1 / 40

Statistik Lektion 2

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes’ regel Diskrete stokastiske variable. Repetition. ∗. Stikprøve: . ∙. Population. ∙. ∗. ∗. ∙. ∙. ∙. ∙. ∗. ∙. ∙. ∙. ∙. ∗. ∗. ∙. ∙. Population Populationsstørrelse N Populationsmiddelværdi μ Populationsvarians σ 2.

marinel
Télécharger la présentation

Statistik Lektion 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. StatistikLektion 2 Betinget sandsynlighed Bayes’ regel Diskrete stokastiske variable

  2. Repetition ∗ Stikprøve: ∙ Population ∙ ∗ ∗ ∙ ∙ ∙ ∙ ∗ ∙ ∙ ∙ ∙ ∗ ∗ ∙ ∙ • Population • Populationsstørrelse N • Populationsmiddelværdi μ • Populationsvarians σ2 • Stikprøve • Stikprøvestørrelse n • Stikprøvemiddelværdi • Stikprøvevarians s2

  3. S A B A ∩ B 1, 2 3 4, 5 6 Repetition • Udfaldsrum S • Hændelse A⊆ S • Simpel hændelse Oi • Regler: • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • P(A) = Σ P(Oi) • P(S) = 1 • Regler: • P(∅) = 0 • P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) • P(A) = 1 - P(A)

  4. Lov om Total Sandsynlighed • Lov om total sandsynlighed: • Vha. B kan vi opdele A i to disjunkte dele. _ B B A

  5. Eksempel – Lov om Totalsandsynlighed • Kortspil – find sandsynligheden for at trække et billedkort, A: • Det må være sandsynligheden for at trække en billedkort i Hjerter (H), Spar (S), Ruder (R) eller Klør (K): • P(A)=P(A∩H) + P(A∩S) + P(A∩R) + P(A∩K) = 3/52 + 3/52 + 3/52 + 3/52 = 12/52 Spar Hjerter Ruder Klør A∩S A∩R A∩H A∩K A

  6. Betinget sandsynlighed • Den betingede sandsynlighed P(A|B) er sandsynligheden for hændelsen A, givet at vi ved at hændelsen B allerede er indtruffet: • Ligeledes

  7. Betinget sandsynlighed - intuition • Antag alle udfald er lige sandsynlige, dvs. • N = antal udfald i udfalds rum • NA = antal udfald i hændelse A • Hvad er sandsynligheden for A givet at B er indtruffet? ∙ S ∙ ∙ A B ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

  8. Eksempel: Sennep og Ketchup • A = ”Bruger sennep” • B = ”Bruger ketchup” • A⋂B = ”Bruger både sennep og ketchup” • P(A) = 75% P(B) = 80% P(A⋂B) = 65% • Hvad er sandsynligheden for at en ketchupbruger bruger sennep?

  9. Simultan og Marginal Sandsynlighed • Simultan sandsynlighed er sandsynligheden for at en eller flere hændelser indtræffer simultant, fx P(A∩B) • Marginale sandsynligheder beregnes ved at summere over rækker og søjler

  10. Simultan og Marginal Sandsynlighed • A = ”Bruger sennep” • B = ”Bruger ketchup” • P(A) = 75% P(B) = 80% P(A⋂B) = 65%

  11. Multiplikationsregel • Betinget sandsynlighed • Omskrives til multiplikationsreglen • Eksempel: Konsulent på jagt efter job A og job B. Sandsynligheden for at få job A er P(A) = 0.45. Givet at han får job A er sandsynligheden for at få job B P(B|A) = 0.9. • Spørgsmål: Hvad er sandsynligheden for at konsulent får både job A og job B? • Svar:

  12. Uafhængighed • To hændelser A og B er statistisk uafhængige, hvis og kun hvis • Konsekvenser: Hvis A og B er statistisk uafhængige hændelser • Fortolkning af P(B|A) = P(B): Selvom vi ved at A er indtruffet, ændrer det ikke på sandsynligheden for B.

  13. Eksempel: Check for uafhængighed • A = ”Kandidat er kvinde” • B = ”Kandidat i økonomi” • Vides: • P(A) = 48% P(B) = 17.5% P(A⋂B) = 6% • Spørgsmål: Er hændelserne A og B statistisk uafhængige? • Svar: Hvis stat. uafh, så skal der gælde • Check: P(A)P(B) = 0.48*0.175 = 0.084 ≠ 0.06 = P(A⋂B) • Dvs. A og B er ikke statistisk uafhængige.

  14. Bayes’ Sætning • Betinget sandsynlighed • Multiplikationsregel • Kombineres til Bayes’ Sætning: • Bemærk: De betingede sandsynligheder er ”vendt”.

  15. Bayes’ Udvidede Sætning • Hvis E1, E2, …, EK er disjunkte og udtømmende hændelser i S, så gælder • Bayes’ Sætning (Lov om total sandsynlighed + multiplikationsreglen)

  16. Bayes’ sætning: Test for sjælden sygdom • En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,1% af befolkningen (P(I)=0,001), er upræcis. Lad i det følgende: • Sandsynligheden for at testen er positiv når man er syg: • Sandsynligheden for at testen er positiv, når man er rask: • Hvad er så sandsynligheden for at man er syg, givet at testen var positiv?

  17. Stokastisk Variabel: Et eksempel Betragt de forskellig mulige ordninger af drenge (B) og piger (G) i fire fødsler. Der er2*2*2*2=24 = 16mulighederog udfaldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sandsynlige, [P(G) = P(B) = 1/2], og kønnet af hvert barn er uafhængig af kønnet på det foregående barn, så er sandsynligheden for hver af disse 16 muligheder: (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.

