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アルゴリズム，応用グラフ理論，グラフ描画

アルゴリズム，応用グラフ理論，グラフ描画. 西関　隆夫. 東北大学　大学院情報科学研究科. 自己紹介. 東北大学工学部通信工学科 「 PCM パルス波形， FFT 」 同　　電気及通信工学修士修了 「集中定数回路網合成に関する研究」 同　　博士修了 「回路網接続の位相幾何学的研究」 同　　工学部通信工学科　助手 グラフ理論，アルゴリズム 同　　助教授 線形時間アルゴリズム、グラフ描画、 VLSI レイアウト Carnegie-Mellon 大学数学科客員研究員 　　東北大学工学部通信工学科　教授 同　　情報科学研究科　教授

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アルゴリズム，応用グラフ理論，グラフ描画

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Presentation Transcript

  1. アルゴリズム，応用グラフ理論，グラフ描画 西関　隆夫 東北大学　大学院情報科学研究科

  2. 自己紹介 東北大学工学部通信工学科 「PCMパルス波形，FFT」 同　　電気及通信工学修士修了 「集中定数回路網合成に関する研究」 同　　博士修了 「回路網接続の位相幾何学的研究」 同　　工学部通信工学科　助手 グラフ理論，アルゴリズム 同　　助教授 線形時間アルゴリズム、グラフ描画、VLSIレイアウト Carnegie-Mellon 大学数学科客員研究員 　　東北大学工学部通信工学科　教授 同　　情報科学研究科　教授 同　　副研究科長、教育研究評議員 1969 1971 1974 1974 1976 1977-78 1988 1993 2005

  3. 可視化 VLSI設計 ・・・ 直交描画 彩色 近似困難 NP完全 分解 ・・・ 並列 逐次 近似 ・・・ アルゴリズム 応用グラフ理論 計算理論 グラフ描画 様々の理論的な結果 様々な問題に対し効率のよい 辺素な道問題や グラフ分割問題

  4. 研究内容の概要 主な研究テーマの紹介 今後の研究課題 発表の流れ

  5. グラフ彩色に関するアルゴリズム 平面グラフのアルゴリズムと理論 辺素な道に関するアルゴリズム グラフ描画に関するアルゴリズム グラフ分割に関するアルゴリズム 並列アルゴリズム 近似アルゴリズム アルゴリズム 応用グラフ理論 計算理論 グラフ描画 研究内容の概要

  6. 平面グラフ 1 3 2 1 9 0 4 6 7 17 20 3 9 8 5 14 18 8 2 7 13 15 4 0 11 15 10 14 12 11 16 19 13 10 12 18 19 16 20 5 6 17 研究内容の概要 グラフ　　　　　　　　　　　　　　　　平面描画 平面埋め込み，描画，5点彩色，辺素な道，多重フロー，ハミルトン閉路問題等に対する線形時間アルゴリズム PQ-tree, JCSS, ’85

  7. 研究内容の概要 Kuratowskiの定理 平面グラフ　　　　　　K5, K3,3を含まない K5K3,3

  8. を含まない 研究内容の概要 博士論文 3端子直並列縦続グラフ

  9. アルゴリズム グラフ彩色に関するアルゴリズム 平面グラフのアルゴリズムと理論 研究内容の概要

  10. 地図彩色 4色 研究内容の概要 グラフの点を最小色数で彩色すれば，最小色数の地図彩色が得られる。 県や海をグラフの点に，境界線をグラフの辺に対応させる。 県や海の色を対応する点の色にする 点彩色 すべての領域を彩色し，境界線を共有している２つの領域は異なる色にする。 東北の地図は海も含めて４色で彩色できる。 4色 線形5-点彩色アルゴリズム[J. Algorithms 1981]

  11. アルゴリズム グラフ彩色に関するアルゴリズム 平面グラフのアルゴリズムと理論 点彩色 辺彩色 全彩色 多重彩色 リスト彩色 点彩色 辺彩色 全彩色 研究内容の概要

