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第2章 矩阵

第2章 矩阵. 第2.1节 矩阵及其运算 第2.2节 方 阵 第2.3节 逆矩阵 第2.4节 矩阵的秩 第2.5节 矩阵的分块. 第2.1节 矩阵及其运算. 教学目的：掌握矩阵概念及运算 教学重点：矩阵的运算及初等变换定义 教学难点：矩阵的乘法、用初等变换将矩阵化为最简形 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下:. 返回. 定义2.1.1. 1.矩阵概念. 注 矩阵一般用大写字母 A 、 B ，… … 表示. 解. 例1. 由定义知，确定一个矩阵的两个要素是 维数 m × n 及 元素 , . m 表示行数， n 表示列数.

marie
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第2章 矩阵

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Presentation Transcript

  1. 第2章 矩阵 • 第2.1节 矩阵及其运算 • 第2.2节 方 阵 • 第2.3节 逆矩阵 • 第2.4节 矩阵的秩 • 第2.5节 矩阵的分块

  2. 第2.1节 矩阵及其运算 教学目的：掌握矩阵概念及运算 教学重点：矩阵的运算及初等变换定义 教学难点：矩阵的乘法、用初等变换将矩阵化为最简形 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下: 返回

  3. 定义2.1.1 1.矩阵概念 注 矩阵一般用大写字母A、B，… …表示...

  4. 解 例1 由定义知，确定一个矩阵的两个要素是维数m×n及元素,.m表示行数，n表示列数.

  5. 腰围（英寸） 数量（条） 例2牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤23条： 28 3 30 11 32 6 34 3 库存的其他牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下： W L CF BO BA 牌子 数量（条） 28 30 32 34 L 5， 5，3，4 CF 1， 7，0，0 BO 6， 2，2，2 BA 3 ，0，0，3 试通过矩阵将上面的信息表示出来.

  6. ○ 4 ○ 例3（通路矩阵） 1 3 ○ 2 ○ 2 ○ 每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.该图提供的通路信息,试用矩阵形式表示(称之为通路矩阵).

  7. 例4 试写出游戏“石头、剪子、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分 甲 方 乙方

  8. 2.矩阵的线性运算 • （1）矩阵相等 • （2）矩阵加法 • （3）数乘矩阵

  9. 定义 设有两个m×n矩阵 （1）矩阵相等 则称矩阵A和B相等. 记作A=B 矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.

  10. 定义 设有两个m×n矩阵 （2）矩阵加法 称为矩阵A与B的和. 记作 注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.

  11. 矩阵减法 称为A的负矩阵. 矩阵的减法为

  12. 例5 解 矩阵的加法满足下列运算规律 (i) A+B=B+A (ii) (A+B)+C=A+(B+C) (iii) A+O=O+A=A (iv) A-A=A+(-A)=O 其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵.

  13. 定义 数k与矩阵A的乘积记作kA或 A k，规定为 运算规律： （3）数乘矩阵 (i) k(A+B)=kA+kB (ii) (k+h)A=kA+hB (iii) k(h A)=(k h)A (iv) 1A=A 其中A、B为m╳n 矩阵；k、h为数.

  14. 例6 解

  15. 解 例7

  16. 引例 由已知得 W L CF BO BA 28 30 32 34 3.矩阵乘法 某服装商店一天的销售量如下表：且知 每条W牌、L牌、CF牌、BO牌、BA牌牛仔裤的利润分别为15元、17.5元、20元、12.5元、20元.

  17. W L CF BO BA 28 30 32 34 设为A 问题 1. 在这一周之内.，最小号牛仔裤的 销售利润总和是多少？ 问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少？ 问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少？ 总利润:862.5元

  18. (1)定义 注：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘. 矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵 其中 记作C =AB.

  19. 注：按此定义，一个1 × s矩阵与一个s × 1矩阵的乘积 是一个1阶方阵，也就是一个数. 注 乘积矩阵AB=C的第i行第j 列元素cij是A 的第i行与B的第j 列对应元素乘积之和.

  20. 例8 解

  21. 例9 解 注 一般地，矩阵的乘法不满足 交换律，即AB≠BA, 而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

  22. 解 显然AO=O； 注 与数的乘法不同,两个非零矩阵的乘积可能是零阵，反过来，如果两个矩阵的乘积是零阵，不能断定A或B一定是零阵. 例10 设矩阵 计算AO，AB.

  23. 注意 (2)矩阵的乘法运算规律 （假设运算都是可行的） (i) (AB)C=A(BC); (ii) A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; (iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中k为数). 矩阵的乘法不满足交换律，即 当 AB = BA时, 称 A, B可交换.

