Лекция № 2

1. Сегодня: среда, 15 октября 2014 г. Лекция №2 Тема:Заряд и его свойства, закон Кулона (продолжение)

2. 8.Интегральная формулировка закона сохранения заряда. S V jdЅ s v Сила тока через поверхность, ограничивающую объём. Скорость изменения заряда в объёме. Изменение заряда в некотором объёме может произойти только в результате втекания и вытекания заряда через замкнутую поверхность S ограничивающую объём (алгебраическая сумма электрически изолированного объема есть величина постоянная. Знак минус учитывает, что если + заряд внутри Vуменьшается, то плотность тока направлена из объёма.

3. jdЅ 9. Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда. Итак интеграл по поверхности равен интегралу по объему в виде

4. Запишем данное выражение в виде (это связь интеграла по поверхности с интегралом по объему, который заключен данной поверхностью). (1) Здесь дивергенция равна

5. Сравнивая подинтегральные выражения в формуле (1), видим, что Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме

6. 10. Сохранение заряда в 4-х мерном пространстве Перепишем выражение для дивергенции и плотности тока в виде :

7. Легко видеть, что изменение плотности заряда во времени можно представить как 4-ую компоненту плотности тока: Окончательно:

8. Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме для 4-х мерного пространства Преобразование из К системы в систему К’ для одномерного тока jxи плотности зарядаρ в СТО имеет вид:

9. Закон Кулона. (1) q1,q2 – точечные заряды; r – расстояние между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость среды ( в вакууме и воздухе = 1 ); ε0 – диэлектрическая постоянная = 8,85*10-12Ф/м. Принцип суперпозиции: (2) 3

10. З.К. справедлив 107-10-17м (эксперимент) F12 F12 F21 F21 + + - + 1 2 1 2

11. 2. 4. 3. - + - + + ● l ● + + l ● - + + - - l - r а ● х На каждый заряд, действуют по 3 силы Q F 9

12. Сущность модели электростатического поля Важна не неподвижность зарядов, а постоянство во времени электрического поля! Границы применимости – требование малости вклада от отдельных зарядов в наблюдаемое поле. Основная задача электростатики: найти поля, создаваемые «неподвижными» зарядами 2

13. Вектор Е напряженности электрического поля Детектор поля – точечный заряд. Источником Е- поля является заряд. Локальная хар-ка (3) r E F q + Для точечного заряда в вакууме (ε=1) (4) 4 Формула (4) получена делением силы Кулона на заряд q

14. Согласно принципу суперпозиции электрическое поле системы зарядов равно векторной сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами

15. Е1 Е2 ○ ○ 1 2 ○ 3 Е3 Е Силовые линии. Примеры Е Е Е Е Е 5 5

16. Равномерно заряженная плоскость σ А dy ● Найти напряженность Е электрического поля в точке А на расстоянии z от плоскости. Применить принцип суперпозиции z σ + + + + ● y + + + L + + + + x Каждая полоска несёт элементарный заряд dq=σLdy 11

17. Вектор электрического смещения (вектор индукции электростатического поля) - D D = εε0E (5) Формула для однородной среды. Вектор направлен также как и Е. Для точечного заряда (6) Справедлив принципы суперпозиции: (7) 6

18. D = εε0E (5) Вектор D не преломляется на границе двух сред. Е D ε>1 D Е + + ε>1 7

19. Поток вектора ( Е,D) Ф = ∫s(ЕdS) dS =dS n (10) Е dS n n n dS α dS dФ = ЕdS Ф = 0 dФ = ЕdS Cosα Ф = числу силовых линий через единицу площади. 13

20. Е Е Е Е dS n Е Ф через замкнутую поверхность Ф через искривлённую поверхность Ф = ∫s (ЕdS) (11) Поверхность не должна быть морщинистой 14

21. Теорема Гаусса (закон Гаусса) Закон Гаусса связывает поток через поверхность и заряд. Е dS n q Если между Е или Dи n острый угол Ф- положителен, если тупой - Ф отрицателен. 15

22. Е α n q dS dΩ (4) Ф = ∫s (ЕdS) (11) (12) q (13) ε 0 (14) 16

23. Теорема Гаусса для Е =∑qi=q Теорема Гаусса для D ∫ ○ dΩ=4π (15) Если зарядов в объёме V много, то q =∑qi Для док-ва используется принцип суперпозиции!!!! 17

24. Если заряд находится вне объёма: = 0 D Вектор D2 раза входит в объём и 2 раза из него выходит. Если заряд распределен внутри объёма, например, с объёмной плотностью ρ: ∳ q = ρdV v ∳ q = То: ρdV = v 18

25. Физической основой ТОГ является закон Кулона, поэтому теорема Гауссаявляется интегральной формулировкойзакона Кулона. 19

26. Поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность = сумме зарядов, заключённых в этой поверхности, деленной на ε0 . Аналогично для потока вектора смещения D 20

27. Е σ + + + r1 А + R ● + + r2 + + В ● С ● + + n + + Е Применение теоремы Гаусса. По тонкой сферической оболочке радиуса R равномерно распределён заряд q. Определить Е: а) вне сферы, б) внутри сферы. + А r1 E ● R n В ● +σ S Е 21

28. Вектор Е направлен радиально в силу симметрии Проведем произвольную замкнутую поверхность радиуса r1 Е σ + Е По Т.О.Г. + r1 R + ● А Е=О + В ● С + + n + = ЕА∫dS = ЕАS = ЕА4πr12 = q/ε0 22

29. Из (23) ЕА вне сферы = (*) q = ∫Sσ dS т.к. S задано q = σSс = σ4πR2 На пов-ти сферы Внутри сферы (точка В) Е равно нулю 23

30. Е σ + + А r1 + ● r2 R + + В ● ● С Поле вне сферы такое же как и от точечного заряда! + n + Е Е 1/r2 0 R r 25

31. Е n А ● n dS τ а l dSторц. Поле Е равномерно заряженной ∞ нити с линейной плотностью τ. ∫(EdS)=∫(EdSбок) +2 ∫(EdSторц)=∫(EdSбок) = ES = = Е2πаl = q/ε0 = 0 q=∫lτdl = τl Окончательно имеем: 26

32. S S Е n n Электрическое поле Е бесконечно большой заряженной плоскости Поверхностная плотность зарядов σ Поверхность Гаусса выбираем в виде прямоугольного ящика. В силу бесконечно-большой симметрии плоскости вектор Е в любой точке окружающего пространства направлен по нормали к плоскости Е