GEOMETRIA DESCRITIVA A

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Recta - Introdução

2. RECTA Uma recta é um conjunto de pontos alinhados segundo uma mesma direcção. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção.

3. y≡ z B2 A2 x A1 B1 PONTO PERTENCENTE A UMA RECTA Para que um ponto pertença a uma recta, é necessário que as suas projecções estejam contidas nas projecções do mesmo nome (homónimas) da recta, ou seja, as projecções do ponto têm que se situar sobre as projecções homónimas da recta. r2 r1

4. PROJECÇÕES DE UMA RECTA Desenha as projecções de uma recta r, definida pelos pontos A(2; 5; 1) e B (-2; 2; -1). Determina as projecções de um ponto C, qualquer, pertencente à recta. y≡ z C2 A2 x B2 B1 A1 C1 r2 r1

5. Plano

6. xz x x xy DEFINIÇÃO DE UM PLANO Um plano é uma região do espaço, uma superfície plana, na qual se pode assentar completamente um recta em qualquer direcção. Em geometria descritiva, um plano pode ser definido pelas seguintes situações: Três pontos não colineares (não alinhados); B2 A2 α B2 A2 B A C2 C2 C A1 B1 A1 C1 B1 C1

7. xz x x xy Uma recta e um ponto exterior à recta; r2 r2 B2 B2 A2 A2 α r B A C2 C2 A1 C A1 B1 C1 r1 B1 C1 r1

8. xz x x xy Duas rectas paralelas; r2 B2 r2 A2 s2 B2 D2 A2 s2 C2 α r A B D2 C2 s D C A1 C1 A1 B1 C1 r1 D1 B1 D1 s1 r1 s1

9. xz x x xy Duas rectas concorrentes; r2 B2 C2 r2 A2 B2 C2 s2 A2 s2 C α r A B s C1 A1 A1 C1 B1 r1 B1 s1 r1 s1

10. xz x x xy Os seus traços (que são duas rectas do plano); fα fα α hα hα

11. xz x x xy Uma das suas rectas com maior declive ( rectas que fazem o maior ângulo com o Plano Horizontal de Projecção); dα2 fα fα α dα dα2 hα hα dα1 dα1

12. xz x x xy Uma das suas rectas com maior inclinação (rectas que fazem o maior ângulo com o Plano Frontal de Projecção). iα2 fα iα2 α fα iα iα1 iα1 hα hα

13. A condição para um ponto pertencer a um plano, é se pertence a uma recta do plano. Os pontos A, B e C pertencem a rectas (r e s) que pertencem ao plano α, portanto pertencem ao plano α. xz x x xy r2 B2 C2 r2 A2 B2 C2 s2 A2 s2 C α r A B s C1 A1 A1 C1 B1 r1 B1 s1 r1 s1

14. Intersecções

15. xz x x xy INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). fθ ≡ i2 fθ ≡ i2 fα α i fα θ hα ≡ i1 hθ hα ≡ i1 hθ

16. xz x x xy (i1) Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). Como ambos os planos são projectantes horizontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante horizontal, uma recta vertical, localizada na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. i2 φ fα α fα i (hφ) hα (hφ) hα

17. xz F2 x H2 F1 x xy H1 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). fθ F fα fθ α i2 fα i θ H hα hθ hα ≡ i1 hθ

18. xz F2 F1 x x xy Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante). Como a recta i pertence aos dois planos, o traço frontal da recta i situa-se na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A partir da projecção horizontal (F1) do traço frontal da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal, com a mesma orientação do traço horizontal (hδ) do plano δ. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal). fδ fδ ≡ i2 (fυ) δ F (fυ) i υ hδ hδ i1

19. xz F2 x H2 F1 x H1 xy INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos. Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. fα fθ F fα fθ α i2 i θ i1 H hα hθ hα hθ

20. xz R2 S2 R1 x S1 x xy INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i. α r r2 s2 s ≡ i2 (fυ) (fυ) R i S υ i1 r1 s1

21. xz I2 F’2 F2 x F’1 F1 x xy I1 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A. Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano νcom os planos α e δ. fα fδ i2 fδ fα α (fν) ≡ a2≡ b2 F’ F (fν) b i a A1 ≡ A2 I A i1 hα hα a1 b1 hδ hδ

22. xz P2 x A1≡ A 2 P1 x xy INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α. Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. fα i2 α fα ρ i P A ≡fρ ≡ hρ ≡ fρ ≡ hρ hα hα ≡ i1

23. xz P2 I2 x P1 H2 x I1 H1 xy INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal. φ fα i2 b2 ρ b fα i a2 α P I a A1≡ A 2 A ≡fρ ≡ hρ ≡ fρ ≡ hρ H (hφ) ≡ a1 ≡ b1 hα i1 A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α,permitem a definição da recta de intersecção i. hα

24. INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traços Uma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traços A projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente. A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β1,3 ou o β2,4.

25. Q2 Q’2 x Q’1 Q1 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r2 i2 s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3. Os traços das duas rectas situados no β1,3, Q e Q’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. s1 r1 i1

26. x I’1 ≡I’2 I1 ≡I2 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. r2 s2 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4. Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos. i1 ≡i2 s1 r1

27. Q2 F2 x F1 Q1 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. fα Para definir a recta de intersecção do plano α com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β1,3. Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. i2 h2 A1≡ A2 i1 hα h1

28. F2 x H2 F1 H1 I1 ≡I2 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. r2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β2,4. Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. fα A1≡ A2 hα r1 i1 ≡i2

29. x INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β1,3. A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρcom o β1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. fδ ≡ i2 i1 hδ

30. x INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β2,4. A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρcom o β1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. fδ ≡ i1 ≡ i2 hδ

31. INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO

32. xz x xy GENERALIDADES Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto. fα α I r hα

33. xz x x xy I1 INTERSECÇÃO DE UMA RECTAPROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal). fα (t2) ≡ I2 (t2) ≡ I2 α t fα I t1 hα É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal. I1 t1 hα

34. xz I2 x x I1 xy INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal). r2 fθ r2 I2 I r θ fθ I1 r1 r1 É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal. hθ hθ

35. xz I2 F2 H2 x F1 x xy H1 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante). v2 r2 r2 v2 v fρ F fρ I2 I ρ (v1) ≡ I1 (v1) ≡ I1 r1 r hρ hρ H r1 É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I.

36. INTERSECÇÃO DE RECTAS COM PLANOS • MÉTODO GERAL • Conduz-se pela recta um plano auxiliar que a contenha (em geral um plano projectante, mas não necessariamente). • Determina-se a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar. • O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. xz I2 F2 H2 x F1 x xy H1 α fα r2 v2 v v2 r2 F fρ fρ fα I2 I ρ (v1) ≡ I1 r hρ (v1) ≡ I1 H r1≡ hα hα ≡r1 hρ

37. F2 xz I2 x H2 F1 x I1 H1 xy INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). fθ fα F r2 r2 θ fθ i2 i2 i α r I2 I fα I1 H hα r1 ≡ i1 ≡ hθ r1 ≡ i1 ≡ hθ hα