Vectors and the Geometry of Space

11 向量與空間幾何 Vectors and the Geometry of Space

11.1 平面向量 11.2 空間坐標和空間向量 11.3 向量的內積 11.4 向量的外積 11.5 空間中的直線和平面 11.6 空間中的曲面 11.7柱坐標和球坐標

P.526 Ch11 向量與空間幾何 11.7 柱坐標和球坐標(Cylindrical and spherical coordinates) 柱坐標(Cylindrical coordinates) 在一個柱坐標系中，一點 P 的坐標記成 (r,θ, z) 1. (r,θ)是 P 點在 xy-平面投影的極坐標。 2.z 是原本直角坐標系中的 z 坐標。直角坐標與柱坐標之間的互換方式如下，見圖11.66。 • 柱坐標換到直角坐標： • 直角坐標換到柱坐標：

P.526 Ch11 向量與空間幾何圖11.66

P.526 Ch11 向量與空間幾何例 1柱坐標換到直角坐標將 (r,θ, z) = (4, 5π/6, 3) 以直角坐標表示。解　代入坐標變換公式得到所以在直角坐標系中，該點是　　　　　　　　　，如圖11.67所示。

P.526 Ch11 向量與空間幾何圖11.67

P.527 Ch11 向量與空間幾何例 2直角坐標換到柱坐標將點　　　　　　　　以柱坐標表示。解　代入坐標變換公式得到 r 有正負兩個可能，θ有無窮多個可能。如圖11.68，下面是兩個方便的選擇。柱坐標對柱面和以 z 軸為對稱軸的旋轉面方程式的表示特別方便，如圖11.69 所示。

P.527 Ch11 向量與空間幾何圖11.68

P.527 Ch11 向量與空間幾何圖11.69

P.527 Ch11 向量與空間幾何圖11.70

P.528 Ch11 向量與空間幾何例 3直角坐標換到柱坐標在直角坐標系中，兩曲面的方程式如下，求其柱坐標方程式。 a. x2 + y2 = 4z2 b. y2 = x 解 a.從上節的分析，x2 + y2 = 4z2所代表的圖形是一個以 z 軸為軸的雙葉錐面，如圖 11.71 所示。以 r2代 x2 + y2，得到柱坐標系中的方程式 x2 + y2 = 4z2 r2 = 4z2 直角坐標方程式柱坐標方程式

P.528 Ch11 向量與空間幾何例 3（續） b.y2 = x 的圖形是拋物柱面，其直紋線與 z 軸平行，如圖11.72 所示。以 r2sin2θ代 y2，以 r cosθ代 x，得到柱坐標系中的方程式 r2 sin2θ= r cosθ r(r sin2θ– cosθ) = 0 → r sin2θ– cosθ = 0 r = cscθcotθ 注意到原點（r = 0）仍然滿足此方程式，所以除以 r 並沒有減根。柱坐標方程式

P.528 Ch11 向量與空間幾何圖11.71

P.528 Ch11 向量與空間幾何圖11.72

P.528 Ch11 向量與空間幾何例 4柱坐標換到直角坐標在柱坐標系中， r2cos 2θ+z2 + 1 = 0 為曲面方程式，求其直角坐標方程式。解 r2(cos2θ– sin2θ) + z2 + 1 = 0 r2cos2θ– r2sin2θ+ z2 = –1 x2 – y2 + z2 = –1 y2 – x2 – z2 = 1 這是一個雙葉雙曲面，以 y 軸為軸，如圖11.73 所示。直角坐標方程式

P.528 Ch11 向量與空間幾何圖11.73

P.529 Ch11 向量與空間幾何球坐標系統(Spherical coordinates) 在球坐標系統中，點 P 的坐標是 (ρ,θ ,f) 的意義如下 1. ρ是 P 到原點的距離，ρ≥ 0。 2. θ是在柱坐標時所用的角度，亦即θ是 P 點投影到 xy-平面，考量極坐標時的角度（可以差上偶數個）。 3. f是 z 軸正向和　　的夾角，0 ≤f≤π。注意到第一和第三這兩個坐標ρ和f都 ≥ 0，ρ是小寫希臘字母 rho，f是小寫希臘字母 phi。

P.529 Ch11 向量與空間幾何圖11.74

P.529 Ch11 向量與空間幾何球坐標(Spherical coordinates) 直角坐標和球坐標的關係見圖11.75，其互換公式如下 • 球坐標換到直角坐標： • 直角坐標換到球坐標：柱坐標和球坐標互換的公式如下 • 球坐標換到柱坐標（r ≥ 0）： • 柱坐標換到球坐標（r ≥ 0）：

P.529 Ch11 向量與空間幾何圖11.75

P.529 Ch11 向量與空間幾何圖11.76

P.530 Ch11 向量與空間幾何例 5直角坐標換到球坐標在直角坐標系，兩曲面方程式如下，求球坐標方程式。 a. 錐面：x2 + y2 = z2 b. 球面：x2 + y2 + z2 – 4z = 0 解 a. 適當的代入 x, y 和 z，得到方程式f=π/4 表示上半錐面，方程式f= 3π/4 表示下半錐面。

P.530 Ch11 向量與空間幾何例 5（續） b. 因為ρ2 = x2 + y2 + z2且 z =ρcosf，代入之後，得到暫時先不管ρ= 0 的情形，除去ρ後得到球坐標方程式注意到此方程式含ρ= 0 的點（ρ= 0, f=π/2），所以去掉ρ的因式不影響方程式的解，本題中球面的球方程式是ρ= 4 cosf，如圖 11.77 所示。

P.530 Ch11 向量與空間幾何圖11.77

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