula del coeficiente de determinación las siguientes cantidades, tenemos: (estas cantidades se obtuvieron en la página …) Como el valor del coeficiente fue mayor que .80, podemos concluir que la Ecuación de regresión puede ser utilizada para hacer predicciones.

38. Este es el diagrama de dispersión que se obtiene con Excel, así como: la recta ajustada de los mínimos cuadrados, la ecuación de regresión, y el valor del coeficiente de determinación R2, ¡todo esto se obtiene en un solo paso¡. Mas adelante se mostrará como hacerlo.

39. 4. Prueba de hipótesis Sobre β1 (pendiente). 4.1 Plantear hipótesis. Ho: β1=0 (Y no está relacionada con X, es decir, la dosis no está relacionada con las horas de sueño). Ha: β1≠0 (Y si está relacionada con X, es decir, la dosis si está relacionada con las horas de sueño). 39

40. 4.2 Cálculo del estadístico de prueba: Considerando los siguientes valores: (estos valores se calcularon en la pag...) (valor obtenido en la pag. 98) Y substituyéndolos en Sb1, tenemos: Finalmente, substituyendo b1=2.05y sb1=.1171 en el estadístico de prueba t:

41. 4.3 Establecer el área de rechazo de la Ho. Como se está probando una hipótesis bilateral: Ha: β1≠0, entonces el área de rechazo debe estar en ambas colas de la distribución. Área de no rechazo de H0 (azar) Área de rechazo de H0 (Causalidad) Área de rechazo de H0 (Causalidad) -2.306 +2.306 El valor crítico de ± 2.306 se obtuvo con α=.05/2=.025, y con g.l=n-2=10-2=8 (ver tabla de t, en siguiente página) 41 41

42. Tabla de valores críticos de t Nivel de significancia α Grados de libertad 42

43. 4.4 Conclusión. Área de no rechazo de Ho Área de rechazo de H0 Área de rechazo de H0 -2.306 15.5 +2.306 Como 15.5 se localizó en el área de rechazo de Ho, se concluye que existe una relación directa (el valor de la pendiente fue positiva), y significativa entre la dosis y las horas de sueño. Esto se afirma con una confiabilidad del 95% 43 43

44. Procedimiento con Excel. 1. Crear el archivo de datos en Excel.

45. 2. Elaborar el diagrama de dispersión. Como se puede observar, la tendencia de los puntos es lineal y directa, por lo que se deberá obtener la ecuación y la recta que represente a los puntos.

46. 3. La ecuación y la recta se obtienen colocando el cursor sobre cualquier punto de la gráfica, y con el botón derecho del mouse se abrirá la siguiente ventana en la que se deberá seleccionar: Agregar línea de tendencia.

47. 4. Observa que por default aparece Lineal y así deberá permanecer. Selecciona: Opciones 5. Selecciona las opciones indicadas y Aceptar

48. De esta manera, obtenemos en un sólo paso, la Ecuación de regresión, la recta ajustada con el método de mínimos cuadrados, y el coeficiente de determinación R2.

49. Prueba de hipótesis sobre la pendiente β1. Para realizar esta prueba con Excel, se procede de la siguiente manera: 1. Ir a: Análisis de datos. En la versión 2003 está en Herramientas. En la 2007 está en la pestaña de Datos. Selecciona: Regresión

50. 2. Establece el Rango de entrada para los valores de Y (b1..b7) Establece el Rango de valores para X (a1..a7) Selecciona Rótulos Establece el Rango de salida (a9..b9) donde deseas que aparezcan los resultados, y Aceptar.