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2 ）关系特有的运算：有 domR 、 ranR 、 fldR 、 R -1 、 R 〇 A F G 和 R[A] 。. 问：已经学过的关系的运算有哪一些？. 1 ）集合的运算：有 一类运算： 广义并，广义交，幂集，绝对补；和 二类运算： 并，交，相对补，对称差。. 为了使集合表达式更为简洁，我们进一步规定：本节所定义的关系运算中逆运算优先于其它运算，而所有的关系运算都优先于集合运算，对于没有优先权的运算以括号决定运算顺序。. 定理 7.1 设 F 是任意的关系，则 (1)(F -1 ) -1 =F (2)domF -1 =ranF ， ranF -1 =domF.
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2）关系特有的运算：有domR、ranR、fldR、R-1、R〇A F G和 R[A]。 问：已经学过的关系的运算有哪一些？ 1）集合的运算：有一类运算：广义并，广义交，幂集，绝对补；和二类运算：并，交，相对补，对称差。 为了使集合表达式更为简洁，我们进一步规定：本节所定义的关系运算中逆运算优先于其它运算，而所有的关系运算都优先于集合运算，对于没有优先权的运算以括号决定运算顺序。
定理7.1设F是任意的关系，则(1)(F-1)-1=F(2)domF-1=ranF，ranF-1=domF 证(1)任取<x,y>，由逆的定义有<x,y>∈(F-1)-1<y,x>∈F-1<x,y >∈F。所以有(F-1)-1=F。 (2)任取x, x∈domF-1y(<x,y>∈F-1) y(<y,x>∈F)x∈ranF 所以有domF-1=ranF。
定理7.2设F，G，H是任意的关系，则(1)(FoG)oH=Fo(GoH)(2)(FoG)-1=F-1oG-1定理7.2设F，G，H是任意的关系，则(1)(FoG)oH=Fo(GoH)(2)(FoG)-1=F-1oG-1 证(1)任取<x,y>,<x,y>∈(FoG)oH t(<x,t>∈FoG∧(t,y)∈H) t(s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) ts(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s(<x,s>∈F∧t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s(<x,s>∈F∧<s,y>∈GoH) <x,y>∈F(GoH)所以(FoG)H=F(GoH)
（2）任取<x,y>,<x,y>∈(FoG)-1 <y,x>∈FoG t(<y,t>∈F∧(t,x)∈G) t(<x,t>∈G-1∧(t,y)∈F-1) <x,y>∈G-1oF-1所以（FoG）-1=F-1oG-1。
定理7.3设R为A上的关系，则RoIA=IAoR=R 证任取<x,y><x,y>∈RoIA t(<x,t>∈R∧(t,y)∈IA) t(<x,t>∈R∧t=y) => <x,y>∈R <x,y>∈R => <x,y>∈R∧y∈A => <x,y>∈R∧<y,y>∈IA => <x,y>∈RoIA 综合上述有RoIA=R。
定理7.4设F，G，H是任意关系，则(1) Fo(G∪H)=FoG∪FoH(2) (G∪H)oF=GoF∪HoF(3) Fo(G∩H)FoG∩FoH(4) (G∩H)oFGoF∩HoF 证(3)任取<x,y>,<x,y>∈Fo(G∩H) t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G∩H) t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G∧<t,y>∈H) t((<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧(<x,t>∈F∧<t,y>∈H)) => t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧ t(<x,t>∈F∧<t,y>∈H)) <x,y>∈FoG∧<x,y>∈FoH <x,y>∈FoG∩FoH 所以有F(G∩H)FG∩FH。
由数学归纳法不难证明定理7.4的结论对于有限多个关系的并和交也是成立的，即有由数学归纳法不难证明定理7.4的结论对于有限多个关系的并和交也是成立的，即有 Ro(R1∪R2∪…∪Rn)=RoR1∪RoR2∪…∪RoRn (R1∪R2∪…∪Rn)oR=R1oR∪R2oR∪…∪RnoRRo(R1∩R2∩…∩Rn)RoR1∩RoR2∩…∩RoRn (R1∩R2∩…∩Rn)oRR1oR∩R2oR∩…∩RnoR
