Srikandi Kumadji

BUSINESS OPERATION RESEARCH (B O R ) Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB

LINEAR PROGRAMMING (LP) Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB

LINEAR PROGRAMMING TUJUAN LP PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN DALAM LP ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP SEJARAH LP MODEL FORMULASI

MATERI YANG MENARIK • TUJUAN LP Meningkatkan konsentrasi Belajar Memudahkan pemahaman Mahasiswa PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN DALAMLP ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP Meningkatkan Kemampuan Dosen Meningkatkan gairah belajar SEJARAH LP MODEL FORMULASI Meningkatkan Mutu Mahasiswa

TUJUAN LP Tujuan utama suatu usaha bisnis: Memaksimumkan laba atau Meminimumkan biaya.

Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendala sumberdaya • Baik tujuan maupun kendala pada umumnya dalam kondisi deterministik. • Sehubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tersebut . • Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan.

Sumberdaya meliputi: • mesin-mesin • tenaga kerja • uang • waktu • kapasitas gudang (ruangan) • material • dll

Sumberdaya tersebut akan digunakan utk memproduksi: • barang: • sandang • pangan • papan • dll • jasa : • rencana pengiriman dan produksi • keputusan investasi • kebijakan advertensi • dll

PERSYARATAN YG DIPERLUKAN DLM L P 1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya 2. Perusahaan mempunyai keterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan. 3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu di antaranya dipakai atau dipilih untuk mencapai tujuan. 4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > ) matematik yang linier.

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP 1. Kondisi-kondisibisnisdalamperusahaandalamkepastiandimananilai-nilai, jumlah-jumlahdalamfungsitujuandankendaladiketahuidenganpasti (deterministik), tidakberubahselamaperiodeanalisis. 2. Hubungandalamfungsitujuandankendalaadalahproporsionaldalambentukmatematik yang linier, contoh :

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP 1L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40 M < 60X jika X = 2, maka M < 120 jika X = 5, maka M < 300

Asumsi Yang BerlakuDalam LP...lanjt 3. Bentukfungsitujuandankendalabesifataditivity, artinyajumlah total nilaikegiatan = penjumlahandarinilai-nilaikegiatanindividu : L = $3 X1 + $5 X2 Jika X1 = 10 dan X2 = 20, maka L = $3(10) + $5(20) = $ 130. 4. Barangdanjasa yang dihasilkan (variabelkeputusan) haruspositifbukannegatif (non negatively) paling tidaknol (tidakmenghasilkan)

Sejarah Linier Program 1. LP dikembangkansebelum PD II olehmatematikawanRusia, A.N. Kolmogorovdan Leonid Kantorovicpenerimanobel “OptimasiPerencanaan”. 2. Dalamaplikasi LP dikembangkanoleh Stigler (1945) dalampersoalanDiit (kesehatan). 3. Tahun (1947), George D. DantzigmengembangkanSolusi LP DenganMetode Simplex. JasaDantziginiluarbiasasehinggakitakenalsampaisekarangdenganistilah “Linier Programming”. DantzigmatematikawandiAngkatanUdaraInggrismenjabatsebagaikepalaPengendaliAnalisisPerangAngkatanUdara.

Sejarah Linier Program….lanjt Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-unit tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier. 4. Setelah PD II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. 5. Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan model yang lebih superior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

Model Formulasi Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik tertentu. Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, yg didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer.

Model Formulasi Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan oleh perusahaan, misalnya : X1 = jumlah Radio X2 = jumlah Televisi X3 = jumlah Kulkas yang akan diproduksi

Model Formulasi… lanjt Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui. Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yg menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat variabel keputusan.

Model Formulasi… lanjt Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel keputusan yg menggambarkan keterbatasan sumberdaya. Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah Tenaga Kerja utk memproduksi radio sebesar 40 jam/hari selama periode produksi. Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau kendala juga merupakan parameter.

METODE GRAFIK

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk. Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.

