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实际问题与二次函数

实际问题与二次函数. （六）. 贺胜中学初三数学组. 典例分析 1. 1. 将直角边长为 6 的等腰 Rt △ AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C 、 A 分别在 x 、 y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A 、 C 及点 B (–3 ， 0) ． (1) 求该抛物线的解析式； (2) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G ，使△ AGC 的面积 最大 ? 若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．. 解：. （ 1 ）依题意可知， A 点坐标为（ 0,6 ）， C 点坐标为（ 6,0 ）.

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  1. 实际问题与二次函数 （六） 贺胜中学初三数学组

  2. 典例分析1 1. 将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积最大?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解： （1）依题意可知，A点坐标为（0,6），C点坐标为（6,0） 设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-6) 又A点（0,6）在抛物线上 ∴a(0+3)(0-6)=6 设哪一种形式最简单？

  3. G (2)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积最 大?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 存在G点使△AGC的面积最大。 如图所示 设G点坐标为（x, y），过G点作GE⊥ x轴于E。 则OE=x ,GE=y CE=6-x ,由图可知 想一想△AGC面积怎么计算？ S △AGC=S四边形AOEG +S △EGC - S △AOC E 当x=3时，S有最大值9 此时G点坐标为（3,6）

  4. 在平面坐标系中，求多边形的面积的思路 1.过图形上某一点作x轴或y轴的垂线，把多边形的面积转化成直角梯形和三角形的和差形式。 2.观察图形，把图中对应的线段用点的坐标表示出来。 3.把多边形的面积用含变量的式子表示。 4.根据函数的性质求出面积的最值。 5.根据最值回答实际问题。

  5. O y x C B A 典例分析2 如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A，B两点的抛物线交x 轴于另一点C（3,0）。 求（1）抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 解： ∵直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点 ∴A点（-1，0） B点（0,3） 依题意可设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3) 想一想，设哪一种形式求解析式更简单？ 又B点（0,3）在抛物线上 ∴ 3=a(0+1)(0-3) 解得 a=-1 ∴y=-x2+2x+3

  6. （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角 形？ 若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. B A （2）存在。 由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 y · P ∴抛物线的对称轴是x=1 · Q 设Q点坐标为（1，m）过B作BP垂直对称轴于P，连接AQ，BQ，由勾股定理有 C O x=1 x ①当AB=AQ时，有 哪两边相等呢？ 解得m1=0,m2=6 ②当AB=BQ时，有 ∴Q点（1,0） 又（1,6）在直线y=3x+3上 ③ 当ＡＱ＝ＢＱ时，有

  7. 解得， ｍ＝１ ∴Ｑ点坐标为（１,１） 思考 １．在抛物线的图象上怎样求三角形的面积？ ２．等腰三角形是怎样分类的？ 3.平面坐标系中线段的长度是怎样计算的？ 试一试 坐标平面内有一点Ａ（３,４）在ｘ轴上找一点Ｂ使△ＡＢＯ成为等腰三角形，求Ｂ点的坐标。

  8. 3.某工厂生产一种新型产品，产品按质量分为8个档次。若工时不变，每天生产最低档次产品60件，每件产品利润8元；若要提高生产产品的档次，则每提高提高一个档次，每件利润可增加2元，但每天要少生产3件。3.某工厂生产一种新型产品，产品按质量分为8个档次。若工时不变，每天生产最低档次产品60件，每件产品利润8元；若要提高生产产品的档次，则每提高提高一个档次，每件利润可增加2元，但每天要少生产3件。 （1）生产哪一档次产品的利润最大？最大利润是多少元？ 解： （1）设生产第x档产品时，每天所获利润为y元，则 （2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？ y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)] 1≤x ≤8 且x为整数 =-6x2+108x+378 =-6(x-9)2+864 ∵ a=-6<0,∴当x=9时，y有最大值864。 ∵ 1≤x ≤8 ,x为整数，x<9时，y随x的增大而增大 ∴当x=8时，y有最大值858。

  9. （2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？（2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？ (2)当y=810时，-6(x-9)2+864=810 解答x1=6， x2=12 （不合题意，舍去） 故生产第6档次的产品，每天的利润恰为810元。 当x=6 ，y=810 由x<9时，y随x的增大而增大可知， 当6≤x ≤8，且x 为整数时，y ≥810。 故生产产品在第6~8档次范围内，每天的利润不低于810元。

  10. y B P C A O Q x M 如图，在直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(0，2)，动点P沿过 B点且垂直于AB的射线BM运动，其运动的速度为每秒1个单位长度， 射线BM与x轴交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式． (3)若点P开始运动时，点Q也同时从C点出发，以点P相同的速度 沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为 等腰三角形(点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动)，求t的值． (4)在(2)(3)的条件下，当CQ＝CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

  11. 2.如图，抛物线 与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是 否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标； 若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值。若没有，请说明理由.

  12. A D H E M B G C 工程师有一块长AD＝12分米，宽AB＝8分米的铁板，截去长 AE＝2分米、AF＝4分米的直角三角形，在余下的五边形中，截得 矩形MGCH，其中点M在线段EF上． (1)若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的 长与宽． (2)当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．

  13. 作业 )如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点 为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. (1)求m的值； (2)求点B的坐标； (3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．

  14. 小结 通过本节课的学习，你学会了什么？ 1.在平面坐标系中怎样求图象的面积。 2.在平面坐标系用勾股定理计算线段的长度。 3.等腰三角形在平面坐标系中的分类。

  15. 再见

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