  12. アルゴリズム グラフ彩色に関するアルゴリズム 平面グラフのアルゴリズムと理論 辺素な道に関するアルゴリズム 研究内容の概要 出力 入力

  13. グラフ彩色に関するアルゴリズム 辺素な道に関するアルゴリズム グラフ描画に関するアルゴリズム 研究内容の概要 配線層を２つ用いる２層配線では，水平配線は１層目に，垂直配線は２層目に置かれる。 グラフの辺は水平線分と垂直線分からなる折れ線で描かれる 折れ曲りが最小な直交描画を見つける線形時間アルゴリズムを与えた。 アルゴリズム VLSI 配線 折れ曲りがない 7個のピンを結ぶ配線 平面グラフ 直交描画 折れ曲り

  14. 4 4 グラフ彩色に関するアルゴリズム 8 6 5 3 5 近似アルゴリズム グラフ描画に関するアルゴリズム グラフ分割に関するアルゴリズム 並列アルゴリズム 辺素な道に関するアルゴリズム 7 6 2 10 合計：12 合計：23 4 25 4 12 8 6 5 3 5 合計：12 合計：13 15 7 6 2 10 13 研究内容の概要 電力を供給する発電所 電力を消費する学校や病院，住宅などの負荷区間 どの負荷区間も１つの発電所からしか電力の供給を受けることができない。 送電線のスイッチを閉じたり，開いたりして，このグラフをいくつかの連結成分に分割します。 負荷区間が必要とする電力量 電力網の配電計画を求めるアルゴリズムを与えた。 辺は送電線を表し，全ての送電線には開閉器，スイッチが付いている。 供給できる最大電力量 アルゴリズム

  15. 彩色問題 直並列グラフ（k=2) 部分k木（k=定数) グラフ全体(任意のk) アルゴリズム 応用グラフ理論 計算理論 木 (k=1) グラフ描画 研究内容の概要 辺彩色 最大次数 Δ＝３ 一般グラフに対し、 Δ＋１個の色 で辺彩色可能　　　　　　　[Vizing 1965] 最小色数の上界 直並列グラフ（ｋ=2）や部分ｋ木（ｋ端子）： Δ≧２ｋであるならば、 Δ色で辺彩色可能 色々な彩色について，彩色できるため 一般のグラフを辺彩色するには，最大次数Δ以上の色がどうしても必要です。 点に接続している辺の本数を次数という。 辺彩色の一般化であるｆ-彩色、[g,f]-彩色 などについても同様な上界を求めることに 成功した。 直並列グラフ =3端子直並列グラフ 部分３木グラフ

  16. Δ（Gi ） ２ｋ≦ ≦３ｋ Σ Δ（ Gi ） ＝ Δ（ G ） i 研究内容の概要 分解 辺彩色 Gi 最大次数Δが大きいとき 辺集合をいくつかの部分集合に分解する。 部分ｋ木G

  17. 既知 応用グラフ理論 木（ｋ=1）： 多項式時間で解ける 彩色問題 辺素な道問題 研究成果 直並列グラフ（k=2) 部分k木（k=定数) NP-完全 直並列グラフ（ｋ=2）： グラフ全体(任意のk) 部分ｋ木： 端子の配置がある条件を 満たしたとき 　　木 　　(k=1) 多項式時間で解ける 研究内容の概要 計算理論 木に対しては，同じ色の端子間の道は１本しかない 入力 出力 木に対し多項式時間で解けて，直並列グラフに対しNP困難である自然な問題はいままで知られていなかった

  18. 研究成果 応用グラフ理論 NP困難 木： 4 4 近似可能（FPTAS) 彩色問題 辺素な道問題 グラフ分割問題 8 6 5 3 5 一般グラフ： 近似困難（MAX SNP-hard） 7 6 2 10 合計：12 合計：23 4 25 4 12 8 6 5 3 5 合計：12 合計：13 15 7 6 2 10 13 研究内容の概要 (計算量理論) 極めてよい近似アルゴリズム P=NPでない限り，近似アルゴリズムすら存在しそうもない

  19. 凸描画 格子凸描画 矩形勢力描画 グラフ描画 グラフをできるだけ“見やすく”描画したい 応用により要求される “見やすさ”が異なる 様々な描画法 etc…