  24. 4.矩阵的转置 (1)定义 把m × n矩阵A的行列互换得到一个n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT . 例如

  25. (i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT (2)运算规律（假设运算都是可行的） (iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT 证明 (iv) 设 记 由矩阵的乘法定义， (AB)T的 一般项为

  26. 而BT的第i行为 AT的第j列为 所以 即D=CT，亦即BTAT=(AB)T. 对于多个矩阵相乘，有

  27. 解法1 解法2 例11 注 这里ATBT不是可乘矩阵，一般地ATBT（ABT）.

  28. 5.矩阵的初等变换 • （1）初等变换 • （2）行阶梯形 行最简形 • （3）矩阵高斯消元法

  29. 引例 解线性方程组 所用同解变换有 1.交换方程次序；2.一个方程加上另一个 方程的k倍. 解

  30. 所用同解变换有 1.交换方程次序；2.一个方程加上另一个 方程的k倍. 3.以常数k乘以某一个方程.

  31. 消元过程中用到三种同解变换： （1）交换方程次序； （2）以不等于0的常数乘以某一个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍. 在上述消元过程中用到三种变换均可逆，所以变换前后的方程组是同解的，从而可以求得方程组的全部解. 这三种变换都是方程组的同解变换. 在上述消元过程中用到几种同解变换？ 思考：上述过程中各个未知量是否参与计算？

  32. (1)矩阵的初等变换 定义 对m×n矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换 初等行变换 (i)对调两行； (ii)以非零数k乘某行的所有元素； (iii)把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去. 说明： 1.初等变换均可逆，

  33. (i)对调两列； (ii)以非零数k乘某列的所有元素； 将上述定义中的“行”改为“列”即为如下初等列变换的定义. 初等列变换 (iii)把某一列的所有元素的k倍 加到另一列对应的元素上去 注 初等行（列）变换统称初等变换.重点 讨论初等行变换.

  34. 例如

  35. 等价矩阵定义 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，称 矩阵A、B等价.. 矩阵等价关系满足以下性质： (i)自反性， A→A； (ii)对称性，若A→B则B→A； (iii)传递性，若A→B，B→C则A→C. 注 等价是一种关系，这里给出的是等价矩阵概念， 两个同解线性方程组也称为等价线性方程组.

  36. 回到引例

  37. 称为行阶梯形矩阵 特点： 横线下方全是0； 每阶只有一行，阶数即非零行行数； 竖线后面第一个元素为非零元. (2)行阶梯形和行最简形定义 一般矩阵A经过初等变换总可以化为这种标准形； 该标准形由 m、n、r完全确定. 一般地 继续初等行变换 也称为行最简形矩阵 特点： 各阶第一个非零元都是1，所在列其余元素均为0. 称为标准形矩阵 特点： 左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0. 经初等列变换

  38. 例12 将矩阵 化为行最简形. 解 行阶梯形 行最简形

  39. 矩阵的高斯消元法是将一个m×n矩阵A经过行初等变换化为行阶梯形.对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形的一种方法. 矩阵高斯消元法的步骤： (3)矩阵的高斯消元法 ①取矩阵中元素a110为主元，如果a11为零，通过换法变换将第一列上元素不为零的某行换到第一行； ②用主元a11将第一列中a11以下的其他元素消为零； ③对除去第一行以外的行重复以上作法，则将矩阵化为行阶梯形,如上例中AA1化简过程； ④将最后一个非零行中的首个非零元，通过倍法变换化为1,并将其所在列该非零元上面的元素都消为零，依此，由下向上递推，将A化为行最简形.如上例中A1  A2化简过程.

  40. 解 注 该矩阵是一个3×3矩阵，它的行阶梯形，行最简形都仍然是3阶方阵,显然A与它们等价. 例13 利用高斯消元法化矩阵A为行阶梯形和行最简形.这里

  41. 综合练习

  42. 第2.2节 方阵 教学目的：掌握几类特殊方阵、方阵的运算，方阵的行列式及初等矩阵 教学重点：方阵的行列式及初等矩阵 教学难点：初等矩阵 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下： 返回

  43. 1.方阵概念 定义2.2.1 由n2个数排成的n×n矩阵 称为n阶方阵.记作A=(aij ), i，j=1，2，…，n或

  44. 方阵的迹 定义2.2.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的和称为方阵的迹，记作 例1 以上3阶方阵的迹为1+0+9=10 n阶方阵的迹为1+0+…+1=n.

  45. 2.几种常用的特殊方阵 • （1）对角阵 • （2）数量阵 • （3）单位阵和零阵 • （4）上（下）三角阵

  46. 定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 对角矩阵. (1)对角矩阵 是一个四阶对角矩阵. 当对角线元素都相等时有：

  47. (2)数量矩阵 定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵. 例如

  48. (3)单位矩阵与零阵 定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1， 则称此矩阵为n阶单位矩阵. 单位矩阵在方阵运算中 起到数字“1”的作用. 当a=0时, n阶零阵在方阵运算中 起到数字“0”的作用.

  49. 定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 则称此矩阵为上三角矩阵. (4)三角形矩阵 如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角矩阵. A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.

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