  18. Eksempel - fortsat • Tæl antallet af piger i hver af de fire fødsler: • BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2) • BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3) • BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3) • BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4) • Bemærk at: • hvert mulig udfald tildeles en enkelt værdi • værdierne, der tildeles varierer over de forskellige udfald • Antallet af piger er en stokastisk variabel: • En stokastisk variabel , X, er en funktion, der tildeler en enkelt, men variabel værdi til hvert element i udfaldsrummet.

  19. BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG 0 1 X 2 3 4 Udfalds rum Eksempel - fortsat Punkter på den reelle linie

  20. X: S R Stokastisk variabel - formel definition • En stokastisk variabelX er en funktion defineret på S (udfaldsrummet), der antager værdier på R (reelle tal) • I eksperimenter knyttes en talværdi til hvert udfald: • Stokastiske variable kan enten være diskrete eller kontinuerte. • Diskrete: Antager et endeligt antal værdier • Kontinuerte: Antager værdier i en mængde af reelle tal X S oi R 0 X(oi)

  21. Eksempler på diskrete og kontinuerte variable Resten af denne forelæsning ser vi på diskrete stokastiske variable

  22. Eksempel - fortsat Eksempel: Den stokastisk variabel X = 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB forekommer, P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16 Sandsynligheds fordelingen af en stokastisk variabel er en tabel, der opskriver alle de mulige værdier af en stokastisk variabel og deres tilknyttede sandsynligheder. x P(X=x) For eksemplet: 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1

  23. Eksempel - fortsat Sandsynlighedsfordeling for antal piger i fire fødsler Sandsynlighed, P(x) Antal piger, X

  24. Sandsynligheds fordeling Definition: Lad X:S→R være en diskret stokastisk variabel. P(X=x) = P(x) er en sandsynligheds-fordeling (-funktion) for X, hvis: Notation: Store bogstaver (fx X) betegner stokastisk variable. Små bogstaver (fx x) betegner konkrete værdier af X.

  25. Kumulativ fordelingsfunktion Den kumulative fordelingsfunktion, F(x), for en diskret stokastisk variabel X er: Kumulative fordelingsfunktions for antallet af piger ved 4 fødsler: x P(x)F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00 1 . 0 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 6 ) x ( 0 . 5 F 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 . 0 0 1 2 3 4 x

  26. x P(x)F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00 Eksempel - fortsat

  27. Middelværdi • Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X er givet ved: • Dvs. summen af værdien gange sandsynligheden for værdien – et vægtet gennemsnit. • Bemærk! Middelværdien for en stokastisk variabel kaldes også den forventede værdi.

  28. Middelværdi - Eksempel x P(x) xP(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1 Eksempel: X er antal øjne ved terningkast. Dvs. P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) =1/6. Den forventede værdi er:

  29. Varians • Variansen for en diskret stokastisk variabel er givet ved: • Standard afvigelsen er kvadratroden af variansen:

  30. Varians: Eksempel x x2 P(x) x2P(x) xP(x) 0 0 1/16 0 0 1 1 4/16 4/16 4/16 2 4 6/16 24/16 12/16 3 9 4/16 36/16 12/16 4 16 1/1616/164/16 1 80/16 32/16

  31. Regneregler for middelværdi og varians • Hvis X er en diskret stokastisk variabel, da er middelværdien for en funktion h(X) givet ved • Regneregler for en lineær funktion af X :

  32. Eksempel • Håndboldspiller er på resultatkontrakt, hvor han får 1500kr i bonus pr mål. • Lad X være den stokastiske variabel, der svarer til antal mål scoret i èn kamp. • Det vides at E[X] = 4.6 V[X] = 5.2 • Hvad er den forventede bonus pr kamp? Variansen? • Bonus pr kamp: B = 1500 X • E[B] = V[B] =

  33. Simultan Sandsynlighedsfordeling • Hvis X og Y er to stokastiske variable, så er P(X=x,Y=y) = P(x,y) en simultan sandsynlighedsfunktion for X og Y, hvis • Den Marginal sandsynlighedsfordeling er (joint probability function)

  34. Eksempel: Alder og Salg • Sammenhæng mellem aldersgruppe (X) og købsmønster (Y):

  35. Betinget Sandsynligheder for SV • For to diskrete stokastiske variable er den betingede sandsynligheden for X=x givet Y=y givet ved • Eksempel: Betingede sandsynlighed for køb (Eksempel: Betingede sandsynlighed for køb (Y=1) givet kund i aldergruppen 26 til 45 (X = 2). • Svar:P(X=2,Y=1) = P(2,1) = 0.20 ogP(X=2) = 0.45

  36. Uafhængighed • To diskrete stokastiske variable X og Y er uafhængigehvis og kun hvis for alle x og y, hvor P(x) og P(y) er de marginale sandsynligheds-funktioner. • Eksempel: Er aldersgruppe og købsmønster uafhængige? • Svar: Dvs. der er ikke uafhængighed.

  37. Kovarians • X stokastisk variabel med forventet værdi μX • Y stokastisk variabel med forventet værdi μY • Kovariansen mellem X og Y er givet ved • Hvis X og Y har diskrete stokastiske variable med simultan sandsynligheds funktion P(x,y), så er kovariansen givet ved

  38. Middelværdi og Varians for Par af Stokastiske Variable • Lad X være SV med forventet værdi mx og varians s2X • Lad Y være SV med forventet værdi mY og varians s2Y • Da gælder • Eksempler: • E[X+Y] = V[X+Y] = • E[X-Y] = V[X-Y] =

  39. Regneregler for middelværdi og varians Middelværdien af en linearkombination af stokastiske variable X1,X2,…,Xk. Hvis X1,X2,…,Xk er indbyrdes uafhængige, så:

More Related