 ( x )  

1. PERTEMUAN KE-12 12.1 INTEGRAL NUMERIK Integral tertentu yang pernah kita pelajari pada matakuliah kalkulus dasar, yang dinyatakan oleh : b I f ( x)dx …………………………………………………(12.1) a adalah bentuk integral yang dapat dipecahkan secara analitis, yang umumnya telah dirumuskan, sehingga tidak ada kesulitan dalam mencari solusi numeriknya. Persamaan (12.1) didefinisikan sebagai sebuah limit Jumlah Riemann, dan menurut teorema dasar kalkulus integral persamaan tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagai , b I f ( x)dx F ( x) F (b) F (a) ………………………(12.2) a a Dengan F ( x) adalah antiderevatif dari f ( x) , yakni F ' ( x) f ( x) . Banyak integral tertentu yang dapat dihitung dengan pers.(12.2), seperti banyak dijumpai dalam buku-buku kalkulus, tapi tidak sedikit integral tertentu yang tidak dapat dihitung dengan persamaan tersebut, karena integrand f ( x) tidak mempunyai antideratif yang dapat yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi elementer. Cara untuk mencari solusi integral semacam itu adalah dengan perhitungan integral secara hampiran atau pendekantan, yang hasilnya berupa numerik. Pendekatan semacam ini banyak digunakan para ilmuwan dan para insinyur untum menyelesaikan perhitungan integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Misalnya pada model Debye untuk menghitung kapasitas panas sebuah benda pejal memuat fungsi sebagai berikut: x 0 e t 3 t ( x) dt ……………………………………………..(12.3)  1 Oleh karena( x) tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, dan hasil integrasinya tidak dapat diperoleh secara analitis, maka harus digunakan metode numerik untuk menghasilkan solusi hampiran dari fungsi( x) . Contoh lain integral tertentu yang tidak dapat diperoleh secara analitik adalah perhitungan distribusi normal seperti  t 2 2 1 0e x 0 e  x2 ( x) dt , dan masih banyak lagi contoh-contoh seperti , dx , metnum pkk http://www.mercubuana.ac.id 1 zakaria

2. 3) Metode titik tengah ( midpoint rule ) Metode no 1 dan no 2 pada hakekatnya sama, hanya cara penurunan rumusnya yang berbeda, sedangkan yang no 3 merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik. 12.2.1 METODE SEGI EMPAT. Untuk merumuskan metode ini, diperlukan hampiran jumlah kiri dan hampiran jumlah kanan. Perhatikan gambar dibawah ini, dimana a x0 dan b x1 , y f ( x) y y y=f(x) y=f(x) f1 f1 f 0 f 0 h h x x a x0 b x1 a x0 b x1 Gbr 12.2 a Gbr 12.2 b Gambar 12.2 a adalah hampiran jumlah kiri dan gambar 12.2 b adalah hampiran jumlah sebelah kanan. Luas daerah yg dibatasi oleh kurva y f ( x) , garis x a ,garis x b dan sumbu x menurut jumlah hampiran sebelah kiri ( gbr 12.2 a ) adalah sebagai berikut: x1  f ( x)dx h f L0 …………………………………………………(12.6 0 x0 a). y f ( x) , garis x a ,garis Sedangkan Luas daerah yg dibatasi oleh kurva x b dan sumbu x menurut jumlah hampiran sebelah kanan ( gbr 12.2 b) adalah sebagai berikut: x1  f ( x)dx h f1 L1 ……………………………………….…………(12.6 x0 b). metnum pkk http://www.mercubuana.ac.id 3 zakaria

3. Bangun trapesium yg dibentuk dari kurva y f ( x) , lebar trapesium sama h ,sisi-sisi dgn yang sejajar adalah dan maka luas f 0 f1 , h 2 . Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f ( x) , garis trapesium LT ( f 0 f1 ) x a ,garis x b dan sumbu x adalah sama dengan luas trapesium ( daerah yang di arsir ), sehingga x1 h L  f1 ) ………………………………………………..(12.9)  f ( x) dx 2 ( f 0 x0 Persamaan (12.9) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu segmen,. trapesium sedangkan rumusan luas daerah yang dibagi menjadi n segmen trapesium adalah merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen, sebagai berikut: b xn a x0 h h 2 h 2 h 2 L  f1 ) ( f1 f 2 ) ...  f ( x) dx 2 ( f ( f n2 f n1 ) ( f n1 f n ) 0 h 2 h 2   ( f 0 f1 f1 f 2 f 2 ... f n1 f n1 f n ) ( f 0 f1 f1 f 2 f 2 ... f n1 f n1 f n ) n1 2 ( f 0 f n ) hi 0f i …… h 2 h  ( f 0 2 f1 2 f 2 ... 2 f n1 f n ) ……. ………………………………..(12.10) Persamaan (12.10 ) sama persis dengan persamaan (12.8). Jadi metode segiempat sama persis dengan metode trapesium. 12.2.3 METODE TITIK TENGAH. y y=f(x) x a x0 b x1 x1 2 Gbr 12.4 Metode titik tengah metnum pkk http://www.mercubuana.ac.id 5 zakaria