  20. 折れ 曲り 個数： ４ 直交描画 グラフ描画 VLSI 設計 bend bend bend bend 折れ曲り　　　ビアホール 　　　　　　　　スルーホール アルゴリズム 応用グラフ理論 計算理論 グラフ描画 研究内容の概要 最大次数が3以下の直並列グラフGが与えられたときに、 Gの直交描画で折れ曲がりの個数が最小なものを線形時間で 見つけるアルゴリズムを与えた。 本研究では，最小折れ曲りの直交描画を見つけるアルゴリズムを研究開発した。 直交描画はよくVLSI二層配線に応用される。 平面グラフを交差なしで，辺を水平線分と垂直線分で描画する。 点以外のところでの水平線分と垂直線分の交点は折れ曲がり（bend）という。 最小にしたい

  21. 研究内容の概要 主な研究テーマの紹介 今後の研究課題 アルゴリズム 応用グラフ理論 計算理論 グラフ描画 発表の流れ 便宜上これら３つに分類しましたが，個々の研究テーマはこれら３つのいくつにまたがります。

  22. 4 4 4 4 グラフ分割 グラフ描画 グラフ彩色 直交描画 8 8 6 6 5 5 3 3 5 5 7 7 6 6 2 2 10 10 アルゴリズム 応用グラフ理論 計算理論 4 4 25 25 4 4 12 12 グラフ描画 8 8 6 6 5 5 3 3 5 5 グラフ 辺彩色 15 15 7 7 6 6 2 2 10 10 13 13 主な研究テーマの紹介 主な研究テーマの紹介

  23. ＮＰ困難 近似困難 近似 4 4 4 4 グラフ分割 グラフ直交描画 グラフ彩色 8 8 6 6 5 5 3 3 5 5 7 7 6 6 2 2 10 10 4 4 25 25 4 4 12 12 8 8 6 6 5 5 3 3 5 5 15 15 7 7 6 6 2 2 10 10 13 13 主な研究テーマの紹介 主な研究テーマの紹介 応用グラフ理論 計算理論 アルゴリズム

  24. 主な研究テーマの紹介 電力網 負荷区間 フィーダ 電力を消費する病院や学校や住宅などの負荷区間を丸で表す。 電力を供給するフィーダを四角で表す。

  25. 主な研究テーマの紹介 電力網 負荷区間 フィーダ 送電線の開閉器 オレンジのフィーダは電力をオレンジの負荷区間に送っている。

  26. 主な研究テーマの紹介 開いている状態のスイッチを消す。 電力網 各連結成分にちょうど１つ供給点 故障 負荷区間 フィーダ 停電 赤いフィーダは電力を赤い負荷区間に送っている。 緑のフィーダは電力を緑の負荷区間に送っている。

  27. The New York City Blackout(2003) 東京大停電（２００６） 主な研究テーマの紹介 例

  28. 主な研究テーマの紹介 一刻も早く復旧させたい 電力網 負荷区間 フィーダ 周りで余っていた電力を停電区間に送ります． 開閉器をON-OFFしなおす

  29. 主な研究テーマの紹介 現在の電力網において 余った電力の送り方により復旧方法： 現在はオペレータの経験則に基づき復旧 ・時間がかかり過ぎる ・余力の良い送り方がなかなか見つけられない グラフを用いて定式化 よい送り方を見つけることに成功した

  30. 主な研究テーマの紹介 グラフ 供給点 と需要点 グラフの点が2種類ある。 供給点 需要点

  31. 25 12 4 4 8 6 5 3 5 15 13 7 6 2 10 供給点 需要点 主な研究テーマの紹介 グラフ グラフの辺は開閉器がある送電線を表す。 開閉器 供給量 需要量

  32. 4 4 4 8 8 6 6 5 5 3 5 7 6 2 10 主な研究テーマの紹介 分割 次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する． 25 12 15 13

  33. 4 4 8 6 5 3 5 7 6 2 10 25 12 15 13 主な研究テーマの紹介 分割 次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する．