定理7.5设F为关系，A，B为集合，则(1) F (A∪B)=F A∪F B(2) F[A∪B]=F[A]∪F[B](3) F (A∩B)F A∩F B(4) F[A∩B]F[A]∩F[B] 证(4) 任取y， y∈F[A∩B] x(<x,y>∈F∧x∈A∩B) x(<x,y>∈F∧x∈A∧x∈B) x((<x,y>∈F∧x∈A)∧(<x,y>∈F∧x∈B)) => x(<x,y>∈F∧x∈A)∧x(<x,y>∈F∧x∈B) y∈F[A]∧y∈F[B] y∈F[A]∩F[B] 所以有F[A∩B]F[A]∩F[B]。
定义7.10设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：（1） R0={<x,x>|x∈A}=IA（2） Rn+1=RnoR 由以上定义可知，对于A上的任何关系R1和R2都有R10=R20=IA也就是说，A上任何关系的0次幂都相等，都等于A上的恒等关系IA。 此外对于A上的任何关系R都有R1=R，因为R1=R0oR=IAoR=R
给定A上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n≥2的情况。 如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次右复合计算得到Rn。 如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑加，即1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rn的关系图G'。G'的顶点集与G相同。考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路径到达顶点xj，则在G'中加一条从xi到xj的边。当把所有这样的便都找到以后，就得到图G'。
则R2，R3，R4的关系矩阵分别是 M2= = 例7.8设A = {a,b,c,d}，R = {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示。 解R的关系矩阵为M=
M4=M3M= = M3=M2M= = 因此M4=M2，即R4=R2。因此可以得到R2=R4=R6=…R3=R5=R7=…而R0=IA，R各次幂的关系矩阵都得到了。
用关系图的方法得到R0, R1, R2, R3,…的关系图如图所示
定理7.6设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。 证R为A上的关系，对任何自然数k，Rk都是A×A的子集。又知|A×A|=N=n2，|P(A×A)|=2N，即A×A的不同子集仅2N个。当列出R的各次幂R0，R1，R2，…，R2N，…，必存在自然数s和t使得Rs=Rt。 该定理说明有穷集上只有有穷多个不同的二元关系。当t足够大时Rt必与某个Rs(s<t)相等。如例7.8中的R4=R2。
定理7.7设R是A上的关系，m,n∈N，则(1)RmoRn=Rm+n(2)(Rm)n=Rmn定理7.7设R是A上的关系，m,n∈N，则(1)RmoRn=Rm+n(2)(Rm)n=Rmn 证 用归纳法(1) 对于任意给定的m∈N,施归纳于n。若n=0，则有 RmoR0=RmoIA=Rm=Rm+0 假设RmoRn=Rm+n，则有RmoRn+1=Rmo(RnoR)=(RmoRn)oR=Rm+n+1，所以对一切m,n∈N有RmoRn=Rm+n。
定理7.8设R 是A上的关系，若存在自然数s,t(s<t)使得Rs=Rt，则(1) 对任何k∈N有Rt+k=Rt+k(2) 对任何k,i∈N有Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s(3) 令S={R0，R1，…，Rt-1}，则对于任意的q∈N有Rq∈S 证(2) 对k归纳。若k=0，则有Rs+0p+i=Rs+i假设 Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s，则Rs+(k+1)p+i=Rs+kp+i+p=Rs+kp+ioRp =Rs+ioRp=Rs+p+i=Rs+t-s+i =Rt+i=Rs+i 由归纳法命题得证。
证 (3) 任取q∈N，若q<t，显然有Rq∈S，若q≥t，则存在自然数k和i使得q=s+kp+i其中p=t-s, 0≤i≤p-1。于是Rq=Rs+kp+i=Rs+i 而s+i≤s+p-1=s+t-s-1=t-1这就证明了 Rq∈S。 通过上面的定理可以看出，有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，…是一个周期性变化的序列。就象正弦函数一样，利用它的周期性可以将R的高次幂化简为R的低次幂。
例7.9设A={a,b,d,e,f}，R={<a,b>,<b,a>,<d,e>,<e,f>,<f,d>}。求出最小的自然数m和n，使得m<n且Rm=Rn。 解 由R的定义可以看出A中的元素可分成两组，即{a,b}和{d,e,f}。它们在R的右复合运算下有下述变化规律：a→b→a→b…d→e→f→d→e→f…对于a或b,每个元素的变化周期是2。对于d，e，f，每个元素的变化周期是3。因此必有Rm=Rm+6，其中6是2和3的最小公倍数。取m=0,n=6即满足题目要求。
