Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1. SelamatDatangDalamKuliah Terbuka Ini

2. Kuliahterbuka kali iniberjudul“PilihanTopikMatematika -II”

3. DisajikanolehSudaryatno Sudirhammelaluiwww.darpublic.com

4. Sesi 2 • PangkatdariFungsi, FungsiRasional, FungsiParametrik, FungsiImplisit • TurunanFungsiTrigonometri, TrigonometriInversi, Logaritmik, Eksponensial

5. Fungsi Yang Merupakan Pangkatdarisuatu Fungsi Contoh: Contohinimenunjukkanbahwa SecaraUmum:

6. Contoh: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

7. Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi:

8. Contoh: Contoh: Contoh: (agar penyebut tidak nol)

9. Bilangantidakbulat dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 FungsiBerpangkatTidakBulat (vadalahfungsi yang bisaditurunkan) Jika y ≠ 0, kita dapatkan sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaanjikan bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

10. Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk Jika dapat diturunkan terhadap x dan dapat diturunkan terhadap t, maka dapat diturunkan terhadap t menjadi FungsiParametrikdan Kaidah Rantai Kaidah rantai

11. FungsiImplisit Sebagianfungsiimplisitdapatdiubahkedalambentukexplisitnamunsebagian yang lain tidak. Untukfungsi yang dapatdiubahdalambentukeksplisit, turunanfungsidapatdicaridengancaraseperti yang sudahkitapelajari di atas. Untukmencariturunanfungsi yang takdapatdiubahkedalambentukeksplisitperlucarakhusus, yang disebutdiferensiasiimplisit. Dalamcarainikitamenganggapbahwafungsiydapatdidiferensiasiterhadapx.

12. Jika kita peroleh turunan Contoh: Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

13. Contoh: Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh kita dapat memperoleh turunan Untuk

14. Jika maka TurunanFungsiTrigonometri Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu

15. Jika maka Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu

16. Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

17. vC iC 200 vC iC 100 0 t [detik] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -100 -200 Contoh: Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC= 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor iniadalah

18. vL iL 200 vL iL 100 0 t[detik] 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -100 -200 Contoh: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

19. 1 x y 1 y x TurunanFungsiTrigonometriInversi

20. x y 1 1 y x

21. x y 1 x 1 y

22. FungsiTrigonometridariSuatuFungsi Jika v = f(x), maka

23. Jika w = f(x), maka

24. Fungsi logaritmik didefinisikan melalui suatu integral 6 y 5 1/t 4 3 2 1 0 x t 0 1 2 3 4 1/x x +Δx 1/(x+Δx) Turunan Fungsi Logaritmik Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x ln(x+x)lnx Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx 1/x).

25. Turunan Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau . Jadi turunan dari exadalah exitu sendiri dst. Jika

26. Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: Diferensialdxdandy Turunan fungsi y(x) terhadap xdinyatakandenganformulasi dxdandydidefinisikan sebagai berikut: 1).dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalahbilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 2).dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

27. y y y Iniadalahfungsi (peubahtakbebas) dy dy dx P P P dx dx dy    x x x y y dy dx P P dx dy   x x Penjelasansecaragrafis Jikadxberubah, makadyberubahsedemikianrupasehinggady/dx samadengankemiringangarissinggungpadakurva Iniadalahpeubahbebas adalahbesar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx adalahlaju perubahan y terhadap perubahan x. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

28. Turunan Fungsi Diferensial Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabelberikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

29. sehingga Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh: Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

30. Kuliah Terbuka PilihanTopikMatematika II Sesi 2 SudaryatnoSudirham