Schätzen mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten

1. Schätzen mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten Reimar Hofmann Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft

2. Objektive Wahrscheinlichkeiten Voraussetzung: Beliebig oft wiederholbares Experiment, bei dem ein Ereignis A eintreten kann oder nicht. Wahrscheinlichkeit P(A): Anteil der Versuche, bei denen A im Mittel eintritt. (bei sehr vielen Wiederholungen des Experimentes) Beispiel: Roulette-Spiel, Ereignis „es kommt rot“ P(rot)= 18 / 37

3. Objektiver Erwartungswert Voraussetzung: Beliebig oft wiederholbares Experiment, bei dem zufallsabhängig eine Zahl X ermittelt wird. Erwartungswert E(X): Wert, um den sich der arithmetische Mittelwert von X bei sehr vielen Wiederholungen einpendelt. Beispiel: Roulette-Spiel, 1€ auf Rot setzenX = Höhe des Gewinns • E(X) = 18/37  (-1 €) + 18/37  1 € + 1/37  (-0,5 €)  -1,4 Ct schwarz rot grün

4. Was ist bei einmaligen Ereignissen? Sie sind Kandidat bei „Wer wird Millionär“ ,haben schon 32.000 €,haben bei der 64.000 €-Frage eine Vermutung. Was ist die „Wahrscheinlichkeit“p, dass Sie richtig liegen? Was soll hier „Wahrscheinlichkeit“ heißen, wozu?  Um die richtige Entscheidung zu treffen: • Aufhören:E(Gewinn) = 32.000 € • Weiterspielen:E(Gewinn) = 64.000 € p + 16.000 €  (1 – p) = = (64.000 € - 16.000 €)  p + 16.000 € = 48.000 €  p + 16.000 € • Weiterspielen ist besser als Aufhören falls p > 1/3

5. Subjektive Wahrscheinlichkeiten Bei nicht wiederholbaren Vorgängen ist der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht anwendbar. Subjektive Wahrscheinlichkeit: Drückt die persönliche Einschätzung eines Ereignisses aus, z.B. zu welchen Quoten würde man dafür/dagegen wetten. Verschiedene Menschen können dasselbe Ereignis unterschiedlich einschätzen. Beispiel: Ich: P(morgen Regen) = 30%Sie: P(morgen Regen) = 20% Was, wenn es morgen nicht regnet? Selbst im Nachhinein ist keiner von beiden widerlegt.

6. Subjektive Wahrscheinlichkeiten verifizieren • Das Experiment kann nicht wiederholt werden, aber das Schätzen von verschiedenen Experimenten schon: Wenn Person A viele unterschiedliche Experimente schätzt, dann sollten von den mit 20% geschätzten Ereignissen auch ca. 20% eintreten. • Verschiedene Schätzungen einer Person sollten zueinander konsistent sein, z.B: P(Regen am Wochenende)  P(Regen am Sa) + P(Regen am So)

7. Subjektive Bewertungen • Von 2 Mrd. Flugpassagieren im Jahrsterben im Mittel 500 durch Unfälle •  pro Flug Unfallwahrscheinlichkeit = 0,25 mor ( 500 / 2 Mrd.) ( 1 mor: Risiko Eins zu einer Million, zu sterben ) Wie viel „lohnt“ sich zu investieren, um das Risiko zu reduzieren? „Lohnen“ sich pro Flugticket zusätzliche 10 €, wenn das Risiko damit halbiert werden kann? • Darf man Geld gegen Unfalltote abwägen??? • „Sicherheit hat oberste Priorität“ Verkehrsminister Ramsauer zum Flugverbot, 18.04.2010

8. Menschen wägen ständig zwischen Äpfeln und Birnen ab • Regenschirm mitnehmen? Schleppen  nass werden • Sicherheitszubehör fürs Auto: Geld  Tod • Tauchen:Spass  Tod • Kino: Spass  Geld • Rauchen: Genuss  Gesundheit  Wir bewerten ständig nicht vergleichbare Dinge gegeneinander, indem wir Entscheidungen treffen.

9. Einige Risikowahrscheinlichkeiten quantifiziert: Aktivität Todesfall-Risiko • Flug 0,25 mor (Unfall) • Eine Zigarette rauchen 0,7 mor (Krankheit) • 0,5 l Rotwein trinken 1 mor (Leber) • 1 Mal Flaschentauchen 5 mor (Unfall) • Natürlicher Tod pro Tag 34 mor • Lebenserwartung: 80 Jahre = 29200 Tage Todesrisiko pro Tag = 1/29200  34 mor

10. Entscheiden Menschen in konsistenter Weise? 10 € mehr für ein Flugticket, wenn sich das Risiko dadurch halbiert?  Ja? Für 50 € auf das Rauchen einer Zigarette verzichten? Ja? Subjektive Bewertungen ableitbar: Genuss einer Zigarette < 50 € (da verzichtbereit) Genuss einer Zigarette > 0,7 mor (da Raucher)  0,7 mor < 50 €  „ganzer“ Todesfall < 71 Mio € ( 50 € / 0,7mor ) (1/4 – 1/8) mor > 10 € (kauft sicheren Flug)  ganzer Todesfall > 80 Mio. € Inkonsistent.

11. 2 Mrd € pro Tag; „lohnte“ das Flugverbot? ^ Annahme: 30 € = 1 mor [Selbstbewertung]  2 Mrd € = 67 Tote [pro Tag!!!] Objektiven Schätzung aus frühere Aschebegegnungen: Ca. 20 Fälle, alle ohne Absturz Also Absturzrisiko < 1/20  zu grob geschätzt Subjektiver Schätzversuch: 100 Passagiere pro Flugzeug, 67 Tote pro Tag entspricht einem Absturz je 1,5 Tage Glauben Sie, dass so viel passiert wäre?  Wie weit weg vom Vulkan?  Wie empfindlich sind Flugzeuge bei anderen Störungen?  Analogieschlüsse … ^

12. Bei großer Unsicherheit: Testen?Beispiel: Aschewolke Ein Absturz ist ähnlich „teuer“ wie 1,5 Tage Flugverbot. Risiko durch Ausprobieren ermitteln: Störung länger als 2 Tage? Flugbetrieb nach und nach wieder aufnehmen. Falls Absturz innerhalb von zwei Tagen: Wieder sperren, da Risiko > Schaden Entscheidung den Passagieren selbst überlassen:Die risikofreudigen testen freiwillig die Wahrscheinlichkeit aus. Die vorsichtigeren fliegen erst, wenn das Risiko durch genügend „Vorexperimente“ abschätzbar ist.

13. NoRisk No Fun • Viel Spass bei der Langen Nacht • Das Risiko ist sehr überschaubar…