METODE GRAFIK PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ ....lanjt • Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin. • Pertanyaan: • 1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula matematika) • Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal

Metode Grafik / Maksimasi Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut : Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya : Max. TR = 3000A + 3000B Stc. P : 2A + B < 30 Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72 A , B > 0

Metode Grafik / Maksimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA • Max. TR = 3000A + 3000B Stc. P : 2A + B < 30 Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72 A , B > 0 P : 2A + B < 30 Jika A = 0 , maka B = 30 Jika B = 0 , maka A = 15 2A + B < 30 • R : 4A + 3B < 72 Q : 2A + 3B < 60

Metode Grafik / Maksimasi FISIBLE AREA dan ISO REVENUE TR = 3000A + 3000B  B = TR/3000 - A 0 = 3000(0) + 3000(0) 45000 = 3000(15) + 3000(0) 60000 = 3000(0) + 3000(20) 63000 = 3000(9) + 3000(12) 66000 = 3000(6) + 3000(16) P • > 66000 = IMPOSIBLE B Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit TR = $ 66000 • • Evaluasi Sumberdaya : P : 2(6) + 1(16) = 28 jam  sisa 2 jam Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam  persis R : 4(6) + 3(16) = 72 jam  persis Q R • • A

KEPUTUSAN BERALTERNATIF Metode Grafik / Maksimasi 1) Antara titik A dan B 2) Antara titik B dan C 3) Antara titik C dan D A • B • C • D •

Variabel Slack Metode Grafik / Maksimasi • Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan. • Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. • -

Variabel Slack Metode Grafik / Maksimasi lanjt • Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah : • P : 2A + B < 30 • Q : 2A + 3B < 60 • R : 4A + 3B < 72 • Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada • kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. : • P : 2A + B + S1 = 30 • Q : 2A + 3B + S2 = 60 • R : 4A + 3B + S3 = 72

Metode Grafik / Maksimasi …lanjt • Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan. Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. • Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan : • P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 • Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 • R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6

Metode Grafik / Maksimasi… lanjt • Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada sumberdaya P atau disebut slack P. • Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan. • Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

Metode Grafik / Maksimasi Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap A danB. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis : TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S3

Metode Grafik / Maksimasi Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya : A, B , S1, S2 dan S3 > 0 Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.: Maksimumkan: TR = 3000 A + 3000 B + 0S1 + 0S2 +0S3 Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3< 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

Metode Grafik / Maksimasi Max. TR = 3000 A + 3000B Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3< 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0 A = 0 B = 20 TR = 60000 S1 = 10 S2 = 0 S3 = 12 A = 6 B = 16 TR = 66000 S1 = 2 S2 = 0 S3 = 0 • w A = 9 B = 12 TR = 63000 S1 = 0 S2 = 6 S3 = 0 • X • Y A = 15 B = 0 TR = 45000 S1 = 0 S2 = 30 S3 = 12 Z •

Contoh : Perusahaan Radio Perusahaan Radio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk memproduksi kedua bahan tersebut memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter. Metode Grafik / Minimasi KASUS MINIMASI

Contoh : Perusahaan Radio(lanjt) Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100> Pertanyaan: Berapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimal? Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan bakunya. Metode Grafik / Minimasi KASUS MINIMASI

Metode Grafik / Minimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA Min. TC = 80A + 100B Stc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0 MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A B A D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A B B S : 6A + 12B > 24 B > 2 - 0,5 A A A

FISIBLE AREA dan ISO COST Metode Grafik / Minimasi Solusi Optimal : B.Pelarut A = 2,4 unit B.Pelarut B = 0,8 unit TC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272 Penggunaan Sumberdaya : MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt.  persis D = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt.  > 20 S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt.  persis • ( 2, 4 ; 0,8 )

Semoga bermanfaat dan Selamat Belajar

Soal N0. 8 Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum. a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini. b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.

Soal N0.12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin. a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini. b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.

Terima kasih 41

Srikandi Kumadji