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第十二章 微分方程

第十二章 微分方程. 微分方程的基本概念 可分离变量法. 一阶微分方程及其解法. 全微分方程. 可降阶的高阶微分方程及其解法. 高阶线性微分方程. 二阶常系数齐次线性微分方程. 二阶常系数非齐次线性微分方程. 绪论. 微分方程的定义. 主要问题 ---- 求方程的解. 小结、思考题. 第一节 微分方程的基本概念. 一、 绪 论. 所谓微分方程，就是一个或几个包含自变量、未 知函数以及未知函数的某些微商的关系式。. 例如，以下这些都是微分方程：. 解. 解. 代入条件后知. 故. 开始制动到列车完全停住共需. 二、 微分方程的定义.

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第十二章 微分方程

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  1. 第十二章 微分方程 微分方程的基本概念 可分离变量法 一阶微分方程及其解法 全微分方程 可降阶的高阶微分方程及其解法 高阶线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程

  2. 绪论 微分方程的定义 主要问题----求方程的解 小结、思考题 第一节 微分方程的基本概念

  3. 一、绪 论 所谓微分方程，就是一个或几个包含自变量、未 知函数以及未知函数的某些微商的关系式。 例如，以下这些都是微分方程：

  4. 解

  5. 解

  6. 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需

  7. 二、微分方程的定义 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质： 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.

  8. 分类2 分类1 常微分方程,(未知函数是一元函数） 偏微分方程 （未知函数是多元函数） 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程

  9. 分类3 分类4 线性与非线性微分方程. 如果方程对于未知函数和它的各阶微商的全体而言是一次的，称为线性微分方程；否则，称为非线性微分方程。 单个微分方程与微分方程组.

  10. 三、主要问题--求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

  11. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.

  12. 一阶: 二阶: 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题. 过定点的积分曲线; 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

  13. 解

  14. 所求特解为 微分方程的初等解法: 初等积分法. 补充： 求积分 求解微分方程 (通解可用初等函数或积分表示出来)

  15. 例4.求下列曲线族所满足的微分方程 分析 求曲线族所满足的微分方程，就是求一方程，使所给曲线族为该方程的积分曲线族，故要求的微分方程其阶数应和曲线族中参数的个数一致 解

  16. 从（1）（2）中消去c即从（1）中解出c代入 （2）有 即为所求

  17. 两边再对x求导

  18. 微分方程 微分方程的解 微分方程的阶 初始条件 积分曲线 初值问题 小 结 通解 特解

  19. 思考题

  20. 中不含任意常数, 思考题解答 故为微分方程的特解.

  21. 可分离变量的微分方程 典型例题 小结 第二节 可分离变量的微分方程

  22. 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 解法 分离变量法 为微分方程的解.

  23. 二、典型例题 例1求解微分方程 解 分离变量 两端积分

  24. 例2 求解微分方程 解：

  25. 例3求解微分方程

  26. 解 通解为

  27. 解 由题设条件 衰变规律

  28. 重力加速度 流量系数 孔口截面面积 例6 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为

  29. 水面的高度由h降至 , 设在微小的时间间隔 比较(1)和(2)得:

  30. 可分离变量 即为未知函数的微分方程. 所求规律为

  31. 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内 的通入量 的排出量 例7 解

  32. 的改变量 的排出量 的通入量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到

  33. 思考题 求解微分方程

  34. 思考题解答 为所求解.

  35. 第三节、齐次方程 定义 的微分方程称为齐次方程. 解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程

  36. 例 1求解微分方程 解 微分方程的解为

  37. 例 2求解微分方程 解

  38. 微分方程的解为

  39. 例 3求解微分方程

  40. 例4抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 如图 解

  41. 由夹角正切公式得 得微分方程

  42. 分离变量 积分得

  43. 平方化简得 抛物线

  44. 可化为齐次的方程 1.定义 为齐次方程. 否则为非齐次方程. 2.解法 （其中h和k是待定的常数）

  45. 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用.

  46. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量.

  47. 解 代入原方程得

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