材料强度的统计计算

材料强度的统计计算 多尺度力学分析的典型算法作者：张鹏指导教师：苏先樾计算力学课程报告作者：张鹏

强度统计计算与多尺度力学 计算力学课程报告作者：张鹏

算法介绍1 • 脆性材料的强度对裂纹分布非常敏感微裂纹平均密度微裂纹平均长度长度的涨落密度的涨落影响材料强度原因微裂纹串接过程取决于裂纹间的强相互作用

算法介绍2 • 为揭示强度对微裂纹分布的敏感性，需要采用统计计算方法材料破坏概率（与统计变量的关系）裂纹扩展后的期望长度拟和破坏曲线 …… 微裂纹平均密度微裂纹平均长度长度的涨落密度的涨落统计计算

问题描述1 • 无限大平板，包含N个共线裂纹，无穷远处作用有均匀拉应力σ∞

问题描述2 • a：半裂纹长 • c：裂纹间距 • a和c都是统计变量，它们的统计分布用函数f(a)、p(c)来表示，c-,c+,a-,a+是c和a的下届和上届。

问题描述3 • 目标 • 求出σ∞作用下的材料破坏概率 • 用直接数值模拟进行校验 • 用适当的分布函数拟和破坏概率曲线

简化问题 • 主要考虑相邻的两个微裂纹之间的强相互作用

裂尖应力强度因子 • A点的SIF（stress intensify factor）： • 其中F是无量纲函数

一个特例（ a’=a’’=a0 ） • N个长度相同的裂纹，间距不同（即a’=a’’=a0） • 则f(a)是Dirac delta 函数δ(a-a0)当a’=a’’= a0时，c的分布函数p(c)是一个正态分布，c的取值范围为（c-,c+），平均间距记为c0

不同c0/ a0比率下的KA－ c/ a0图 • 当a’=a’’= a0时，KA是一个c/ a0单调递减函数

σ∞的临界值σth∞ • σth∞：满足使裂纹扩展的σ∞最小值 • KIC是基体断裂刚度

对应给定σ∞的临界裂纹间距ccr1 • ccr1：σ∞作用下不至于连通的最小裂纹间距

不同σ∞对应的不同情况 • 如果σ∞ < σth∞，应力小于使基体断裂的最小应力，裂纹不会扩展。 • 如果σ∞ ≥ σth∞，则间距小于ccr1的相邻裂纹将连通。

裂纹长度与间距分布函数的变化 • 裂纹连通后，裂纹长度和间距的分布函数p(c)和f(a)将改变 Heaviside step函数连通概率没有连通的裂纹连通的裂纹

扩展后的微裂纹长度及间距的期望值

+ 计算流程图 σ∞+f(a)+p(c) f1(a) + p1(c) Repeat a0+c0 KA>KIC? KA>KIC? ccr1 ccr2

重复n次后 • 裂纹长度 • 第k次扩展后的裂纹间距期望值 • 第k次扩展的临界裂纹长度 • 总循环次数M

破坏概率 • 根据WLT以及有关的统计学知识，我们可以得到材料的破坏概率Pfail为 1 （M＝1）其中（M > 1）

直接数值模拟 • Kmax达到KIC时，我们就把相邻的这两个裂纹连接，然后分析得到新的裂纹状态下的远处的应力状态。这一过程可以逐步循环实现。统计预测与直接数值模拟的对比

用Weibull分布拟和破坏概率曲线 • Weibull提出用如下带三个参数（m, σu,σ0）的分布函数描述脆性材料的强度 • W(σ)是应力为σ时的破坏概率（横轴为） • σu表明累积破坏概率开始增长的位置 • σ0标示了破坏概率曲线的过渡区的尺度 • 无量纲的参数m（称为Weibull模量）描述了脆性材料中的裂纹分布特性

用Weibull分布拟和破坏概率曲线 即上式在一个lnln-ln的Weibull图中为一条斜率为m的直线

用Weibull分布拟和破坏概率曲线 • 如果前面分析的累积破坏概率函数可以用Weibull分布近似，那么它应该在lnln-ln的Weibull图中呈直线。 • 我们可以把数据在Weibull图中标示出测定Weibull模量m，也可以估计m,σu,σ0这三个参数与s和N之间的关联。

Weibull图（s＝0.2）

Weibull图（N＝300）

THE END 张鹏2003.5.27

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