  34. 4 4 (a) : 各連結成分はちょうど1つの供給点を含む． 8 6 5 3 5 (b) : 供給点を含む連結成分において， 　　　その供給量が需要量の合計以上となる． 7 6 2 10 合計：12 合計：23 4 4 8 6 5 3 5 合計：12 合計：13 7 6 2 10 主な研究テーマの紹介 分割 次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する． スイッチが開いている送電線は灰色で描かれている。 25 12 15 13

  35. 4 4 8 6 5 3 5 7 6 2 10 20 10 15 13 主な研究テーマの紹介 最大分割 分割 需要量の合計：６０ 供給量の合計：５８ その代わりに，次のような最大分割を求めます． 分割が存在しない

  36. 4 4 (a) : 各連結成分は高々1つの供給点を含む． 8 6 5 3 5 (b) : 供給点を含む連結成分において， 　　　その供給量が需要量の合計以上となる． 7 6 2 10 4 4 8 6 5 3 5 7 6 2 10 主な研究テーマの紹介 最大分割 次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する． 供給点を含まない 20 10 供給点１個だけを含む 15 13

  37. 充足量が最大となる分割を求めたい 4 4 (a) : 各連結成分は高々1つの供給点を含む． 8 6 5 3 5 (b) : 供給点を含む連結成分において， 　　　その供給量が需要量の合計以上となる． 7 6 2 10 合計：17 合計： 5 4 4 8 6 5 3 5 合計：12 合計：7 7 6 2 10 主な研究テーマの紹介 最大分割 次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する． 供給された電力量の合計 20 10 15 13

  38. 充足量が最大となる分割を求めたい 4 4 8 6 5 3 5 7 6 2 10 合計：17 合計： 5 4 4 8 6 5 3 5 合計：12 合計：7 7 6 2 10 主な研究テーマの紹介 最大分割 この分割の充足量 17 + 5 + 12 + 7 = 41 20 10 15 13

  39. 充足量が最大となる分割を求めたい 4 4 8 6 5 3 5 7 6 2 10 合計：19 合計： 8 4 4 8 6 5 3 5 合計：12 合計：15 7 2 10 主な研究テーマの紹介 最大分割 停電量を最小にしたい この分割の充足量 19 + 8 + 12 + 15 = 54 最大充足量 20 10 15 6 13

  40. 最大部分集合和問題 (Knapsack問題の簡単化) 25 4 3 6 b = 13 2 3 9 4 7 5 15 3 4 5 7 11 集合 A 主な研究テーマの紹介 分割問題の計算量 木 NP-困難 最大部分集合和問題(NP-困難) 入力:整数集合 Aと 整数 b 出力:Aの部分集合C： Cの要素の合計はb以下かつ最大である。 木に対してすら，最大分割問題はＮＰ-困難であることを証明しました。 既にＮＰ-困難であることが分かっている問題

  41. 25 4 3 6 2 3 9 4 7 5 15 主な研究テーマの紹介 計算量 最大部分集合和問題 (Knapsack問題の簡単化) 木 b = 13 C NP-困難 3 4 5 7 11 集合 A 最大部分集合和問題(NP-困難) 入力:整数集合 Aと 整数 b 出力:Aの部分集合C：. Cの要素の合計はb以下かつ最大である。 明らかに，最大部分集合和問題は最大分割問題の極めて特殊な場合 グラフがスターであり，しかも供給点が１つしかなく，木の中心にある場合です。 よい近似アルゴリズムは存在するのか？

  42. 13 3 4 5 7 11 主な研究テーマの紹介 関連結果 最大部分集合和問題 完全近似スキーム Fully Polynomial-Time Approximation Scheme (FPTAS) [Ibarra and Kim ’75] 完全近似スキーム（FPTAS）: 任意のe（0 < e< 1）に対し, nと 1/ eの多項式時間で APPRO > (1–e) OPT を満たす近似解APPROを見つけるアルゴリズム 極めてよい近似アルゴリズム

  43. 13 3 4 5 7 11 一般グラフのクラス に対し、いい近似 アルゴリズム ? 主な研究テーマの紹介 関連結果 最大部分集合和問題 完全近似スキーム Fully Polynomial-Time Approximation Scheme (FPTAS) [Ibarra and Kim ’75] 最大分割問題 の特殊な場合 予想

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